高三数学一轮复习资料 第十四编 系列4选讲14.1 矩阵与变换教案 理

1、高三数学（理）一轮复习 教案 第十四编 系列4选讲总第69期 14.1 矩阵与变换基础自测1. = .答案 2. = .答案 3.设a,bR,若矩阵A=把直线l：x+y-1=0变成为直线m:x-y-2=0，则a= ，b= .答案 2 -14.先将平面图形作关于直线y=x的反射变换，再将它的横坐标变为原来的2倍，纵坐标变为原来的三分之一，则整个变换可以用矩阵表示为 .答案 5.设A=，B=，若AB=BA，则k= .答案 3例题精讲 例1 已知变换T把平面上的点A（2，0），B（3，1）分别变换成点A(2,1),B(3,2)，试求变换T对应的矩阵M.解 设M=，则有M： =，解得；M：=，解得综上

2、，M=.例2 已知O（0，0），A（2，1），O，A，B，C依逆时针方向构成正方形的四个顶点.（1）求B，C两点的坐标；（2）把正方形OABC绕点A按顺时针方向旋转45得到正方形ABCO，求B，C，O三点的坐标.解 （1）显然向量绕O点逆时针方向旋转90得向量，变换矩阵M=.所以有=，即=（-1，2），C点坐标是（-1，2）.又=+=（2，1）+（-1，2）=（1，3），所以B点坐标是（1，3）.（2）变换矩阵是N=， =（-2，-1），=（-3，1），=（-1，2）.=.即=，=(-,2),AB=+=，点O的坐标是（）,同理，点C的坐标是(2-,1+2),点B的坐标是.例3 试从几何变换的角

3、度求AB的逆矩阵.（1）A=，B=；（2）A=，B=.解 （1）矩阵A对应的是伸压变换，它将平面内的点的纵坐标保持不变，横坐标伸长为原来的2倍，因此它的逆矩阵是A-1=；同理，矩阵B对应的也是伸压变换，它将平面内的点的横坐标保持不变，纵坐标伸长为原来的4倍，因此它的逆矩阵是B-1=；所以（AB）-1=B-1A-1=.（2）矩阵A对应的是反射变换，它将平面内的点变为该点关于直线x-y=0的对称点，所以该变换的逆变换为其自身，A-1=；矩阵B对应的也是反射变换，它将平面内的点变换为与其关于原点对称的点，所以B-1=；所以，（AB）-1=B-1A-1=.例4 （14分）已知二阶矩阵M有特征值=8及对

4、应的一个特征向量e1=，并且矩阵M对应的变换将点（-1，2）变换成（-2，4）.（1）求矩阵M；（2）求矩阵M的另一个特征值及对应的一个特征向量e2的坐标之间的关系.解 （1）设M=，则=8=，故 2分=，故 4分联立以上两方程组解得a=6,b=2,c=4,d=4,故M=. 6分（2）由（1）知，矩阵M的特征多项式为f（）=（-6）（-4）-8=2-10+16，故其另一个特征值为=2. 9分设矩阵M的另一个特征向量是e2=，则Me2=2，所以, 12分所以矩阵M的另一个特征值对应的特征向量的坐标之间的关系是2x+y=0. 14分巩固练习 1.（2008南京质检）二阶矩阵M对应的变换将点（1，-

5、1）与（-2，1）分别变换成点（-1，-1）与（0，-2）.（1）求矩阵M；（2）设直线l在变换M作用下得到了直线m:x-y=4,求l的方程.解 （1）设M=，则有=,=所以,且,解得，所以M=.（2）因为=且m：x-y=4,所以(x+2y)-(3x+4y)=4,整理得x+y+2=0，所以直线l的方程为x+y+2=0.2.将双曲线C：x2-y2=1上点绕原点逆时针旋转45，得到新图形C，试求C的方程.解 由题意，得旋转变换矩阵M=，任意选取双曲线x2-y2=1上的一点P（x0,y0），它在变换TM作用下变为P(x0,y0),则有M=，故,，又因为点P在曲线x2-y2=1上，所以-=1,即有2=

6、1.所求的C方程为xy=.3.（2008徐州模拟）已知M=.（1）求逆矩阵M-1；（2）若矩阵X满足MX=，试求矩阵X.解 （1）设M-1=，依题意有=，即=，则M-1=.（2）矩阵X满足MX=，矩阵X=M-1=.4.（2008苏州信息卷）已知矩阵M=，求M的特征值及属于各特征值的一个特征向量.解 由=（-3）2-1=0，解得1=2, 2=4.设矩阵M的特征向量为.当1=2时,由M=2可得,可见，1=是M的属于1=2的特征向量.当2=4时，由M=4可得,可见，2=是M的属于2=4的特征向量. 回顾总结 知识方法思想课后作业一、填空题1.下列矩阵是二阶单位矩阵的是 . 答案 2.将圆x2+y2=

7、1在矩阵A=对应的伸压变换下变成一个椭圆x2+=1，则a+b= .答案 33.在矩阵对应的变换下，点A（2，1）将会转换成.答案 （2，5）4.若直线x-y-4=0在矩阵M=对应的变换作用下，把自己变为自己，则a,b的值分别为 .答案 0，25.将点（2，4）先经矩阵变换后，再绕原点逆时针旋转90角所得的点坐标为 .答案 （-8，2）6.将坐标平面上的一个图形先将其横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标变为原来的一半，然后对它做关于y轴对称的变换，再将它做关于直线y=x对称的变换，则此平面变换所对应的二阶变换矩阵为 .答案 7.若矩阵A=把直线l:2x+y-7=0变换成另一直线l:9x+y-91=0,

8、则a= ,b= .答案 0 -18.矩阵M=的所有特征向量为 .答案 k和k，（k0）二、解答题9.试求曲线y=sinx在矩阵MN变换下的函数解析式，其中M=，N=.解 MN=，即在矩阵MN变换下=，则y=sin2x,即曲线y=sinx在矩阵MN变换下的函数解析式为y=2sin2x.10.已知二阶矩阵M有特征值=8及对应的一个特征向量e1=，并且矩阵M对应的变换将点（-1，2）变换成（-2，4）.求直线l:x-y+1=0在矩阵M的变换下的直线l的方程.解 设M=，则=8=，故=，故联立以上两方程组解得a=6,b=2,c=4,d=4,故M=.设点（x，y）是直线l上的任一点，其在矩阵M的变换下对

9、应的点的坐标为（x,y），则=，即x=x-y,y=-x+y,代入直线l的方程后并化简得x-y+2=0,即x-y+2=0.所以变换后的直线方程为x-y+2=0.11.（2008如东质检）已知矩阵A=，其中aR，若点P（1，1）在矩阵A的变换下得到点P（0，-3）.（1）求实数a的值；（2）求矩阵A的特征值及特征向量.解（1）由=得a+1=-3a=-4.（2）由（1）知A=则矩阵A的特征多项式为f（）=（-1）2-4=2-2-3令f()=0,得矩阵A的特征值为-1或3.设矩阵A的特征向量为，当=-1时，=(-1) ，即,所以y=2x.矩阵A的属于特征值-1的一个特征向量为.当=3时，=3,即,所以

10、2x+y=0.矩阵A的属于特征值3的一个特征向量为.12.（2008江苏）在平面直角坐标系xOy中，设椭圆4x2+y2=1在矩阵A=对应的变换下得到曲线F，求F的方程.解 设P（x0,y0）是椭圆上任意一点，点P（x0，y0）在矩阵A对应的变换下变为点P(,),则有=，即所以又因为点P在椭圆上，故4+=1,从而()2+()2=1.所以曲线F的方程为x2+y2=1.13.已知矩阵A=，求特征值及特征向量.解 矩阵A的特征多项式为f()=.令f()=0,即2-4-5=0,得1=-1, 2=5,所以矩阵A的特征值为1=-1, 2=5.将1=-1代入二元一次方程组. ，即,得x=y,它有无穷多个非零解,其中x0,故为矩阵属于特征值=-1的特征向量.同样，将1=5代入二元一次方程组，则得y=2x,它有无穷多个非零解，其中x0,故为矩阵属于特征值=5的特征