第7章 波动3(波的叠加).ppt

1、1,2.波传播的独立性,一、 波的叠加原理（独立传播原理）, 7.7 波的叠加 驻波,1.现象:交响乐、复色光、选频、吵闹声 ,2,3.原理: 若有几列波同时在介质中传播，则它们将保持各自原有的特性(振幅、频率和波长等)独立传播；在几列波相遇处，质元的振动位移等于各列波单独传播时在该处引起的振动位移的矢量和。,数学依据:线性方程;,4.讨论:,上式就是波动方程。它是各种平面波所必须满足的线性偏微分方程。,若 、 分别是它的解，则 也是它的解, 即上述波动方程遵从叠加原理。,3,物理上重要性:波可分解、合成;,能分辨不同的声音正是这个原因；,爆炸产生的冲击波就不满足线性 方程，所以叠加原理不适用

2、。,相遇区域内的叠加即为振动的叠加;,振动的叠加发生在单一质点(物体)上, 波的叠加发生在相遇区域内许多质点上.,4,二、波的干涉(波的相干叠加),这种稳定的叠加图样称为干涉图样。,1.定义: 两列(或n列)满足一定条件的波在空间相遇,形成某些点处的振动始终加强,某些点处的振动始终减弱的现象,称为波的干涉.,2. 相干条件：,两波源具有相同的频率,具有恒定的相位差,振动方向相同 （ 或称为具有 相同的偏振面),5,波的干涉,6,设有两个相干波源 和,其振动表达式为：,满足相干条件的波源 称为相干波源。,3.相干波的叠加,传播到 P 点引起的振动为：,7,在 P 点的振动为同方向同频率振动的合成

3、。,合成振动为：,其中：,由于波的强度正比于振幅的平方，所以合振动的强度为,8,如果两波等振幅,则有,对空间不同的位置，都有恒定的 ，因而合强度 在空间形成稳定的分布，即有干涉现象。,9,干涉相长的条件：,干涉相消的条件：,当两相干波源为同相波源时，相干条件写为：,称 为波程差,相长干涉,相消干涉,4.讨论:,10,波的干涉是波的能量在空间形成稳定的周期性分布;,波的干涉是波动的基本特性之一;,不相干叠加:,5.举例:,分析:该部分习题的解题方法是:确认是否相干; 建立坐标系,求出相遇区域内任意点的相位差; 根据加强或减弱的条件求得结果.,11,例. 7.12 位于 两点的两个波源，振幅相等，

4、 频率都是100赫兹，相差为 ，其 相距30米， 波速为400米/秒，,求: 连线之间因相干涉而静止的各点的位置。,解：如图所示，取A点为坐标原点，A、B连线为 X轴，取A点的振动表达式 :,在X轴上A点发出的波函数：,B点的振动表达式 :,12,B点的振动表达式 :,在X轴上B点发出的波函数：,注意,因为两波同频率，同振幅，同方向振动， 所以相干涉为静止的点满足：,13,相干相消的点需满足：,因为：,可见在A、B两点是干涉极大。,14,驻波是干涉的特例。当频率与绳长调整适当， 绳上分段振动，某些点振幅特大，某些点几乎不动， 称为驻波。 驻波的特点不是振动的传播，而是媒质中各质 点都作稳定的振

5、动。,1.驻波的形成 分别沿X 轴正、负方向传播的同频率、同初相位的两列相干波，其合成波就是典型的驻波,三、驻波, 产生驻波的演示实验,15,设有两列相干波，分别沿X轴 正、负方向传播，选初相位 均为零的表达式为：,2. 驻波的表达式,其合成波称为驻波其表达式：,16,利用三角函数关系(和化积)求出驻波的表达式：,简谐振动,简谐振动的振幅,它表示各点都在作简谐振动，各点振动的 频率相同，是原来波的频率。但各点振幅 随位置的不同而不同。,17,振幅最大的点称为波腹，对应于 即,的各点；,波腹的位置为：,波节的位置为：,3. 驻波的振幅,驻波的特点不是振动的传播，而 是媒质中各质点都作稳定的振动,

6、振幅为零的点称为波节，对应于,即 的各点。,结论：,18,从上式得相邻波腹间的距离为：,可得相邻波节间的距离也为,波腹与波节间的距离为,因此可用测量波腹间的距离，来确定波长。,应用,4. 驻波的相位,时间部分提供的相位对于所有的 x是相同的， 而空间变化带来的相位是不同的。,19,内，,此间各质点同相位;,20,故有:,此间各质点也同相位.,21,两个波节之间的各质点振动相位相同。 速度方向相同。,在波节两侧各质点的振动相位相反。 速度方向相反。,结论：,以上两分段之间各质点反相.,22,5. 驻波的能量,23, 由上式可知：各质点位移达到最大时,动能为零， 势能不为零。在波节处相对形变最大，

7、势能最大； 在波腹处相对形变最小，势能最小。 势能集中在波节。, 当各质点回到平衡位置时，全部势能为零； 动能最大。动能集中在波腹。, 能量从波腹传到波节，又从波节传到波腹，往复 循环，能量不被传播。这可从能流密度证明：因 为能流密度等于平均能量密度乘波速，左行波与 右行波能流密度之和为零。所以驻波不传播能量， 它是媒质的一种特殊的运动状态，稳定态。,结论：,24,当波从波疏媒质垂直入射到 波密媒质界面上反射时，有 半波损失，形成的驻波在界 面处是波节。反之，当波从 波密媒质垂直入射到波疏媒 质界面上反射时，无半波损 失，界面处出现波腹。,6. 半波损失,入射波在反射时发生相位突变的现象称为半

8、波损失。,折射率较大的媒质称为波密媒质； 折射率较小的媒质称为波疏媒质.,有半波损失,某一时刻,无半波损失,25,在弦长为 L 的弦上形成驻波的波长必须满足下列条件：,7.简正模式,即弦线上形成的驻波波长、频率均不连续,即所谓”量子化”,这些频率称为弦振动的本征频率，系统所具有的可能的振动方式称为系统的简正模式。,由此可得,或,26,基频,二次谐频,三次谐频,弦的振动,最低的频率称为基频，其它整倍数频率为谐频。,27,两端固定的弦，当距一端某点受击而振动时，该点为波节的那些模式（对应于 n 次，2 n 次.谐频)就不出现，使演奏的音色更优美。,当周期性强迫力的频率与系统（例如，弦）的 固有频率之一相同时，就会与该频率发生共振，系 统中该频率振动的振幅最大。可用共振法测量空气 中声速。,系统究竟按那种模式振动，取决于初始条件。一般是各种简正模式的叠加。,28,例题 : 在均匀介质中，有两列余弦波沿Ox轴传播，波动表式分别为,求Ox轴上合振幅最大和最小点的位置。,解 两列波在相遇处的相位