测量误差和测量结果处理

1、第二章 测量误差和测量结果处理,2.1 误差 2.2 测量误差的来源 2.3 误差的分类 2.4 随机误差分析 2.5 系统误差分析 2.6 系统误差合成 2.7 测量数据处理,2.1 误差,一、测量误差的定义 测量的目的: 获得被测量的真值。 真值: 在一定的时间和空间环境条件下，被测量本身所具有的真实数值。 测量误差 : 所有测量结果都带有误差 。,二、误差的表示方法,测量误差有绝对误差和相对误差两种表示方法。 1.绝对误差 （1）定义：由测量所得到的被测量值与其真值之差，称为绝对误差,实际应用中常用实际值A（高一级以上的测量仪器或计量器具测量所得之值）来代替真值。 绝对误差：,有大小，又

2、有符号和量纲,二、误差的表示方法（续）,（2）修正值 与绝对误差的绝对值大小相等，但符号相反的量值，称为修正值 测量仪器的修正值可以通过上一级标准的检定给出，修正值可以是数值表格、曲线或函数表达式等形式。 被测量的实际值,二、误差的表示方法（续）,2.相对误差 一个量的准确程度，不仅与它的绝对误差的大小，而且与这个量本身的大小有关。 例：测量足球场的长度和合肥市到上海市的距离，若绝对误差都为1米，测量的准确程度是否相同？ （1）相对误差、实际相对误差、示值相对误差 相对误差：绝对误差与被测量的真值之比 相对误差是两个有相同量纲的量的比值，只有大小和符号，没有单位。,二、误差的表示方法（续）,实

3、际相对误差： 用实际值A代替真值A0 示值相对误差： 用测量值X 代替实际值A,二、误差的表示方法（续）,（3）满度相对误差（引用相对误差）P22 用测量仪器在一个量程范围内出现的最大绝对误差与该量程值（上限值下限值）之比来表示的相对误差，称为满度相对误差（或称引用相对误差）,仪表各量程内绝对误差的 最大值,二、误差的表示方法（续）,电工仪表就是按引用误差 之值进行分级的。是仪表在工作条件下不应超过的最大引用相对误差 我国电工仪表共分七级：0.1，0.2，0.5，1.0，1.5，2.5及5.0。如果仪表为S级，则说明该仪表的最大引用误差不超过S% 测量点的最大相对误差 在使用这类仪表测量时，应

4、选择适当的量程，使示值尽可能接近于满度值，指针最好能偏转在不小于满度值2/3以上的区域。,二、误差的表示方法（续）,例1-3 某待测电流约为100mA，现有0.5级量程为0400mA和1.5级量程为0100mA的两个电流表，问用哪一个电流表测量较好？,用1.5级量程为0100mA电流表测量100mA时的最大相对误差为,解：用0.5级量程为0400mA电流表测100mA时，最大相对误差为,二、误差的表示方法（续）,（4）分贝误差相对误差的对数表示 P23 分贝误差是用对数形式（分贝数）表示的一种相对误差，单位为分贝（dB）。 电压增益的测得值为 误差为 用对数表示为增益测得值的分贝值 分贝误差,

5、二、误差的表示方法（续） P24,三、电子测量仪器的容许误差 P25,容许误差：测量仪器在规定使用条件下可能产生的最大误差范围。 测量仪器的容许误差可用工作误差、固有误差、影响误差、稳定误差等来描述。 为了保证测量仪器示值的准确，仪器出厂前必须由检验部门对误差指标进行检验。 在使用期间，必须定期进行校准检定，凡各项误差指标在容许误差范围之内，仪器视为合格。 （1）工作误差 工作误差是在额定工作条件下仪器误差的极限值，即来自仪器外部的各种影响量和仪器内部的影响特性为任意可能的组合时，仪器误差的最大极限值。,三、电子测量仪器的容许误差（续）,（2）固有误差： 固有误差在规定的一组影响量的基准条件下

6、给出的误差,三、电子测量仪器的容许误差（续）,（3）影响误差 影响误差是用来表明一个影响量对仪器测量误差的影响。例如温度误差、频率误差。它是当一个影响量在其额定使用范围内（或一个影响特性在其有效范围内）取任一值，而其它影响量和影响特性均处于基准条件时所测得的误差。 （4）稳定误差 稳定误差是仪器的标称值在其他影响量和影响特性保持恒定的情况下，于规定时间内产生的误差极限。 我国新的部颁标准采用上述误差表示方法。 原来的标准把测量仪器的误差用基本误差和附加误差来表示。,三、电子测量仪器的容许误差（续）,测量仪器误差表示 详见P25底下-P26,2.2 测量误差的来源 P27,（1）仪器误差：由于测

7、量仪器及其附件的设计、制造、检定等不完善，以及仪器使用过程中老化、磨损、疲劳等因素而使仪器带有的误差。 （2）使用误差：由于在测量中对测量设备使用操作不当而引起的误差。 （3）人身误差：由于测量者的分辨能力、视觉疲劳、固有习惯或缺乏责任心等因素引起的误差称为人身误差。 例如读错刻度、计算错误等均属人身误差。 总之，人身误差是由于人为因素造成的。要减小人身误差必须加强责任心。 （4）影响误差：由于各种环境因素（温度、湿度、振动、电源电压、电磁场等）与测量要求的条件不一致而引起的误差。,（5）方法误差和理论误差 P 28,由于测量方法不合理造成的误差称为方法误差。 例如用普通万用表测量高内阻回路的

8、电压，由于万用表的输入电阻较低引起的误差。必须选择合适的测量方法。 理论误差是用近似的公式或近似值计算测量结果而引起的误差。 例如，用均值表测量非正态信号电压时，进行波形换算，其定度系数是一个近似值造成的误差是理论误差。因为其依据的理论公式本身就是近似的。P28例1,2.3 误差的分类,根据测量误差性质和特点的不同，测量误差可以分为三大类： 系统误差、随机误差和粗大误差。,一.系统误差,定义：在相同的条件下，多次测量同一量时，保持恒定或以可预知方式变化的测量误差的分量称为系统误差。 产生原因 测量装置设计原理及制作上的缺陷； 测量时环境条件与计量器具使用条件不一致； 采用近似测量方法或计算式；

9、 测量人员估计读数时习惯偏向某一方向。 系统误差表征了测量结果的正确度，系统误差越小，测量结果正确度愈高。,二、随机误差P30,定义 在相同的条件下，多次测量同一量时，以不可预知的方式变化的测量误差称为随机误差。 产生原因 对测量值影响较微小，又互不相关的多种因素共同造成的。 如环境条件中温度的微小变化、地基微振、测量人员感官的微小变化等。 只要测量装置的灵敏度足够高，就会发现测量值之间有微小的差别。 特点 在单次测量过程中，随机误差的大小和方向没有任何规律可言，带有偶然性.,随机误差,而在测量次数足够多的测量中，随机误差具有对称性、有界性、抵偿性和单峰性四个特点。,有限次测量中，绝对值相等的

10、正、负随机误差出现的次数大致相等；,有限次测量中，随机误差的绝对值不会超过某一界限；,随机误差的算术平均值随着n的增加而趋于0；,绝对值小的随机误差比绝对值大的随机误差出现的次数多得多。,随机误差,随机误差表征了多次测量结果的精密度，随机误差小，则精密度高。,测量时疏忽，如读数错、记录错、操作失误等；,测量条件发生突变，如温度突然剧烈变化、电源电压突变等。,三、粗大误差,定义 在相同条件下，对同一被测量进行多次测量，可能有某些测量结果明显偏离了被测量的真值所形成的误差。 粗差测量值必须在数据处理前加以剔除。 产生原因 包括测量人员的主观因素和外界条件的客观因素两方面。,三类误差的关系,这三类误

11、差的分类并不是绝对的，它们在一定的条件下可以相互转换。 较大的随机误差或系统误差可以按粗差来处理。 系统误差也可以转换成随机误差。如，变值系差可以按处理随机误差的方法来处理。 随机误差也可以转换成系统误差。如，某标准表的误差，在制造时是随机的，用该表去校准一批其它的表时，这一批被校准的表也就具有标准表的系统误差。 对于不同性质的误差，我们有不同的处理方法。对系差采取测量中的技术措施、处理时进行修正等方法；随机误差采用算术平均值的方法；粗差则剔除不用。,2.4 随机误差分析,在测量中，随机误差是不可避免的。 随机误差是由大量微小的没有确定规律的因素引起的，比如外界条件（温度、湿度、气压、电源电压

12、等）的微小波动，电磁场的干扰，大地轻微振动等。 多次测量，测量值和随机误差服从概率统计规律。 可用数理统计的方法，处理测量数据，从而减少随机误差对测量结果的影响。,一、测量值的数学期望和标准差,1 数学期望:反映其平均特性。P33 测量值的数学期望=测量真值A 剩余误差（残差 ） 3.方差和标准偏差 P33 标准偏差 标准偏差用来衡量测量数据的离散程度。 越小，则表示测量数据越集中，随机误差越小，它的大小由测量装置、测量方法、环境和人员等因素共同决定。 对于确定的测量系统，是常数。 相等的测量称为等精(密)度测量， 不等的测量称为不等精(密)度测量。 反映了测量的精密度。,随机误差的统计特性标

13、准偏差意义,标准偏差越小，则曲线形状越尖锐，说明数据越集中；标准偏差越大，则曲线形状越平坦，说明数据越分散。 1 2 3,二、随机误差的正态分布 P34,测量中的随机误差通常是多种相互独立的因素造成的许多微小误差的总和。 中心极限定理：假设被研究的随机变量可以表示为大量独立的随机变量的和，其中每一个随机变量对于总和只起微小作用，则可认为这个随机变量服从正态分布。,为什么测量数据和随机误差大多接近正态分布？,正态分布的概率密度函数和统计特性,随机误差的概率密度函数为： 测量数据X的概率密度函数为： 随机误差的数学期望和方差为： 同样测量数据的数学期望E(X) ，方差D(X),正态分布时概率密度曲

14、线,随机误差和测量数据的分布形状相同，因为它们的标准偏差相同，只是横坐标相差,随机误差具有：对称性 单峰性 有界性 抵偿性 P35,(1)单峰性 绝对值小的误差出现的次数多，绝对值小的误差比绝对值大的误差出现的概率大，在误差等于0处，概率最大。 (2)有界性 绝对值大于某一数值的误差几乎不出现，认为随机误差有一定的界限。 (3)对称性 测量次数足够多时，大小相等、符号相反的误差出现的次数(概率)大致相同。 (4)抵偿性 从对称性可推论出，正误差和负误差是相互抵消的，也就是说，测量次数足够多时，随机误差的代数和趋于零。,3. 极限误差 P36,置信区间 内包含真值的概率称为置信概率。 置信限：

15、k置信系数（或置信因子）,置信概率是图中阴影部分面积,正态分布的置信概率,当分布和k值确定之后，则置信概率可定 正态分布,当k=3时,区间越宽， 置信概率越大,取倍标准差为极限误差或称最大误差,进行n次测量， 的估计值可用下式计算：,4. 贝塞尔公式-的计算P36,可知，测量次数至少应在2次以上。,5.算术平均值的标准差P37,5.算术平均值的标准差P37,要想减小测量中的随机误差，可采用多次测量取平均值的作法。 用来描述大量平均值的离散程度，它与测量值(x)的标准差之间的关系为：,算术平均值的标准偏差,故： 算术平均值的标准偏差比总体或单次测量值的标准偏差小 倍。原因是随机误差的抵偿性 。,

16、*,数学期望 - ,标准偏差,样本平均 - 随机变量 - 数学期望、标准偏差, - 估计值 s,真值x0,样本中各测量数据相对样本平均的分散程度 - 样本标准偏差s,- 总体标准偏差 的无偏估计,算术平均（Mean value）,样本平均,- 的无偏估计,总体期望：无限次测量（不可能实现） - 有限次测量代替,估计（Estimation ) - 有限次样本推测总体参数 - 估计值（）,2. 有限次测量下测量结果的表达, 多次测量结果的表示,测量结果 = 样本平均值 不确定度, 单次测量结果的表示,- 消除系统误差、剔除粗大误差,随机误差数据处理 - 被测量真值的取值范围（概率）,不确定度（Un

17、certainty）,测量可以置信的限度 - K,K -置信系数（K=1, 2, 3等）,直接测量,概率 - 置信概率,正态分布,68.27%,95.45%,99.73%,事前误差分析、以往的同等条件、详尽条件下多次测量的统计结果、检测器具说明书中给出的误差限 - 标准偏差的估计值,2.5系统误差分析 P38,一、系统误差的特点 P38 产生在测量之前，有确定性； 多次测量也不能减小，不具有抵偿性。多次测量求平均不能减少系统误差。 在同一条件下，多次测量同一量值时，误差的绝对值和符号保持不变，或者在条件改变时，误差按一定的规律变化。系统误差是有规律性的误差。,二、系统误差的判断 P39,理论分

18、析法：对于测量原理或方法带来的系统误差，可对测量方法定量分析发现系统误差，并计算出大小； 检定和比对法：使用准确度更高的计量器具进行重复测量；或在仪表的检定证书中给出修正值；,要点1.系统误差,改变测量条件：当系差与测量条件相关时，可改变测量条件，分组测量数据； 残差观察法： 什么是残差？测量列中任一个测得值X与该测量列的算术平均值之差。 即,残差观察法,进行n次测量，就分别对应着n个残差。 将测量数列中所有的残差一一排列起来，通常制成曲线，如下图所示。 用此方法，可以很直观地 发现系差的变化规律。,a：恒值系差； b：累进性系差(递增或递减)； c：周期性系差；d：复杂系差,公式判断法：不作

19、要求！,马利科夫判据：判断是否存在累进性系差。,公式判断法：不作要求！,阿卑赫梅特判据：判断是否存在周期性系差，也可判断累进性系差。,四、削弱或消除系差的典型测量技术P40,零示法：在测量中使被测量对指示器的作用与标准量对指示器的作用相互平衡，以使指示器示零的一种比较测量法。它可以消除指示器不准所造成的系统误差。,E为标准电池,G为检流计,测量时调节分压比，使U2=ER2（R1R2）恰好等于被测电压Ux，则检流计G将示零。这样就可测得被测电压的数值,2,在测量过程中，只需判断检流计中有无电流。因此只要标准直流电压准确度高、检流计灵敏度高，测量的准确度就高。检流计支路不对R2起负载作用，不影响分

20、压比，检流计本身的读数准确与否并不影响被测UX的测量准确度。,2替代法(置换法),第一次测量接入Rx，调节R1和R2，当检零计 流过的电流为零时，电 桥第一次平衡，则 第二次测量时用Rs来代替Rx，并保持R1和R2的阻值不变，调节Rs使电桥再一次达到平衡，则此时Rx =Rs,在测量条件不变的情况下，用一已知的标准量去替代未知的被测量，通过调整标准量而保持替代前后仪器的示值不变，于是标准量的值等于被测量值。,可知，此时被测电阻的测量误差主要取决于标准量Rs的准确度和检零计的灵敏度，而与普通电阻的误差无关。,4.交换法 (对照法) P42,该方法利用交换被测量在测量系统中的位置或测量方向等方法，使

21、误差对被测量的作用相反。对两次测量值进行计算，可大大减小系统误差的影响。 通过交换被测量和标准量的位置，从前后两次换位测量结果的处理中，削弱或消除系统误差。 特别适用于平衡对称结构的测量装置中，并通过交换法可检查其对称性是否良好。,第一次平衡 第二次平衡 上两式相乘、开方得：,例：在电桥中采用交换法测电阻,交换法(对照法) P42,第一次测量接线如下图所示，则调节Rs至 Rs1时，电桥达到平衡， 此时 ；第二次 测量时交换Rs和Rx的位 置，则调节Rs至Rs2时， 电桥达到平衡，则,5.微差法,在零示法中，要仔细调节标准量S 使之与未知量x相等，这通常很费时间，有时甚至不可能做到 微差法：标准

22、量S与被测量x相差了一微小量 , 再用仪器测出，即求得待测量x= S+ 采用微差法测量，测量误差主要决定于标准量的误差，而测试仪表误差的影响被大大削弱。,微差法进行测量时，测量误差公式： 测量仪器的误差 对测量的影响被大大地削弱 优点：测量速度快和测量准确度高。,五、系统误差的削弱或消除方法,（1）从产生系统误差根源上采取措施减小系统误差 要从测量原理和测量方法尽力做到正确、严格。 测量仪器定期检定和校准，正确使用仪器。 注意周围环境对测量的影响，特别是温度对电子测量的影响较大。 尽量减少或消除测量人员主观原因造成的系统误差。应提高测量人员业务技术水平和工作责任心，改进设备。 （2）用修正方法

23、减少系统误差 修正值误差=（测量值真值） 实际值测量值修正值,2.6误差的合成 P45,问题：用间接法测量电阻消耗的功率时，需测量电阻R、端电压V和电流I三个量中的两个量，如何根据电阻、电压或电流的误差来推算功率的误差呢？ 误差的传递包括正反两方面: 其一，误差的合成，即根据分项误差确定合成误差； 其二，误差分配，根据给定的合成误差确定各分项误差。,误差的合成（续）,在实际应用中，由于分项误差符号不定而可同时取正负，有时就采用保守的办法来估算误差，即将式中各分项取绝对值后再相加。,同样，当各分项符号不明确时，为可靠起见，取绝对值相加：,用相对误差形式表示总的合成误差：,注：常用函数的合成误差p

24、age47,2.7 测量数据处理,1. 有效数字 若截取得到的近似数其截取或舍入误差的绝对值不超过近似数末位的半个单位，则该近似数从左边第一个非零数字到最末一位数为止的全部数字，称之为有效数字。 例如： 3.142四位有效数字，极限误差0.0005 8.700四位有效数字，极限误差0.0005 8.7103二位有效数字，极限误差0.05103 0.807三位有效数字，极限误差0.000 5 中间的0和末尾的0都是有效数字，不能随意添加。开头的零不是有效数字。 测量数据的绝对值比较大（或比较小），而有效数字又比较少的测量数据，应采用科学计数法，即a10n，a的位数由有效数字的位数所决定。,多余数字的舍入规则,（1） 小于5舍去末位不变。 （2） 大于5进1在末位增1。 （3） 等于5时，取偶数当末位是偶数，末位不变；末位是奇数，在末位增1（将末位凑为偶数）。 “小于5则舍，大于5则入，等于5凑偶”。 例1：将下列数值取四位有效数字。 3.141793.142（入） 2.717292