第二章参数估计2-2统计量的评判标准

1、前面已经介绍了几种得到参数估计量的方法，若采用不同方法得到的估计量也不尽相同，所得出的估计值也可能不同。,这就需要讨论以下几个问题:,(1) 我们希望一个“好的”估计量具有什么特性？ (2) 怎样决定一个估计量是否比另一个估计 量“好”？ (3) 如何求得合理的估计量？,那么要问:究竟采用哪个估计是好的。,2.2 统计量的评判标准,一、无偏估计 二、最小方差无偏估计与有效估计,三、一致估计 四、充分性与完备性,我们必须指出：,评价一个估计量的好坏，不能仅仅依据一次试验的结果，而必须由多次试验结果来衡量 .,这是因为估计量是样本的函数，是个随机变量 . 因此，由不同的观测结果，就会求得不同的参数

2、估计值.,因此一个好的估计，应在多次试验中体现出优良性 .,而且尽可能接近待估计参数值的真值，在真值左右摆动尽可能小.,常用的几条原则标准是：,1. 无偏性 2. 有效性 3. 相合性 4. 充分性与完备性,一、无偏估计,估计量是随机变量，对于不同的样本值会得到不同的估计值 . 我们希望估计值在未知参数真值附近摆动，而它的期望值等于未知参数的真值，这就导致无偏性这个标准 .,设 是未知参数 的估计量，,1. 定义,例如，用样本均值作为总体均值的估计时，虽无法说明一次估计所产生的偏差，但这种偏差随机地在0的周围波动，对同一统计问题大量重复使用不会产生系统偏差 .,无偏性的实际意义是指没有系统性的

3、偏差 .,无偏性是对估计量的一个常见而重要的要求 .也是工程技术中完全合理的要求。,例1,设X1,X2,Xn是取自具有一阶矩、二阶矩存在的总体X一个样本，证明,证,试问：,2. 无偏性的弱点,无偏估计量是对估计量的一个重要而常见的要求 ，实际意义是多次试验后没有系统性的偏差，也是工程技术中完全合理的要求，但不要一味认为估计量不满足无偏原则，就是“不好”的估计量。,(3) 无偏估计知只反映了估计量在参数真值附近波动。,例2,的样本，其中,事实上,设X1,X2,Xn是取自总体X：,但是，此估计量有明显的不合理：,从而，仅有无偏性原则不够。,例2,的样本，其中,设X1,X2,Xn是取自总体X：,二、

4、最小方差无偏估计与有效估计,一个参数往往有不止一个无偏估计,无偏性原则不够，还应要求估计量围绕参数的真值波动尽可能小，如何刻划？,概率论用随机变量的均方误差（方差）刻划“离散”或“集中”的程度。,我们可以比较,的大小来决定二者谁更优，由于,方差小者为佳，从而有最小方差无偏估计与有效性这一概念。,1. 定义,目的是: 寻找一个最有效的估计量.,又称优效估计量记为：MVUE.,2、有效估计,1) 定义,三、一致性（相合性）估计,无偏估计无系统误差；,MVUE与有效估计离散程度小，法则较好，但前题是无偏估计。,问题：,如何取舍、兼顾.,目的：希望一个估计量是无偏的，且具有较小的方差，还希望当样本容量n无限增大时，估计能在某种意义下收敛于被估计参数的真值，这就是相合性(一致性)估计的要求。,例3,设X1,X2,Xn是取自总体X,一个样本,试对其进行估计。,解,由前可知,构造,特别地,特别地,显然有,如何衡量估计量的修劣呢，任何选取较好的估计量？,方法之一：,方法之一：,于是有,原则一：,选取估计量与估计参数的均方差尽量小的，可以使得方差与偏差相对小。,在此原则下认为：,定义：,即,说明：,但是，