线性控制第四章课件.ppt

1、控制科学与工程 研究生专业基础课程-4,第四章 线性系统的能控性与能观测性,主要内容：,一个系统中，输入和输出表征系统的外部变量，状态是系统的内部变量。若系统状态内的每一个状态变量的运动都可以由输入来影响和控制而由任意的始发点到达原点，则系统能控。 若系统状态内的所有状态变量的任意形式的运动均可由输出完全反映，则系统是可观测的。,1-1 能控性与能观测性的直观讨论:,1 能控性与能观测性的定义,1) 上式中，若取初始时刻t0的一个非零初始状态x0，存在一个时刻t1和一 个无约 束容许控制u(t)，使状态从x0转到x(t1)=0，则x0是在t0时刻能控。 2) 若状态空间中所有非零状态都是在t0

2、时刻能控，则称系统完全能控。 3) 若状态空间中有一个或多个非零状态在t0时刻不能控，则称系统不完全 能控。 PS：若由零状态转到非零状态，则称系统能达。,1-2 能控性定义：（线性时变系统）,1 能控性与能观测性的定义,(4-1),1-3 能观测性定义：（线性时变系统）,我们在第二章得出了：,1 能控性与能观测性的定义,(4-2),(4-3),线性时变系统的输入输出方程：,1 能控性与能观测性的定义,将(4-3)带入系统方程，得：,在研究系统的能观测性时，y和u都假定为已知，x0未知，则有：,(4-4),(4-5),定义 4-1：中，若对初始时刻t0的一个非零初始状态x0，存在一个t1，对

3、所有t(介于t0与t1之间)有y(t)=0，则x0在时刻t不能观测。 定义4-2：中，若状态空间中所有非零状态都不是t0时刻的不能观测状 态，则称系统在时刻t0是完全能观测的。 定义4-3：中，状态空间中存在一个或一些非零状态时不能观测的，则在t0时刻不完全观测。,1 能控性与能观测性的定义,1) 秩判据：线性定常系统为完全能控的充要条件是：,2-1 对线性定常系统：, 2 线性连续定常系统的能控性判据,(4-6),(4-7),已知线性定常系统的状态方程为：, 2 线性连续定常系统的能控性判据,2) 约当规范型：线性定常系统完全能控的充要条件： 当A的特征值两两相异时，由方程导出的对角规范形：

4、,中，B不包含元素全为0的行。,(4-8),当A的特征值为：1(1重)， 2(2重)， l(l重)且(1+2+l)=n,为对系统方程导出的约当规范形：, 2 线性连续定常系统的能控性判据,(4-9),(4-10),其中：, 2 线性连续定常系统的能控性判据,(4-11),(4-12),对i=1,2均为行线性无关。,而,的最后一行所组成的矩阵：, 2 线性连续定常系统的能控性判据,3)能控性判据的s域形式：,单输入-单输出线性定常系统为：,设初始条件为0，对(4-13)取拉氏变换：,(4-13),(4-14), 2 线性连续定常系统的能控性判据,根据传递函数的定义，由(4-14)得：,(4-15

5、),定义状态-输入的传递函数为：,(4-16),定理4-1：状态完全能控的充要条件是：状态-输入传递函数无相消因子 即无零极相消的现象。,线性定常系统，定义nkr阶常阵,因为系统,2-2 能控性指数：,能控，所以当k=n时，Qn即为能控矩阵Qc，且rank Qn=n。现一次将k由1增加，直到k=时，使rank Qu=n，则必存在一个使rank Qk=n成立的k的最小正整数为能控指数。 数学定义式为：, 2 线性连续定常系统的能控性判据,(4-17),推论4-1： 已知系统方程，记其能控指数为，并设 rank B=r，则必成立：,对于单输入单输出系统，也即 r=1时，系统的能控指数为 =n。 线

6、性定常系统完全能控的充分条件是：, 2 线性连续定常系统的能控性判据,推论4-2：,推论4-3：,(4-18),(4-19),1) 秩判据：线性定常系统为完全能观的充要条件为：,3 线性连续定常系统的能观性判据,3-1 线性定常系统能观性判据,(4-20),(4-21),考虑输入u=0，状态与输出方程,3 线性连续定常系统的能观性判据,2) 约当规范形判据：线性定常系统为完全能观的充要条件： A的特征值两两相异，则由系统方程所导出的对角规范形：,(4-22),中，C不包含元素全为零的列。,当A的特征值为：1(1重)， 2(2重)， l(l重)且(1+2+l)=n,为对系统方程导出的约当规范形：

7、,3 线性连续定常系统的能观性判据,(4-23),其中：,(4-24),3 线性连续定常系统的能观性判据,(4-25),(4-26),而,由,第一列组成的矩阵C，,对i=1,2均列线性无关。,3 线性连续定常系统的能观性判据,3)能观测性判据的s域形式：,单输入-单输出线性定常系统为：,设初始条件为0，对(4-13)取拉氏变换：,(4-27),(4-28),3 线性连续定常系统的能观性判据,根据传递函数的定义，得：,定义状态-输出的传递函数为：,定理4-2：状态完全能控的充要条件是：状态-输出传递函数无相消因子， 即无零极相消的现象。,(4-29),(4-30),3 线性连续定常系统的能观性判

8、据,综上所述，我们可以得出下面的定理：,定理4-3：线性定常单输入-单输出系统，状态完全能控、能观测的充要条 件为它的输入输出传递函数,无零极相消现象。如果存在零极相消现象时，再分别用第二 节 与第三节的s域形式来鉴别,(4-31),易知Qn=Q0，rankQn=n，现将k从1增加，直到k=v使rankQv=n，则称这个使上式成立的k的最小正整数v为系统的能观测指数。数学定义V=min(k:rankQk=n)，若rankC=m，则必成立,3 线性连续定常系统的能观性判据,考虑完全能观的线性定常系统，定义 kqn 阶常阵：,3-2 能观性指数,(4-32),(4-33),4 对偶原理,设系统方程

9、为：,为了讨论对偶原理，首先引入此系统的对偶系统：,(4-34),(4-35),4 对偶原理,(4-36),(4-37),1) 状态完全能控的充要条件：,对于系统(4-34)矩阵满秩，要求为,对于系统(4-35)矩阵满秩，要求为,定理4-4：系统在t0时刻完全能控的充分必要条件是它的对偶系统在t0 时刻完全能观；系统在t0时刻完全能观的充分必要条件是它 的对偶系统在t0时刻完全能控。,4 对偶原理,(4-38),(4-39),2) 状态完全能观测的充要条件：,对于系统（4-34）矩阵满秩，要求为,对于系统（4-35）矩阵满秩，要求为,5 能控规范型和能观测规范型,定理4-5 ：设单输入线性定常

10、系统的状态方程为： 若系统具有能控性，即其 nn能控性矩阵 非奇异，则存在非奇异变换,5-1 单输入 单输出系统的能控规范型,(4-40),(4-41),(4-42),可将状态方程化为能控规范型：,5 能控规范型和能观测规范型,式中：,(4-43),(4-44),其中变换矩阵： 式中：,5 能控规范型和能观测规范型,(4-46),(4-47),而,为任意的,nn阶矩阵：,(4-45),解：系统的能控性矩阵 为非奇异，故系统可化为能控规范型，即：,例4-1 设线性定常系统用下式描述试将状态方程化为能控规范型。 式中,5 能控规范型和能观测规范型,(4-48),(4-49),变换矩阵为 因此 故,

11、5 能控规范型和能观测规范型,(4-50),(4-51),(4-52),定理4-6： 设系统的状态方程为,5-2 单输入-单输出系统的能观测规范型,5 能控规范型和能观测规范型,若系统具有能观测性，即其nn 能观测矩阵,是非奇异的，则存在非奇异变换,(4-53),(4-54),(4-55),可将系统方程化为能观测规范型 式中,5 能控规范型和能观测规范型,(4-56),(4-57),变换矩阵,5 能控规范型和能观测规范型,(4-59),(4-60),而 为任意的n1矩阵。其中：,(4-58),式中,解：能观测矩阵,例4-2 设系统的状态方程如下试将其变换为能观测规范型。,5 能控规范型和能观测

12、规范型,(4-61),(4-62),非奇异，由此可求出,变换矩阵,5 能控规范型和能观测规范型,(4-63),(4-64),则：,6 线性系统的结构分解,求解线性系统结构分解的关键在于变换矩阵的求取，下述算法给出了求取系统的结构分解所需要的变换矩阵。 第一步：列写系统的能控性矩阵 并求出,(4-65),1) 线性定常系统按能控性的结构分解算法：,6 线性系统的结构分解,第二步：能控性判别矩阵中任意地选取k个线性无关的列，记 q1,q2,qk 此外，在n维实数空间中任意的选择n-k列向量，记qk+1,qn使 得q1,q2,qn为线性无关组。,第三步：按下述方式组成变换矩阵,(4-70),第四步：

13、计算 对不完全能控系统，利用以上算法求得系统在线性非奇异 变换 下的代数等价系统 具有安能控性分解的 规范表达式,6 线性系统的结构分解,(4-71),(4-72),由于 ，所以系统不完全能控。,例4-3 给定线性定常系统如下所述对其进行结构分解。,6 线性系统的结构分解,(4-73),解：能控性矩阵,计算变换后的系数矩阵,6 线性系统的结构分解,(4-74),(4-75),从能控矩阵中选出线性无关的两列，在添上线性无关的第三列,不能控部分为：,6 线性系统的结构分解,(4-76),(4-77),其中能控部分为：,第二步：在 中任意的选取l个线性无关的行向量h1,h2,hl 此外在 任取n-l

14、个行向量hl+1,hn，使得h1,h2,hl线性无关。,6 线性系统的结构分解,(4-78),2) 线性定常系统按能观性的结构分解算法 ：,第一步：列写系统的能观性判别阵,并计算,6 线性系统的结构分解,第四步：计算,(4-79),(4-72),第三步：按下式方式构成变换阵,6 线性系统的结构分解,对不完全能观系统，基于以上算法求得系统在线性非奇异变换下的代数等价系统 具有结构按能观性分解 的规范表达式,(4-80),5.状态空间的线性变换,5.状态空间的线性变换,5.状态空间的线性变换,5.状态空间的线性变换,本章小结,系统的能控性能观性,能控性 能观性概念,能控性定义 能观性定义,系统能控能