平面向量全章习题（通用）

1、平面向量学法指导向量是近代数学中重要和基本的概念之一，有着极其丰富的数学和物理背景；同时它也是沟通代数、几何与三角函数的一种工具，在表述和解决相关问题中有着重要应用。在本模块的学习中，我们首先将了解向量丰富的数学背景（有向线段）和物理背景（位移、速度、力和做功）。有向线段具有长度和方向，向量也具有大小和方向，两者的几何特征是完全一致的，因此我们常用有向线段来表示一个向量。向量也是对物理学中的矢量的进一步抽象，因此我们在学习中可以将向量和矢量对照学习，尤其是向量的正交分解、加减、数乘与数量积运算。向量的运算的学习要从一些实例开始，如从位移的合成引入向量的加法（减法），从速度的倍数引入数乘向量，从

2、“做功”引入向量的数量积。同时我们要注意充分利用几何图形语言,从图形直观上获得解题的思路甚至直接获得解法。在学习中我们要注意到利用向量法解决有关几何问题、力学问题和其它一些实际问题，如距离、角度等的计算以及各种空间关系如垂直、平行等的论证，发展学生的运算能力和解决实际问题的能力。由可知，此即求距离和线段长度的向量法 ；由（为向量夹角），知=利用这个公式可以求已知方向向量的两条直线的夹角； 求两条直线夹角常见如已知两条直线方程，则可由方程求出方向向量进而求夹角；再如，判断两条直线的位置关系，求直线方程，求符合某些条件的曲线方程等，均可利用向量法进行；另外，由于空间向量是平面的自然推广，由于向量的

3、平移不变性，每两个空间向量均可视为两个平面向量，所以在立体几何中模块中，对向量的应用将更加广泛，对空间垂直、平行关系的判断与证明、对空间角度与距离的求解等利用向量均有很好的解法。因此在学习中要注意引导学生形成向量几何观念，掌握一些常见问题的处理方法，初步形成向量几何的方法体系。练习一（1.从位移、速度、力到向量）1、下列说法正确吗？物理中的矢量是既有大小又有方向的量，所以只要两个矢量的大小和方向都一致，就是相等的矢量；数学中规定，具有方向和长度的线段称为有向线段，所以两条有向线段相等只要它们的长度和方向一致即可；一个矢量就是一个向量；一个向量就是一条有向线段，一条有向线段就是一个向量。2、一张

4、正方形桌子边长1m，一只小蚂蚁从桌子东南角出发，沿直线爬到西北角；另一只小蚂蚁从桌子东南角出发，沿桌子边沿先爬到西南角，再爬到西北角。试选择适当的比例尺，画出这两只小蚂蚁的位移；试问：这两只小蚂蚁的位移一样吗？为什么？3、下列说法正确的是（ ）4、在平行向量不一定相等；不相等的向量一定不平行；共线向量一定相等；相等向量一定共线；不共线的向量一定不相等；平行于同一个向量的两个向量是共线向量中，正确的命题有 5、两个正三角形交叉叠放如图，各交点为所在边的中点，试找出图中分别相等、相反的向量。 A B C D E F G H6、试用有向线段表示下列事件中出现的矢量（位移或速度）：某次台风中心风速达到

5、了每秒45米，从沿海某地登陆后向西南方向移动；某缉私艇从中心出发，向东南方向行驶15浬到达A岛后，又向正东行驶10浬到达目的地；7、下列说法正确的是（ ）A、零向量是长度为零的向量，没有方向；B、单位向量是长度为单位1的向量，也没有方向；C、零向量没有方向，但单位向量有方向；D、零向量和单位向量都有方向。8、两个向量平行或共线在本质上是一致的，指的都是表示这两个向量的有向线段所在直线平行或重合；、两条有向线段平行或共线在本质上也是一致的；、零向量和任何向量都是共线向量；、任何两个零向量都是相等的向量；、如果不知道两个零向量的方向，那么我们就无法断定这两个零向量是否相等。在以上说法中，正确的有_

6、。思考探索交流一位年轻的父亲将不会走路的小孩的两条胳膊悬空拎起，结果造成小孩胳膊受伤，试用所学知识加以解释。练习二（2.从位移的合成到向量的加法）1、如图，已知向量a，b，求作a+b，a - b，b - a，a - b+a，a+b - a。 b a2、一条小船渡河，当河水静止时，小船航行的速度大小是6千米/小时，方向北偏西30o。某日河水的速度大小是3千米/小时，方向正东。问小船到岸时的实际运动速度的大小和方向如何？3、已知向量a,b,c分别表示物体A受到的三个方向上的力：西北方向2N，正东方向N，正南方向N，试求物体A受到的合力。4、若M是线段AB的中点，则 （ ）ABCD以上均不正确5、下

7、列说法或表达式中，正确的是（ ）A、若向量a+m=b+m，则向量a=b；B、若向量a+b=c+d，则向量a=b且c=d，或向量a=c且b=d。C、.D、6、化简下列各式、7、如图，在任意四边形ABCD中，E，F分别是AD，BC中点。求证：。 E D A B C F 8、O是平行四边形ABCD外任意一点，求证：。 O D C A B 思考探索交流如图，用两根绳子吊起一重物W，ACW=150，BCW=120，且测得A处所受力的大小为kg，B处所受力的大小为5kg，求重物W的重量。练习三（2向量的减法）1、已知向量a,b,c,求作：、a-b；、a+b-c;、a-b+c;、a-b-ca b c2、已知

8、向量a,b,c，d分别表示下列位移：“向东南50米”、“向东20米”、“向西10米”、“向北30米”，请说明向量a+a-a，a+b-c，a+c-d的意义。3、填空：、；、；、；4、已知向量=“向南走30km”，=“向东走20km”，则=_，=_，与所在直线的夹角的余弦值=_，与所在直线的夹角的正弦值=_。5、下列说法正确的是（ ）A、若，则,所在直线互相垂直。B、若，则=。C、若则=。D、以上都不对。6、如图.点M是的重心,则 7、当两个向量，不共线时，求证：。（提示：利用三角形两边之和与差与第三边的关系）。思考探索交流如图，细绳l长为100cm,，最大承重10kg,重物W为6kg，通过细绳m

9、向右拉起重物。若在拉起的过程中，尽量使细绳m保持水平状态，问最多将重物提高多少？练习四（3从速度的倍数到数乘向量）1、若向量表示列车向正东方向行驶了200公里，向量表示列车向正北方向行驶了200公里，则2，-0.5，2+2 各表示什么意义？2、任作两个向量，不共线，求作向量2-3，-2.5+23、已知两个向量，不共线，若向量2-3与0.5+k共线，求实数k的值。4、求证平面内A与B，C两点(B,C两点不重合)共线的充要条件是对平面内任一点P，存在实数k,m，使得，且k+m=1。5、一质量为25Kg的物体分别沿着倾角为45o和60o的斜面匀速下滑，求物体受到的滑动摩擦力和支持力。6、在ABC中，

10、M，N分别是AB，AC边上的中线，求证：7、在ABC中，P是边BC上的中点，求证：8、在梯形ABCD中，AB|CD，M，N分别是两腰AD，BC的中点，求证：思考探索交流设是不共线的两个向量，已知若A，B，D三点共线，求k的值。练习五（平面向量的坐标一）1. 与向量=(3,4)共线的单位向量是 ( ) A.(-,-) B.(0,1) C.(6,8) D.(,)2、（04安徽春招）已知向量集合，则（ ）A（1，1） B（1，1），（2，2）C(2，2) D3、已知且，则x的值为（ ）；4、若A（-2，3），B（4，-5)，C（-6，-7），则5、若向量则6、若向量7、在平面直角坐标系中，为坐标原点

11、，已知两点、，若点满足，其中、，且，求点的轨迹方程。思考探索交流已知点A（3，4），B（5，6），C（7，8），若，试求当为何值时，点P在第三象限内？练习六（平面向量的坐标二）1、设A（-1，0），B（0，2），C（4，3），D（3，1），则四边形ABCD是（ ）A、正方形 B、矩形 C、菱形 D、平行四边形2、3、（04武汉）若A、（2，1）； B、（-2，1）； C、（1，-2）； D、（-2，-1）。4、已知点A（0，1），B（6，5），若点C是线段AB的中点，试求点C的坐标；若点C是线段AB的一个三等分点，试求C点坐标。5、若向量试证明：=（x1+x2,y1+y2).6、已知一个平行四

12、边形的三个顶点的坐标分别为（1，0），（0，2），（-1，-2），求第四个顶点的坐标。7、已知点A（0，1），B（2，3），C（4，x），试求A，B，C三点共线时x的值。思考探索交流已知ABC中，A（x1,y1）,B(x2,y2)，C(x3,y3)，求ABC的重心G的坐标。练习七（从力的做功到向量的数量积一）。1、设为任意非零向量，则的值为（ ）A、0； B、正数； C、负数； D、不能确定。2、若为任意向量，则下列等式不成立的是（ ）A、 B、 C、 D、3、若为任意向量,下列说法正确的是（ ）A、若，则； B、若，则C、若，则 D、。4、下列说法正确的是（ ）A、对任意实数，都有； B、；

13、C、0=0； D、5、已知向量的夹角为30o，且，试求、已知向量的夹角为150o，且，试求、已知向量的夹角为0o，且，试求、已知向量的夹角为90o，且，试求6、已知向量的夹角为30o，且，试求7、已知且= 3，试求向量的夹角。思考探索交流如图，重物M质量为10kg，在地面上受拉力的作用而前进了5m，已知拉力的大小为8N，问拉力对重物所做的功的大小是多少？练习八（从力的做功到向量的数量积二）1、下列说法正确的是（ ）A、一个向量在另一个向量方向上的射影也是一个向量；B、一个向量在另一个向量方向上的射影是一个数量；C、一个向量在另一个向量方向上的射影是一条有向线段；D、一个a向量在另一个向量方向上

14、的射影是一个非负数。2、已知，则两两的夹角为_；3、（06安徽卷）在ABCD中，M为BC的中点，则。4、在ABC中，若则ABC的形状是（ ）A、等腰三角形；B、直角三角形；C、等边三角形；D、以上均不对。5、已知是非零向量且满足，求与的夹角。6、用向量法证明等腰三角形底边上的中线和底边垂直。7、用向量法证明等腰梯形上下底边中点的连线和底边垂直。思考探索交流（2004全国湖北卷）如图，在RtABC中，已知|BC|=a，若长为2a的线段PQ以点A为中点，问与的夹角取何值时，的值最大？并求出这个最大值。练习九（平面向量数量积的坐标表示）1、已知向量，则=_；=_；=_；的夹角的余弦=_。2、（04天

15、津）已知向量，若与垂直，则实数k的值等于_；3、（04重庆）若向量与的夹角为60o，则向量的模是（ ）A、2； B、4； C、6； D、12。4、已知向量，向量，则的最大值是_5、设函数，其中向量，若且，求；6、已知圆C的方程为x2+y2+2x+4y- 4=0，求过点P(-1,1)作圆的切线方程。7、已知直线l:x-2y+3=0，m：4x-8y=7，试求两条直线的夹角的余弦。思考探索交流平面内有向量点Z为直线OP上一动点，当取最小值时，求及cosAZB.练习十（向量的应用举例一）1、已知，则的取值范围为（ ）（A）（B）（C）（D）2、已知点A（16，0），B（0，12），点C在线段AB上且，

16、则点C的坐标为（ ）A、；B、（4，3）；C、（12，3）；D、（4，9）3、已知直线l和m均过原点O，且方向向量分别为则直线l和m的夹角为（ ）4、平面内有三点A（2，3），B（5，2），C（1，0），则三角形ABC的形状为（ ）A、等边三角形；B、等腰直角三角形；C、等腰非直角三角形；D、直角非等腰三角形。5、已知，直线l过点P（0，1），且其方向向量与平行，求直线l的方程。6、已知直线l过点A（1，2）且和向量垂直，求直线l的方程。7、已知直线l：x+2y+3=0，直线m过点A（4，5）和直线l平行，试求直线l,m之间的距离。思考探索交流(04.合肥)在平面直角坐标系中，设向量且其中x2

17、-x1=x3-x2=x4-x3,y2-y1=y3-y2=y4-y3，求证：四边形ABCD是平行四边形。练习十一（向量的应用举例二）1、光滑的斜面上有一重物M匀速滑下，若斜面长为10米，倾斜角为45o，物体的重量为1Kg，则重力做的功为_。2、在阳光垂直照射地面的中午，一只小鸟从50米高处沿45o角俯冲而下，则它在地面上的影子发生的位移大小是_；若小鸟俯冲的速度的大小是每秒2米，则它的影子移动的速度大小是_。3、一质点P从位置A（0，1）运动到B（2，3），然后又沿东南方向前进了5个单位到达位置C，求质点P发生的位移大小是_。4、是平面上一定点，对，动点满足，则的轨迹一定通过的（ ）A外心 B内

18、心 C重心 D垂心5、已知的顶点坐标分别为A（x1,y1)，B(x2,y2），C（x3,y3)，求其重心G的坐标。6、若是同一个起点的两个不共线的非零向量，试问：当实数t取何值时，三个向量的终点在同一直线上？7、已知直线l过点A（1，2）和点B（3，4）的中点且和AB垂直，求直线l的方程。思考探索交流某人在塔的正东沿着南偏西60的方向前进40m以后，看见塔在东北方向。若沿途测得塔的最大仰角为30o,求塔高。平面向量单元测试题一、选择题1、下列说法正确的是（ ）A、向量是共线向量，则点A，B，C，D必共线。B、两个相等向量的起点和终点均须一致；C、共线向量只须起点一致，终点可以不一致；D、两个平

19、行向量就是共线向量。2、在ABCD中，向量等于（ ）3、下列说法正确的是（ ）A、当表示两个向量的有向线段的起点和终点完全重合时，这两个向量才能称为相等向量；B、大小为5m，方向指向东南的位移记作，大小为5N，方向也指向东南的力记作，则,可视为两个相等的向量；C、；D、4、已知向量是两个不共线的单位向量，夹角为30o则下列向量共线的一组是（ ）A、B、C、D、5、设为两不共线的向量，则与共线的充要条件是（ ）(A) (B) (C) (D) 6、下列说法中正确的序号是（ ）平面内只有互相垂直的单位向量可作为基底；两个非零向量平行，则他们所在直线平行；零向量不能作为基底中的向量；两个基底向量的数量

20、积等于零.(A) (B) (C) (D)7、（03辽宁）已知四边形是菱形，点在对角线上（不包括端点、），则（ ）A， B，C， D，8、（04上海春招）在中，有命题；若，则为等腰三角形；若，则为锐角三角形.上述命题正确的是（ ）A B C D9、（04全国改编）已知向量、满足：|=1，|=2，|2|=2，则|2+|=（ ）A21 B C D10、已知且点在线段延长线上，使，则点坐标是（ ）A、(3,1) B、(1,3) C、(6,-13) D、(6,13)二、填空题1、向量、满足（2）（2+）=6，且|=2，|=4，则与夹角的余弦值等于_ 2、（04浙江改编）已知平面上三点、满足，则的值等于_

21、3、在ABCD中，已知=（1，2），=（5，6），O为ABCD的中心，则的坐标是_。4、在ABC中，若，则角C的大小是_。三、解答题1、若的边长a,b分别为方程的两根，的面积为，求第三边c.2、若点A（-1，-1），B（1，y），C（x，5）三点共线，且它们所在直线的方向向量的坐标为（1，2），试求实数x,y的值。3、已知点A（-1，-1），B（2，3），C（1，-2），D（-2，4），且AB和CD交于点P，试用向量法求点P的坐标。4、用向量法证明梯形的中位线平行于底边，长度为两底和的一半。5、已知顶点A（-1，-1），B（-1，3），C（2,-1）,试求外接圆方程。参考答案:练习一1.; .

22、我们并没有定义有向线段相等; ; ;2. 略; 从起点到终点的位移一样,因为两个位移的起点和终点一致;3.C;4.;5.略;6.略;7.D;8. ; 思考探索交流提示：可由向量的合成与分解知识推导（也可参照物理上的矢量的合成与分解），小孩的体重一定，当父亲悬空拎起孩子的时候，孩子胳膊上受到的力较大。练习二1. 略;2.3. ;4. C;5. A;6. ;7. 证明:所以,该式得证.8. 证明: 所以,该式得证.1、 思考探索交流提示：如图，可求得重物的重量为10kg。练习三(2向量的减法)1. 解略;2. 解略;3. ;2;4.5. C;6. ;7. 证明: 对过点A作如图.以AB,AC为边作

23、ABMC, 并连接AM,则在ABM中,|AB|+|BM|AM|即在ABC中,在ABM中,|AB|-|BM|AM|,在ABC中, |AB|-|AC|BC|,综上所述,命题得证.2、 思考探索交流提示：重物被拉至最高点处的受力分析如图。利用解三角形知识可求得此时离开原位置的高度为40cm. 。练习四.1. 略;2. 略;3. 解: 4.证明：如图，A与B，C共线，则，5. 解:若=60o,滑动摩擦力大小为,方向沿斜面向上;支持力大小为,方向垂直斜面向上;若=45o,滑动摩擦力和支持力大小均为,方向分别沿斜面向上和垂直斜面向上.6.7.8.思考探索交流提示：k=-1。练习五.1. A;2. D;3. 1;4.5.6. 0;7. x+2y-5=0.思考探索交流