第二章 矩阵代数基础.ppt

1、1,第二章 矩阵代数基础,刘子忠,2,2.1 引言,为何要学习矩阵代数知识？ 已学过：分子的对称操作如何构成点群及 点群的分类和符号。 下一目标：寻找和对称操作行为相似的矩阵集合，即和对称操作同态的矩阵。这些矩阵称为对称操作的表示，即以数学方法来表达分子对称性的含义，是群论应用于化学全部问题的中心。 作法：建立矩阵表示与点群间的联系，应用矩阵表示的数学定理来解决不同的化学问题。 在建立矩阵表示与点群间的联系之前，必须了解一点矩阵本身的性质。,3,2.2 矩阵定义,定义 矩阵是称作元素的数字（或符号）的矩形列阵。 这些元素写在小括号或中括号之间。 如： 群论与化学只涉及方阵（行数等于列数）、单行

2、或单列矩阵。,4,通常用大写斜体字母代表矩阵，小写字母代表矩阵元素。如：A表示矩阵，aij表示矩阵A的第i行j列元素。 方正的行数（或列数）称为矩阵的阶。 矩阵有确定的运算规则。 注意矩阵与行列式的区别： 行列式：是一些元素的正方列阵，代表着这些元素确定的乘积的总和，有确定的数值。用列阵的两边加单根数线表示，如：,5,二阶行列式展开 三阶行列式展开 n阶行列式展开 一个行列式等于任意给定的列（或行）的元素与它们相应的代数余子式乘积的总和。,行列式的展开,6,例如行列式 某元素的余子式：将该元素所在行和所在列划掉后得到的低一阶的行列式。如元素a22的余子式为： 某元素的代数余子式：将该元素的余子

3、式乘以(-1)i+j,7,例如将下列行列式按照第2行或按第二列展开如下,8,例如将下列行列式按第一行展开 或者将下列行列式按第三列展开,9,一个方阵的行列式就是将该矩阵认作行列式即可，假如矩阵为A，我们就将其行列式记作det(A),即： 则,10,2.3 矩阵代数,（1） 相等 两矩阵A和B相等，当且仅当对于所有i和j均有Aij=Bij.例如 若 且 A=B 则,11,（2） 加法与减法 只有相同维数的矩阵才可以相加或相减。在此情况下， A与B之和可用矩阵C 表示。 A + B =C 其中对所有i和j均有 Cij = Aij + Bij.例如 同理，A减B可用矩阵C表示 A - B =C 其中

4、对所有i和j均有 Cij = Aij - Bij.例如,12,由此推论，用数c乘以矩阵A得到矩阵B， B=cA 其矩阵元对所有i和j都由 Bij = cAij 给出.例如,13,（3） 乘法 A和B两矩阵，当且仅当A的列数，假定为n，等于B的行数时，才可以相乘（称为矩阵乘法），其乘积定义为矩阵C C = AB 其矩阵元对于所有i和j都按方程 得到。如果矩阵A有m行n列（mxn矩阵），而矩阵B有n行p列（nxp矩阵），则矩阵C 必为m行p列（mxp矩阵）。例如,14,例1 例2 例3,15,记忆法：取第一个矩阵的各行按向量乘法依次乘以第二个矩阵的各列，第i行和第j 列相乘得乘积中的i、j元素。

5、两个以上矩阵的相乘，只要多次运用乘法规则，一次将一对矩阵相乘 A(BC)= (AB)C,16,对于三个矩阵的乘积，D=ABC 乘积的一般元素，对所有i和j都可通过 给出，式中 r是A的列数，必须和B的行数相同，而s是B的列数，必须和C的行数相同。 注意：相乘的矩阵其行数和列数的限制。 一般来说： AB BA,17,矩阵的应用 可以用简单的形式表示线性方程组。例如： 可以写成： AX=Y,y1=A11x1 + A12x2 +A13x3 y2=A21x1 + A22x2 +A23x3 y3=A31x1 + A32x2 +A33x3,18,此外，若与该方程相关联的还有方程组： 则 Z=BY 式中 因

6、此 (BA)X=Z 表示意义：若矩阵B定义y变换成z，而矩阵A定义 x变换成y，那么，由x到z的变换就由矩阵BA确定。,z1=B11y1 + B12y2 +B13y3 z2=B21y1 + B22y2 +B23y3 z3=B31y1 + B32y2 +B33y3,19,（4 ）“除法”,矩阵“除法”如同算符一样，“除法”只能经过一个逆过程来完成。 凡是矩阵A具有非零行列式，即 Det(A)0 则称矩阵A为非奇异矩阵。 对于且仅仅对于非奇异矩阵，才能按照下面等式来定义其逆矩阵方法求其逆矩阵A-1 AA-1=A-1A=E 式中E是恒等矩阵 和除法等价的矩阵运算是一个逆矩阵相乘，例如，当 AB=C

7、ABB-1=CB-1 AE=CB-1 A=CB-1 注意：由于矩阵不一定对易，在等式两边同乘另一矩阵时，要左乘，均左乘，要右乘，均右乘。,20,确定逆矩阵的方法（Gramer法则）,考虑n个方程 y1=A11x1 + A12x2 +A1nxn y2=A21x1 + A22x2 +A2nxn . （2.1） yn=An1x1 + An2x2 +Annxn 用矩阵记号写为：,21,记为 Y=AX，用A-1左乘两边，得到 X= A-1 Y 若令,22,（2.2）,X=A-1Y,23,A的行列式可写成（式中Mij为的Aij代数余子式）,24,如果用M11乘方程2.1的第一式，用 M21乘方程2.1的第

8、二式， 用Mn1乘方程2.1的第n式，然后相加，得 M11 y1+ M21 y2+ Mn1 yn = (A11 M11 + A21 M21 + An1Mn1) x1 + (A12 M11 + A22 M21 + An2Mn1) x2 + + (A1n M11 + A2n M21 + AnnMn1) xn =det(A) x1,25,+,由于具有两个或两个以上相同的列的行列式等于零，这个方程成为 M11 y1+ M21 y2+ Mn1 yn=det(A)x1 或,26,按同样的方式，用其它的代数余子式能够得到,（2.3） X=A-1Y 这些方程与（2.2）相比，得到,27,对于任一方阵A (A-

9、1)ij= Mji/det(A),28,式中(A-1)ij是矩阵A的逆矩阵第i行与第j列的矩阵元素，而Aji的代数余子式Mji是从A中划去第j行与第i列所得到的低一阶矩阵的行列式乘以(-1)i+j. 说明(1)若det(A)=0（即当A是奇异矩阵时），方程(A-1)ij= Mji/det(A)及因之而得到的逆矩阵无法定义。 (2) 若Det(A)0，则A必须是方阵。 （3） 方程（2.3）给出任何一组有n个变量的n个方程的解。,29,（5） 结合律及分配律 A(BC)=(AB)C A(B+C)=AB+AC,(6)特殊矩阵 （a）恒等矩阵 对角元素均为1，非对角元素均为零的矩阵。 也即,30,（

10、 符号称为Kronecker delta)。其它表示恒等矩阵的符号是I和1，有时被称为单位矩阵。他可以是任意阶的，并能插写到任何矩阵方程的任何地方。 （b）对角矩阵 任何全部非对角元均为零，而全部对角元为非零的方阵陈作对角矩阵。 也即,31,(c) 实矩阵 设一个复数 f=a+bi, 则 f 的复共轭为 f*=a-bi 矩阵A的共轭复矩阵为A*，A的矩阵元素是A矩阵元素的共轭复量，即(A*)ij= (A ij) * 实矩阵：A= A* 也即，对所有的i和j， A ij =A*ij （d) 对称矩阵 转置矩阵：A的转置矩阵是把A矩阵的行变成列即得（反之亦然），且以符号 表示,32,例如 对于一个

11、对称矩阵 亦即，对于所有i和j Aij=Aji 例如 是对称阵。 所有对称矩阵必是方阵,33,(e)厄米矩阵 伴随矩阵（ ）：A的伴随矩阵是取其转置矩阵的共轭复量而得，即 例如： 的伴随矩阵是 厄米矩阵：A=,34,亦即， 例如 是厄米矩阵。 所有厄米矩阵必是方阵；对于实矩阵，判定它是厄米矩阵还是对称矩阵的判据是相同的。 （f）零矩阵 元素全是零的任何矩阵。,对于所有i和j Aij=Aji*,35,（g) 酉矩阵 当一个矩阵的伴随矩阵等于其逆矩阵时，则为酉矩阵。 =A-1 或者 A=E， A =E 酉矩阵的列（或行）与通常向量空间里的一组正交归一向量相关。例如，若 是酉矩阵，则 A=E， 和,

12、36,按定义要求全体向量： 是正交归一的，即A的各列构成正交归一向量 式中 是单位正交基向量。 所有酉矩阵都是方阵。 例如 是酉矩阵,37,（h）正交矩阵 若一个矩阵的转置矩阵等于其逆矩阵，即 则为正交矩阵。 对于实矩阵，判定它是正交矩阵还是酉矩阵的判据是相同的。所有正交矩阵都是方阵。 例如 是正交矩阵。（请证明）,38,转置矩阵（ ）、伴随矩阵（ ）与逆矩阵（A-1）,39,2.4 矩阵本征值方程,对于每一个n阶的方阵A，都存在形式为 AX=X 的本征值方程，式中的 X 是一个（维数为n1)列矩阵， 是一个数或标量。方程的解通常有n个各不相同的值（称为本征值）和相应的列矩阵X (称为本征向量

13、）。 该方程表示意义：以列矩阵右乘矩阵A就等于同一列矩阵乘以一个数。,40,可以用下标来区分方程的几个解，可将对应于不同本征值1， 2， n的各本征向量写作X1， X2， Xn, 并将方程写成 Axi=xi i=1,2,n 通常需将本征向量归一化,41,即 i=1,2,n 或者 即 这一限制删减了那些不必要的仅差一个常数因子的本征向量。 方程的另一形式 （A- iE ) xi =0 i=1,2,n,42,式中：E为恒等矩阵，0为零矩阵。 为使方程有非平凡解（即排除xi=0)，本征值i必须满足行列式方程 det(A- E ) =0 该方程通常被称为矩阵A的特征方程，它实质上是一个的多项式方程，具

14、有n个根1，2， n。将1， 2， n逐一代入方程（A- iE ) xi =0 和 进行求解。每一个本征值i导致相应的非零归一化本征向量xi 。,43,对于（A- iE ) xi =0 的本征值和本征向量有两个重要定理： （1）若矩阵A是厄米矩阵，则其本征值是实数。 i= i* i=1,2,n 若他们的本征向量都是对应于不同的本征值，亦即，当本征值是非简并的（ k i ），那么本征向量是彼此正交的。 或 合并二式为,44,（2）以厄米矩阵的本征向量作为列所组成的矩阵X时酉矩阵。 由矩阵A的本征向量所组成的矩阵X，可用来和AX=X 的解结合而成单个方程： 当A是厄米矩阵，则X当然是酉矩阵；如果A

15、是对称矩阵，则X就是正交矩阵。,45,2.5 相似变换,若存在矩阵Q使 Q-1AQ=B 则称矩阵A和B通过相似变换相联系。 定理1 若A和B矩阵是通过相似变换关联的，则其行列式本征值及迹（对角元素之和）应是相等的。det(A)=det(B) A的诸=B的诸 迹(A)=迹(B) 若 A= Q- 1AQ，B= Q- 1BQ， C= Q- 1CQ，则A,B,C, ,之间的任何关系，也为A，B，C，,所满足。,46,定理2 若相似变换的结果产生一个对角阵，那么，此过程称为对角化。 定理3 假若矩阵A和B可通过同一矩阵对角化，则A和B对易。 定理4 假若X是由矩阵A的本征向量所组成的矩阵，则相似变换X-1AX必将 产生一个对角矩阵，其对角元为A的本征值。假若A是厄米矩阵，则X一定是酉矩阵。一个厄米矩阵总是可以通过酉变换使之对角化；而一个对称矩阵总是可以通过正交变换使之对角化。 定理5 酉矩阵经过酉变换仍然是酉矩阵。,47,矩阵的对角化或如何求矩阵的本征值和本征向量 例，将下列矩阵 对角化。 方法：可以通过由A的本征向量所组成的矩阵X来完成，所得的对角矩阵则由A的本质值组成。 一般步骤：（1）从（A- E ) x =0 来确定本征值1，2， n。 （2）用这些本征值从方程（A- iE ) xi =0 及,确定本征向量。,48,（3）从X确定X-1。,49,解：（1）