高三数学总复习 两角和与差的余弦教案 理

1、41两个角度之和与差的余弦教科书分析本节在掌握任意角度三角函数的概念、矢量的坐标表达式和矢量量积的坐标表达式的基础上，进一步研究了用单角度三角函数表示的两个角度之和与差的三角函数。这些内容广泛应用于高等数学、电气工程、力学、机械设计和制造等领域。所以要求学生学好并熟练应用，从而为以后的学习打下良好的基础。“角差余弦公式”在教材中采用了一种易于教学的求导方法，即首先借助单位圆中的三角函数线，证明、和-都是锐角。对于和为任意角度的情况，教科书使用向量知识进行探究。同时，补充了矢量法推导过程中的不精确性，使角度差的余弦公式具有普遍性。本课的重点是推导两个角之差的余弦公式，但难点是将公式中的角和角推广

2、到任意角度。教学目标1.通过探索两个角度之差的余弦公式，培养学生交流、探索、发现和获取新知识的能力。2.通过推导两个角度之差的余弦公式，可以体验知识发生、发展和初步应用的过程，培养学生的科学思维方法和勇于探索的科学精神。3.两个角之差的余弦公式可以正确地用来简化、评价和证明简单三角函数的恒等式。任务分析本节以问题情境中的问题为教学起点，利用单位圆中三角函数线与平面向量的数量积的概念推导出结论，并不断补充推导过程中的不精确性。演绎过程采用从特殊到一般循序渐进的思维方法，学生容易接受。整个过程总是结合单位圆来强调其直观性。公式中有必要强调角和角的任意性。数学中应重视启发式。避免直接告诉学生结果，尽

3、量让学生通过观察、思考和探索发现自己的公式，让学生充分体会到成功的喜悦，进一步激发学生的学习兴趣，激发他们的学习热情，让他们自觉主动地学习。教学过程首先，问题场景我们已经学会了归纳公式，例如上述公式可以理解为：如果角度旋转，角度的正弦和余弦分别等于余弦和-正弦；如果角度旋转，则角度 的正弦和余弦分别等于-SIN 和-COS 。因此，我们想到了一个一般性的问题：如果角的最后一边旋转了(度或弧度)，角 的正弦和余弦如何用或的正弦和余弦来表示？给我看一个实际的问题：右边的图41-1是一条小河上的吊桥示意图。悬索桥的长度为AB=A (m)，A为支点，C点在河的右岸，地形比A点高，AD代表水平线， DA

4、C=，为固定值。cab=，随悬索桥的起降而变化。在吊桥里，从图中可以看出be=asin ( )。我们的问题是：如何用和的三角函数来表示sin ( )。如果 是锐角，你能从和的正弦和余弦中找到sin ( )吗？引导学生分析：事实上，当我们研究三角函数的变形或计算时，我们经常会问这样的问题：我们能用和的三角函数来表示和的三角函数吗？为了解决这个问题，本节首先探讨-的余弦与，之间的函数关系。更一般地，对于任何角度，你能用，的三角函数值来表示 或-的三角函数值吗？第二，建立模型1.研究(1)猜想：cos (-)=cos -cos 。(2)引导学生通过特例否定这一猜想。例如，=60，=30，我们可以发现

5、左=cos (60-30)=cos 30=，右=cos 60-cos 30=-。显然，对于任何角度，cos (-)=cos -cos 都不是真的。(3)引导学生从理论上否定这一猜想。假设，和-是锐角，那么- cos ，cos 0，那么cos (-) cos -cos 。2.分析和讨论(1)如何建立、和-角的三角函数之间的关系？你需要学习什么知识才能得到相应的表达？(2)根据三角函数线的定义，这些角的三角函数值与单位圆中的一些有向线段有关。那么，这些有向线段之间有什么关系吗？3.老师很清楚通过学生的讨论，教师引导学生做出以下推理：假设角的端边与单位圆的交点为P1，则pop 1=，然后pox=-。

6、如果通过点p是PMx轴，垂直脚是m，那么OM是-角的余弦线。这里，OM应该由代表和的正弦和余弦线段来表示。通过点p为PAOP1，垂直脚为a，通过点a为ABx轴，垂直脚为b，通过点p为PCAB，垂直脚为c，然后cos =OA，sin =AP，然后PAC=p1ox=OM=OB+BM=OB+CP=OAcos+APsin=coscos+sinsin。4.提问并组织学生讨论(1)当，-是任意角度时，上述推导过程还成立吗？为了证明这个结果是否适用于任何角度、，需要做大量的推广工作来引导学生独立思考。事实上，根据归纳公式，和的三角函数总是可以在(0，)内转化为三角函数，然后-的余弦可以根据cos (-)=c

7、os 转化为锐角的余弦。因此，第三，解释应用示例1.计算cos15和cos105的值。分析：这个问题的关键是把15的角度分成45和30的差，或者分解成60和45的差，然后用两个角度差的余弦公式来求解。对于cos105，可以类似地处理，COS 105=COS (60 45)。2.假定sin =，(，)，cos(+=-，是第三象限的角度，求cos ( )的值。分析：要观察公式c 和受试者的已知条件，首先要计算陪和陪，然后代入公式进行评价。利用等角三角函数的平方关系，并注意和的取值范围，可以求出和的值。练习1.(1)找出sin75的值。(2)计算cos 75 cos 105 sin 75 sin 1

8、05的值。(3)简化cos (a b) cosb sin (a b) sinb。(4)计算cos215-sin215的值。分析：对于(1)，我们可以首先将sin75公式化为cos15，然后使用示例1中的结果。对于(2)，我们可以反转公式C-，然后将原始公式转换为cos30.对于(3)，我们可以把角看作一个整体，用-代替角，用角代替角。2.(1)证明：cos (-)=sin 。(2)假设sin =且是第二象限角度，计算cos (-)的值。(3)给定sin(30)=60 150，求cos 。分析：(1)和(差)公式可视为归纳公式的延伸，是和(差)公式的特例。(2)在三角函数的求值中，变换角度是一种

9、常见的技巧，=(30 )-30，这样我们就可以充分利用已知的三角函数。3.简化cos(36)cos(-54)sin(36)sin(-54)。分析：这里，角度36 和-54可视为单个角度，然后可直接应用公式C-，无需扩展每种类型然后计算。分析：这是一个综合性的话题。因为cos (-)=cos cos sin sin，要得到cos (-)的值，我们只需要将已知的两个公式的平方相加就可以得到cos cos sin sin。第四，拓展和延伸1.从任意角度三角函数的定义可知，角度、与单位圆交点的坐标可以用角度、的三角函数来表示，即角度-与两个矢量之间的角度有关，那么公式C-可以从矢量的知识中推导出来吗？

10、教师指导学生分析：在平面直角坐标系xOy上做一个单位圆o，以Ox为起始边做角度，其终止边与单位圆的交点为a，b，然后=(cos ，sin)，=(cos ，sin )。通过矢量量积的概念，有=|cos(-)=cos(-)。由矢量数量乘积的坐标表示，有=coscos+sinsin。所以，有cos(-)=coscos+sinsin。根据矢量积的概念，角-必须符合0 - ，即在此条件下，上述推导是正确的。由于和都是任意角度，-也是任意角度，所以当-是任意角度时，有必要研究上述推导是否正确。当-是一个任意角度时，一个角度，0，2总是可以通过归纳公式得到，因此cos =cos (-)。如果0，那么=cos=cos(-)；如果，2，那么2-0，并且=cos(2-)=cos=cos(-)。因此，对于任何角度，具有2.教师们提出了进一步扩展的问题：在这个问题情境中，涉及到如何用sin、sin、cos和cos来表达sin ( )。尝试探索和研究sin ( )的表达。对此进行评论本案设计完整，思路清晰。该案例首先通过问题情境阐述了两个角的三角函数的和、差、公式的背景，然后组织学生进行分析和讨论，借助单位圆中的三角函数线证明、和-是锐角，然后用向量知识探究任意角度的情况。这些都体现了数学中特殊到