课标通用2018年高考数学一轮复习第三章导数及其应用3.3导数的综合应用学案理

1、3.3衍生产品的综合应用测试点1使用导数来研究生活中的优化问题标题1一个村庄计划建造一个没有盖子的圆柱形水库(无论其厚度如何)。水库底部的半径为0.5米，高度为0.5米，容积为0.5立方米。假设建筑成本仅与表面积有关。边的建筑成本为100元/平方米，底的建筑成本为160元/平方米。水库总建设成本为12 000元(为)。(1)将V表示为r的函数V(r)，并求出该函数的定义域；(2)讨论了函数V(r)的单调性，当R和H确定时，储层的体积最大。(1)由于库侧总成本为1002 RH=200 RH元，库底总成本为160r2元。因此，水库的总成本为(200 RH 160 R2)。根据问题的含义，200相对

2、湿度160 R2=12000，所以h=(300-4R2)，因此v (r)= r2h=(300r-4r3)。由于r0，可以从h0获得0 r5。因此，函数V(r)的定义域是(0，5)。(2)因为v (r)=(300r-4r3)，因此，v(r)=(300-12r 2)，让v(r)=0，解将是r=5或-5 (r=-5 0，放弃它)。当r(0，5)时，V(r)为0，所以V(r)在(0，5)处是一个递增函数。当r(5，5)时，V(r)为0，所以V(r)是(5，5)上的递减函数。因此，V(r)在r=5，h=8时达到最大值。也就是说，当r=5和h=8时，储层的体积最大。用导数解决生活中最优化问题的四个步骤(1

3、)分析实际问题中变量之间的关系，列出实际问题的数学模型，写出实际问题中变量之间的函数关系式y=f (x );(2)求出函数的导数f(x)，求解方程f(x)=0；(3)比较区间末端函数值与f(x)=0的点，最大(小)值即为最大(小)值；(4)回到实际问题来回答。在商场销售某种商品的经验表明，日销售量y(单位：公斤)和销售价格x(单位：元/公斤)满足关系y=10 (x-6) 2，其中3 x 6，a为常数，当已知销售价格为5元/公斤时，每天可销售11公斤商品。(1)找到a的值；(2)如果商品的成本是3元/公斤，试着确定销售价格x的价值，从而使商品的日销售利润最大化。(1)因为当x=5，y=11时，所

4、以10=11，a=2。(2)根据(1)，该商品的日销售量为y=10 (x-6) 2。因此，商场每天销售商品所获得的利润f(x)=(x-3)=2+10(x-3)(x-6)2，3x6。因此，f(x)=10(x-6)2 2(x-3)(x-6)=30(x-4)(x-6)。因此，当x变化时，f(x)和f(x)的变化如下。x(3，4)4(4，6)f(x)+0-f(x)最大42从上表可以看出，x=4是函数f(x)在区间(3，6)中的最大值，也是最大值。因此，当x=4时，函数f(x)得到最大值，最大值等于42。答：当售价为4元/公斤时，商店的日利润最大。测试点2使用导数来研究方程的零点问题题目2 2017山东

5、潍坊模拟函数f (x)=x2，g (x)=alnx (a0)是已知的。(1)求函数f (x)=f (x) g (x)的极值；(2)如果函数g (x)=f (x)-g (x) (a-1) x在区间中有两个零，它就是实数a的取值范围.解答 (1)根据问题的含义，f (x)=f (x) g (x)=ax2lnx，f(x)=axln x+ax=ax(2ln x+1)，Xe从F(x)0获得，00，G(x)单调增加。为了使G(x)在区间中有两个零，需要满足也就是说比较下面和的大小。由于-=0，因此，因此，实数a的取值范围是。让函数f (x)=-klnx，k0。(1)求f(x)的单调区间和极值；(2)证明了

6、如果f(x)中有零点，则区间(1)中只有一个零点。(1)解：从f (x)=-klnx (k0)，得到X 0且f(x)=x-=。f(x)=0时，解为x=(负值被截断)。当x变化时，f(x)和f(x)在区间(0，)中的变化如下：x(0，)(，+)f(x)-0+f(x)因此，f(x)的单调递减区间是(0，)，单调递增区间是(，)。f(x)的最小值在x=f()时获得。(2)从(1)中证明了区间(0，)中f(x)的最小值是f ()=。因为f(x)有零点，它0，所以ke，当k=e时，f(x)在区间(1)中单调递减，f ()=0，因此x=是区间(1)中f(x)的唯一零。当ke，f(x)在区间f()=0中单调

7、减小，f (1)=0，f ()=0时，因此，f(x)在区间(1)中只有一个零点。总而言之，如果f(x)中有零点，那么在区间(1)中就只有一个零点。测试点3使用导数来研究与不等式相关的问题【关注考试情况】导数在不等式中的应用是每年高考必考的内容，很难以答题形式进行考查，属于中高年级试题。主要有以下主张：角度一证明不平等题目3 2017安徽合肥第二模型已知函数f (x)=。(1)如果f(x)是区间(-，2)中的单调递增函数，求实数a的取值范围；(2)如果a=0且x0 1，让直线y=g (x)是函数f(x)在x=x0时的图像的切线，并证明f (x) g (x)。(1)解很容易得到f(x)=，根据问题

8、的含义，f(x)0适用于x(-，2)，因此，x 1-a适用于x(-，2)，1-a2,a-1.因此，实数A的取值范围是(-，-1)。(2)证明如果A=0，那么F(x)=0。函数f(x)的图像在x=x0时的切线方程是y=g(x)=f(x0)(x-x0)f(x0)。设h(x)=f(x)-g(x)=f(x)-f(x0)(x-x0)-f(x0)，xR，然后h (x)=f (x)-f (x0)=-=。设 (x)=(1-x) ex0-(1-x0) ex，xR，然后(x)=-ex0-(1-x0)ex，x01,(x)0，(x)在r上单调下降，而 (x0)=0。 (x) 0当x x0时，当x x0， (x) 0时

9、，h(x) 0当x x0时，当x x0时H (x) 0，h(x)是区间(-，x0)中的递增函数和区间(x0，)中的递减函数。当xR时， h (x) h (x0)=0，f(x)g(x).角度2不等式常数建立问题题目4 2017青海西宁模拟已知函数f (x)=x2 2x，g (x)=xex。(1)求f (x)-g (x)的极值；(2)当x(-2，0)成立时，f (x) 1 ag (x)成立，这是实数a的取值范围.(1)让h (x)=f (x)-g (x)=x2 2x-xex，然后h(x)=(x 1)(2-ex)，设h(x)=0，解是x=-1或x=ln 2。当x发生变化时，h(x)和h(x)的变化如

10、下表所示。x(-，-1)-1(-1，ln 2)ln 2(ln 2，+)h(x)-0+0-h(x)最低限度maxh(x)最小值=h (-1)=-1，h(x)最大值=h (ln2)=ln22，即f (x)-g (x)最小值为-1，最大值为ln22。(2)从问题的意义来看，当x(-2，0)时，x2 2x 1 axex成立，即a成立。让t (x)=， T (x)=，当x(-2，-1)、t(x)0和t(x)单调增加时；当x(-1，0)时，t(x)0和t(x)单调下降。因此，当x(-2，0)时，t (x) max=t (-1)=0。a0.因此，实数A的取值范围是0，)。角度三存在不平等的建立【题目5】【2

11、017福建四中六校联考】已知A为实数，函数f(x)=AlNx2-4x。(1)是否有实数a，使得f(x)在x=1时得到极值？证明你的结论；(2)让g (x)=(a-2) x，如果x0，那么f(x0)g(x0)成立，且实数a的取值范围不变.解 (1)没有实数A，这使得f(x)在x=1时得到极值。可以证明：函数f(x)的定义域是(0，)，f(x)=2x-4=。假设有一个实数a，所以f(x)取x=1时的极值，然后f (1)=0。 a=2，此时，f (x)=，当x0，f(x)0成立时，f(x)在(0，)上单调增加， x=1不是f(x)的极值点。因此，没有实数a，这使得f(x)在x=1时得到极值。(2)从

12、f(x0)g(x0)，(x0-lnx0) a x-2x0、写f (x)=x-ln x (x0)，f(x)=(x0)，当01，f(x)0和F(x)单调增加。F(x)F(1)=10，a，G (x)=，x，g(x)=。x,2-2ln x=2(1-ln x)0，x-2ln x+20，当x时，g (x)0和G(x)单调下降；当x(1，e)时，G(x)0和G(x)单调增加，G(x)min=G(1)=-1,aG(x)min=-1.因此，实数a的取值范围是-1，)。导数在不等式中的应用：两种解题策略(1)用导数证明不等式如果我们证明F(x) g (x)，x(a，b)，我们可以构造函数f (x)=f (x)-g

13、 (x)。如果f(x)0，则f (x)是(a，b)中的递减函数，如果f(。(2)利用导数解决不等式的常数建立问题用导数研究不等式问题，首先要构造一个函数，用导数研究函数的单调性，找到最大值，然后用参数得到相应的不等式，从而找到参数的范围；它还可以分离变量和构造函数，并将问题直接转化为函数的最大值问题。振体训练1.让函数f (x)=ex (2x-1)-ax a，其中a 1，如果有一个唯一的整数x0使f (x0)小于0，那么a的取值范围是()A.B华盛顿特区答：d .分析结果：f (0)=-1 a 0， x0=0。X0=0是唯一的整数，也就是说，解是a。和a 1， a 1，因此选择d .2.陕西卷

14、2014如图所示，飞机在4公里高度水平飞行，从a着陆点10公里的水平距离下降。已知下降飞行路径是三次函数图像的一部分，因此该函数的解析表达式为()A.y=x3-xB.y=x3-xC.y=x3-xD.y=-x3+x答：答分析：让分辨率函数为y=f (x)，这意味着f(5)=2，f (-5)=2，f (5)=0。通过替换验证很容易得到y=x3-x，所以选择a .3.辽宁卷2014当X-2，1时，不等式AX3-X2 4X 3 0成立，则实数A的取值范围为()A.-5，-3BC.-6，-2D.-4，-3回答：c。分析：当x=0时，ax3-x2 4x 30变为30，即a r .当x(0，1)，ax3 x

15、2-4x-3时，a,amax.让 (x)=，(x)=-=-0，(x)在(0，1)上单调增加，(x)最大值=(1)=6。a-6.当x-2，0，a时，amin.让 (x)=，(x)=，当x-2，-1，(x)0时；当x(-1，0)时，(x) 0。当x=-1时，(x)有一个最小值，也就是最小值。(x)min=(-1)=-2， a -2。总而言之，a的范围是-6，-2。4.2016新课程标准第一册众所周知，函数f (x)=(x-2) ex a (x-1) 2有两个零。(1)找出a的取值范围；(2)设x1和x2是f(x)的两个零，并证明x1是x22。(1)溶液：f(x)=(x-1)ex 2a(x-1)=(x-1)(ex 2a)。假设a=0，那么f(x)=(x-2) ex，f(x)只有一个零点。()如果a0被设置，当x(-，1)时f(x)0；当x(1，)，f(x)0。因此，f(x)在(-，1)上单调减少，在(1，)上单调增加。f (1)=-e，f (2)=a，b满足b0，b (b-2) a (b-1) 2=A0。因此，f(x)中有两个零。()设a0，设f(x)=0 x=1或