第四章 随机变量的数字特征.ppt

1、第四章 随机变量的数字特征,概率论与数理统计,讨论随机变量的数字特征的意义,前面讨论了随机变量的分布函数，我们看到分布函数能够完整地描述随机变量的统计特性。但在一些实际问题中，不需要去全面考察随机变量的变化情况，而只需知道随机变量的某些特征，因而并不需要求出它的分布函数。例如，在评定某一地区粮食产量的水平时，在许多场合只要知道该地区的平均产量；又如在研究水稻品种优劣时，时常是关心稻穗的平均稻谷粒数；再如检查一批棉花的质量时，既需要注意纤维的平均长度，又需要注意纤维长度与平均长度的偏离程度，平均长度较大、偏离程度较小，质量就较好。从上面的例子看到，与随机变量有关的某些数值，虽然不能完整地描述随机

2、变量，但能描述随机变量在某些方面的重要特征。这些数字特征在理论和实践上都具有重要的意义。下面将介绍随机变量的常用数字特征：数学期望、方差、相关系数和矩,1 数学期望,例：有甲、乙两个射手，他们的射击技术用下表表出： 甲射手,乙射手,试问哪个射手本领较好？,解：设两个选手各射N枪，则有 甲：80.3N90.1N100.6N=9.3N 乙：80.2N90.5N100.3N=9.1N 平均甲射中9.3环，乙射中9.1环，因此甲射手的本领好些。,离散型随机变量的数学期望,定义:设离散型随机变量X的分布率为,若级数,绝对收敛，则称,变量X的数学期望（或均值），记为E(X)。即,的和为随机,例1：求二项分

3、布 的数学期望。,例2：求泊松分布 的数学期望。,例3：随机变量X取值 求数学期望。,习题1. (1)在下列句子中随机地取一单词,以X表示所取的单所含的字母个数,写出X的分布律,并求E(X). THE GIRL PUT ON HER BEAUTIFUL RED HAT. (2)在上述句子的30个字母中随机地取一字母,以Y表示取到的字母所在的单词所包含的字母数,写出Y的分布律,并求E(Y).,解:(1)依题意,X的所有可能取值为: 2, 3, 4, 9; 且有: PX=2=1/8, PX=3=5/8, PX=4=1/8, PX=9=1/8 因此,X的分布律为:,E(X)=2*1/8+3*5/8+

4、4*1/8+9*1/8=15/4,习题1. (1)在下列句子中随机地取一单词,以X表示所取的单所含的字母个数,写出X的分布律,并求E(X). THE GIRL PUT ON HER BEAUTIFUL RED HAT. (2)在上述句子的30个字母中随机地取一字母,以Y表示取到的字母所在的单词所包含的字母数,写出Y的分布律,并求E(Y).,解:(2)依题意,Y的所有可能取值为: 2, 3, 4, 9; 且有: Y=2时,所可能取到的单词是:ON, 则PY=2=2/30 Y=3时,所可能取到的单词是:THE, PUT, HER, RED,HAT, 则PY=3=15/30 Y=4时,所可能取到的单

5、词是:GIRL, 则PY=4=4/30 Y=9时,所可能取到的单词是:BEAUTIFUL, 则PY=9=9/30,因此,Y的分布律为:,E(Y)=2*2/30+3*15/30+4*4/30+9*9/30=73/15,习题4:设随机变量X的分布律为 j=1,2,证明: 由于级数,由数学期望的定义知, X的数学期望不存在.,说明X的数学期望不存在.,是发散的,故级数,不绝对收敛.,连续型随机变量的数学期望,的值为随机变量X的,定义:设连续型随机变量X的概率密度为f(x)，若积分,绝对收敛,则称积分,数学期望（或均值），记为E(X)。即,例5：随机变量X服从正态分布N(m,2),求数学期望。,例6：

6、随机变量X服从指数分布 求数学期望。,例7：设XU(a,b),求E(X)。,例8：由两个相互独立工作的电子装置，它们的寿命Xk(k=1,2)服从同一指数分布，其概率密度为 若将这两个电子装置串联连接组成整机，求整机寿命（以小时计）N的数学期望。,随机变量的函数Y=g(X)的数学期望,定理的意义:求随机变量X的函数Y的数学期望,可以不用求Y的分布(或概率密度),只需利用X的分布律(或概率密度)就可以了.,上述定理可推广到多个随机变量的函数的情况,设Z是随机变量X,Y的函数Z=g(X,Y) (g是连续函数), 那么, Z是一个一维随机变量. 若二维随机变量(X,Y)的概率密度为f(x,y),则有:

7、,若(X,Y)为离散型二维随机变量,其分布律为: PX=xi, Y=yj=pij, i,j=1,2,3, 则有:,数学期望的性质,数学期望性质的证明,数学期望性质的证明,数学期望性质的证明,数学期望性质的性质,练习一 一个有n把钥匙的人要开他的门，它随机而独立地试开，若其中只有一把能开门，若将试开不成功的钥匙立即除去；求试开次数的数学期望与方差。,2 方差,例：有甲、乙两个射手，他们的射击技术用下表表出： 甲射手,乙射手,试问哪个射手本领较好？谁的技术稳定些?,解：设两个选手各射N枪，则有 甲：80.3N90.1N100.6N=9.3N 乙：80.2N90.5N100.3N=9.1N 平均甲射

8、中9.3环，乙射中9.1环，因此甲射手的本领好些。 问：那个射手技术稳定些？显然乙射手的技术稳定些。衡量技术稳定性，可以考虑用随机变量与其均值的偏离程度，如 E|X-E(X)| 或 EX-E(X)2,方差,随机变量X的方差与数学期望有如下关系： D(X)=E(X2)-E(X)2,方法二:,令,方差的性质,方差性质的证明,方差性质的证明,方差性质的证明,方差性质的证明,方差的性质,若,且它们互相独立,那么,它们的线性组合,(其中,不全为零), 仍服从正态分布,且,切比雪夫不等式,切比雪夫不等式的证明,注意切比雪夫不等式可以使我们在随机变量X的分布未知的情况下，对事件|X-|的概率做出估计。应用切

9、比雪夫不等式必须满足E(X)和D(X)存在且有限这一条件。,例:设随机变量X在区间-1,2上服从均匀分布. 随机变量,则方差D(Y)=?,解:,所以:,3 协方差及相关系数,对于二维随机变量,除了讨论变量X与Y的数学期望及方差外,还需要讨论描述X与Y这间相互关系的数字特征.,也就是说,当 时,X与Y不相互独立,即:可能存在某种关系.,当随机变量X与Y相互独立时,有:,协方差与相关系数,协方差的性质,协方差性质的证明,最小二乘法,最小二乘法,相关系数的性质,相关系数性质的证明,相关系数性质的证明,相关系数性质的证明,X与Y不相关但也不独立的例子,独立 不相关 不相关 独立,习题24 设二维随机变

10、量(X,Y)的概率密度为:,试验证X和Y是不相关的,但X和Y不是相互独立的.,分析: 要说明X和Y不是相互独立,就是要证明 f(x,y)fX(x)fY(y),由相关系数的定义,要验证X和Y不相关,就是要验证,解: 关于X的边缘概率密度为:,关于Y的边缘概率密度为:,显然, f(x,y)fX(x)fY(y), 因此X和Y不是相互独立的.,下面计算E(X), E(Y), E(XY), D(X), D(Y),下面计算E(X), E(Y), E(XY), D(X), D(Y),同理,故 D(X)0, D(Y)0, X和Y的相关系数为:,因此, X和Y是不相关的.,习题29 设XN(m,s2), YN(m,s2), 且设X,Y互相独立,试求Z1=aX+bY和Z