典型例题与习题3

1、数值分析典型例题 III,五、六章内容提要 典型例题分析 部分习题解答 补充练习题, ,若插值结点 x0, x1,xn 是(n+1)个互异点,则满足 插值条件P(xk)= yk (k = 0,1,n)的n次插值多项式 P(x)=a0 + a1x + anxn 存在而且惟一。,多项式插值的存在唯一性定理,Laglarge插值公式,插值基,( k = 0, 1, 2, , n ),插值误差余项,其中,问题1:构造线性插值函数计算115的平方根近似值，估计近似值的误差并指出有效数位数。,已知 x0, x1, , xn 处的值 f(x0), f(x1), , f(xn).,( j = 0,1,n-1

2、),( j = 0,1,n-2 ),均差的定义,牛顿插值公式,( k=1,2,n ),问题2:证明一阶差商的对称性：fx0，x1 = fx1，x0，进一步证明二阶差商的对称性。,牛顿插值余项,( j = 0, 1 ),三次Hermite插值,给定a , b 的分划: a = x0 x1 xn = b. 已知f(xj) = yj (j = 0,1,n), 如果,满足: (1) S(x)在 xj，xj+ 1上为三次多项式; (2) S”(x)在区间a，b上连续; (3) S(xj) = yj ( j = 0,1,n). 则称S(x)为三次样条插值函数.,三次样条的定义,拟合函数: (x)=a0 0

3、(x) + a1 1(x) + +an n(x),数据拟合的线性模型,离散数据,超定方程组,超定方程组最小二乘解:,Ex1.设x0，x1，xn 是互异的插值结点，l0(x) 为对应于x0的拉格朗日插值基函数，试证明,证 由基函数插值条件计算差商,代入牛顿插值公式,并注意插值误差为零,则有,Ex2.设x0, x1, x2, , xn为互异的结点,求证 Lagrange 插值基函数满足下列恒等式,(1),(2),( k = 1,n ),证: (1)令,在插值结点处 Pn(xj) = 0 ( j = 0,1,2,n ),n 次多项式 Pn(x)有 n+1 个相异零点Pn(x) = 0,所以,将 f(

4、x) = xk (k n) 代入, 得,(k =0,1,2,n),问题: f(x)是(n+1)次多项式且最高次项系数为1，取互异的插值结点x0，x1，xn，构造插值多项式Pn(x)，证明： f(x) = Pn(x) + (x x0) (x x1)(x xn),(2) 取 f(x) = xk f(n+1)(x)=0 Rn(x) =0,Ex3. 设 P(x) 是不超过 n 次的多项式,而 n+1(x) =(x x0)(x x1)(x xn) 证明存在常数Ak( k =0，1，n)使得,证 由n次多项式插值得,其中,证明: F x0, x1, xn =,Ex4. 记 n+1(x) =(x x0)(x

5、 x1)(x xn),( j = 1,2, , n ),对比Lagrange插值和Newton插值中 xn 的系数, 得,F x0, x1, xn =,Ex5. 2 次埃尔米特插值的适定性问题,给定插值条件：f(x0)=y0，f (x1)=m1，f( x2)=y2，插值结点应满足什么条件能使插值问题有唯一解。,思考: 带导数条件的二次插值多项式公式适定性 f(0)=y0，f(1)=y1，f(0)=m0；,解: 设 H(x) = a0 + a1x + a2x2 , H(x) = a1 + 2a2x,Ex6. 求矩阵 广义逆 G+=(GTG )-1GT,Ex7. 求矩阵 条件数 Cond=,Ex9

6、.如果 xa, b , t-1, 1, (1)用线性插值方法推导联系两个区间的映射,Ex10. 一个量 x 被测量了 n次,其结果是a1, a2, an.用最小二乘法解超定方程组 x = aj ( j =1,2,n) x 的值为多少？,Ex11*.给定五个观测值 yj ( j=2，1，0，1，2 ) 写出求二次拟合函数 P(t) = a0 + a1t + a2t2,的超定方程组系数矩阵，并求广义逆.,证 取,拟合函数:,Ex12. 验证线性 回归公式,y = a + b x 其中 b = lxy / lxx ,显然,Ex13. 如果X*是方程组GTGX=GTb的解，则X*是超定方程组GX=b的最小二乘解,证 由题设,有GT(b GX*)=0.对任意n维向量Y，故,| b GY |2 | b GX*|2 等式仅当Y=X*时成立。所以X*是超定方程组GX=b的最小二乘解。