第三章.平面力系的合成与平衡.ppt

1、第三章 平面力系的合成与平衡,【重点内容】,平面汇交力系的合成与平衡； 力线的平移； 平面一般力系的合成； 平面一般力系的平衡方程与应用； 平面平行力系的合成与平衡。,3-1 平面汇交力系的合成与平衡,平面汇交力系,方法：几何法、解析法。,工程实例:,3-1 平面汇交力系的合成与平衡,平面汇交力系,空间汇交力系,各力的作用线都在同一平面内且汇交于一点的力系。,多个汇交力的合成,力多边形规则,多个汇交力的合成：,利用力的平行四边形公理（或三角形法则），进行力的合成。,利用矢量的几何性质，确定各分力之间的关系。,多个汇交力:,1、平面汇交力系合成的几何法,3-1 平面汇交力系的合成与平衡,多个汇交

2、力的合成:,力多边形,注意力多边形规则,1、平面汇交力系合成的几何法,3-1 平面汇交力系的合成与平衡,该平面汇交力系的合力,多个汇交力的合成:,结论：,几何法作力多边形图：,（1）选择长度比例尺和力的比例尺，准确画出力的方向。,（2）作力多边形时，可以变换力的次序，形状不同，结果不变。,（3）力多边形中，诸力应首尾相连。合力的方向从第一个力的起点指向最后一个力的终点。,平面汇交力系合成的结果是一个合力，其大小和方向由力多边形的封闭边来表示，其作用线通过各力的汇交点。即合力等于各分力的矢量和(或几何和)。,（2-1）,3-1 平面汇交力系的合成与平衡,例1 已知 P=20kN，R=0.6m，h

3、=0.08m，求 :水平拉力F=5kN时，地面及障碍物给碾子的约束力。,1、取碾子为研究对象，画受力图,3-1 平面汇交力系的合成与平衡,解：,2、用几何法，按比例画封闭力四边形,3、按比例量得,F力在 x 轴上的投影：,F力在 y 轴上的投影：,1）力在坐标轴上的投影,当 轴与 轴不是正交轴时 ：,力在坐标轴上的投影不等于力在这个轴上的分量。,2、平面汇交力系的解析法,3-1 平面汇交力系的合成与平衡,当,2）力沿坐标轴的分解,矢量和,2、平面汇交力系的解析法,3-1 平面汇交力系的合成与平衡,合力投影定理建立了合力投影与各分力投影的关系,则，合力的大小为：,方向为：,合力作用点为力的汇交点

4、.,3）合力投影定理,平面汇交力系，由三个力组成的力多边形,合力在任意轴上的投影等于各分力在同一轴上投影的代数和，称为合力投影定理。,3-1 平面汇交力系的合成与平衡,求：此力系的合力.,解：用解析法,例2,已知：图示平面共点力系；,各力在x和y轴上的投影，即各力在x和y轴的分量。,求各分力在x轴和y轴的投影,3-1 平面汇交力系的合成与平衡,物体在平面汇交力系作用下平衡的必要和充分条件是合力等于零。,平面汇交力系的平衡方程：,3、平面汇交力系的平衡方程,解析条件是各力在x轴和y轴上投影的代数和分别为零。,（2-7）,（2-6）,3-1 平面汇交力系的合成与平衡,几何条件是力的多边形图为“封闭

5、图形”。,已知：AC=CB，P=10kN，各杆自重不计；,求：CD杆的力及铰链A的约束力。,解：CD为二力杆，取AB杆，画受力图。,用几何法，画封闭力三角形。,按比例量得,例3,或,3-1 平面汇交力系的合成与平衡,A点的约束力,力多边形图自行封闭,各力首尾相接,已知：,求：系统平衡时，杆AB、BC受力。,例4,系统如图，不计杆、轮自重，忽略滑轮大小，P=20kN；,解：AB、BC杆为二力杆， 取滑轮B（或点B），画受力图。,用解析法，建图示坐标系。,解得：,3-1 平面汇交力系的合成与平衡,解得：,已知：,求：系统平衡时，杆AB、BC受力。,例5,系统如图，不计杆、轮自重，忽略滑轮大小，P=

6、20kN；,3-1 平面汇交力系的合成与平衡,解：AB、BC杆为二力杆， 取滑轮B（或点B），画受力图。,3-2 力线的平移,力线平移定理,定理：可以把作用在刚体上点A的力F平行移到任一点B，但必须同时附加一个力偶，这个附加力偶的矩等于原来的力F对新作用点B的矩。,力线平移定理的逆步骤，亦可把一个力和一个力偶合成一个力。,3.2力线平移定理,说明：,3-3 平面一般力系的合成,力矩作用面，0称为矩心，,力对点之矩是一个代数量，它的绝对值等于力的大小与力臂的乘积，它的正负：力使物体绕矩心逆时针转向时为正，反之为负.常用单位Nm或kNm,O 到力的作用线的垂直距离h 称为力臂。,1、平面力对点之矩

7、,（2-8）,3-2 平面力对点之矩的概念及计算,1）力F 对O 点之矩不仅取决于力F的大小，同时还与矩心的位置有关；,2）力F 对任一点之矩，不会因该力沿其作用线移动而改变，因为此时力和力臂的大小均未改变；,3）力的作用线通过矩心时，力矩等于零；,4）互成平衡的二力对同一点之矩的代数和等于零。,1、平面力对点之矩,3-2 平面力对点之矩的概念及计算,合力矩定理：,平面汇交力系的合力对于平面内任一点之矩等于所有各分力对于该点之矩的代数和。,由于合力F与汇交力系Fx、Fy等效，所以求F对O点之矩可以通过分力Fx、Fy对点O之矩得到。,2、合力矩定理与力矩的解析表达式,（2-9）,（2-10）,3

8、-2 平面力对点之矩的概念及计算,3-3 平面力偶,平面汇交力系与平面力偶系,由两个等值、反向、不共线的（平行）力组成的 力系称为力偶，记作,1、平面力偶和力偶矩,1）力偶,3-3 平面力偶,两个要素,a.大小：力与力偶臂乘积,b.方向：转动方向,力偶矩,力偶中两力所在平面称为力偶作用面,2）力偶矩,1、平面力偶和力偶矩,力偶两力之间的垂直距离称为力偶臂,3-3 平面力偶,2、力偶与力偶矩的性质,(3) 力偶对任意点取矩都等于力偶矩，不因矩心的改变而改变。,(2) 力偶没有合力，力偶只能由力偶来平衡；,(1).力偶在任意坐标轴上的投影等于零；,3-3 平面力偶,3-3 平面力偶,2、力偶与力偶

9、矩的性质,3、 平面力偶的等效,在同一平面内的两个力偶，只要它们的力偶矩大小相等、转动方向相同，则两力偶必等效。这就是平面力偶的等效定理。,平面力偶的等效定理：,3-3 平面力偶,=,已知：,任选一段距离d,=,=,=,4、平面力偶系的合成,3-3 平面力偶,=,=,=,4、平面力偶系的合成,合成后，得到合力偶M。,3-3 平面力偶,平面力偶系平衡的充要条件 M = 0,平面力偶系平衡的必要和充分条件是：所有各力偶矩的代数和等于零。,5、平面力偶系的平衡,平衡方程,合力偶M 的表达式：,3-3 平面力偶,求： 光滑螺柱AB所受水平力.,已知：,解得,解：,例2-5,由力偶只能由力偶平衡的性质，

10、其受力图为,3-3 平面力偶,例2-6,求：平衡时 及铰链O、B处的约束力。,解：取轮,由力偶只能由力偶平衡的性质,画受力图.,取杆BC，画受力图.,解得,已知,解得,3-3 平面力偶,例2-7,求：,解：,由合力矩定理,得,已知：q，l，,合力及合力作用线位置。,取微元如图,3-3 平面力偶,思考题1,刚体上A、B、C、D四点组成一个平行四边形，如在其四个顶点作用有四个力，此四力沿四个边恰好组成封闭的力多边形，如图所示。此刚体是否平衡？,思考题2,从力偶理论知道，一力不能与力偶平衡。图示轮子上的力P为什么能与M平衡呢？,例4 图示结构，已知M=800N.m，求A、C两点的约束反力。,取整体为

11、研究对象,例5图示杆系，已知m，l。求A、B处约束力。,解：,1、研究对象二力杆：AD,2、研究对象： 整体,思考：CB杆受力情况如何？,m,练习：,解：,1、研究对象二力杆：BC,2、研究对象： 整体,m,AD杆,例6不计自重的杆AB与DC在C处为光滑接触,它们分别受力偶矩为M1与M2的力偶作用 ，转向如图。问M1与M2的比值为多大，结构才能平衡?,解: 取杆AB为研究对象画受力图。,杆A B只受力偶的作用而平衡且C处为光滑面约束，则A处约束反力的方位可定。,RA,RC, Mi = 0,RA = RC = R,AC = a,a R - M1 = 0,M1 = a R (1),取杆CD为研究对

12、象。因C点约束方位已定 , 则D点约束反力方位亦可确定，画受力图。,RD,R C,RD = RC = R, Mi = 0,- 0.5a R + M2 = 0,M2 = 0.5 a R (2),联立(1)(2)两式得:M1/M2=2,【小结】,一、平面汇交力系的合力,（1）几何法：根据力多边形法则，合力矢为,合力作用线通过汇交点。,（2）解析法：合力的解析表达式为,【小结】,二、平面汇交力系的平衡条件,（1）平衡的必要和充分条件：,（2）平衡的几何条件：,平面汇交力系的力多边形自行封闭,（3）平衡的解析条件（平衡方程）：,【小结】,1、平面内的力对点O之矩是代数量,一般以逆时针转向为正，反之为负

13、。,2、力偶和力偶矩,力偶是由等值、反向、不共线的两个平行力组成的特殊力系。力偶没有合力，也不能用一个力来平衡。,平面力偶对物体的作用效应决定于力偶矩M的大小和转向,力偶对平面内任一点的矩等于力偶矩，力偶矩与矩心的位置无关。,三、平面内的力矩、力偶和力偶矩,【小结】,4、平面力偶系的合成与平衡,合力偶矩等于各分力偶矩的代数和，即,平面力偶系的平衡条件为：,3、同平面内力偶的等效定理,在同平面内的两个力偶，如果力偶矩相等彼此等效。力偶矩是平面力偶作用的唯一度量。,3 平面任意力系,平面任意力系向作用面内一点的简化 平面任意力系的平衡条件和平衡方程 物体系统的平衡静定和超静定问题 平面简单桁架的内

14、力计算,平面任意力系实例,3.1.1 力线平移定理,定理：可以把作用在刚体上点A的力F平行移到任一点B，但必须同时附加一个力偶，这个附加力偶的矩等于原来的力F对新作用点B的矩。,力线平移定理的逆步骤，亦可把一个力和一个力偶合成一个力。,3.1 平面任意力系向作用面内一点简化,说明：,3.1.1 力线平移定理,MO,3.1.2 平面任意力系向一点简化主矢与主矩,平面汇交力系力，FR(主矢，作用在简化中心),平面力 偶 系力偶，MO (主矩，作用在该平面上),平面任意力系,平面汇交力系+平面力偶系,3.1.2 平面任意力系向一点简化主矢与主矩,3.1.2 平面任意力系向一点简化主矢与主矩,平面任意

15、力系,平面汇交力系+平面力偶系,其中平面汇交力系的合力为,平面力偶系的合成结果为,平面任意力系中各力的矢量和称为平面任意力系的主矢。主矢与简化中心的位置无关。,3.1.2 平面任意力系向一点简化主矢与主矩,原力系各力对简化中心力矩的代数和称为原力系对简化中心的主矩。一般来说，主矩与简化中心的位置有关。,3.1.2 平面任意力系向一点简化主矢与主矩,平面任意力系向作用面内任一点O 简化，可得该力系的主矢和该力系对于点O 的主矩。主矢与简化中心的位置无关，主矩和简化中心的位置有关。,一物体的一端完全固定在另一物体上所构成的约束称为固定端或插入端支座。,3.1.3 平面固定端约束,MA,FAy,FA

16、x,FA,MA,区别,3.1.3 平面固定端约束,3.1.4 平面任意力系简化结果分析,四种情况：(1) FR0，MO0 ; (2) FR 0，MO 0 ; (3) FR 0，MO0 ; (4) FR0，MO0,(1)平面任意力系简化为一个力偶的情形,原力系合成为合力偶。合力偶矩M等于原力系对简化中心的主矩。此时主矩与简化中心的位置无关。,四个力是否平衡？,FR0，MO0,3.1.4 平面任意力系简化结果分析,(2)平面任意力系简化为一个合力的情形合力矩定理,如果主矩等于零，主矢不等于零，则此时平面力系简化为一合力，作用线恰好通过简化中心。,如果主矢和主矩均不等于零，此时还可进一步简化为一合力

17、。如图,d,FR,FR,MO,结论：平面任意力系的合力对作用面内任一点的矩等于力系中各力对同一点的矩的代数和。这就是平面任意力系的合力矩定理。,3.1.4 平面任意力系简化结果分析,FR,从图中可以看出,所以,由主矩的定义知：,主矢,主矩,最后结果,说明,合力,合力,合力作用线过简化中心,合力作用线距简化中心,合力偶,平衡,与简化中心的位置无关,与简化中心的位置无关,简化中心：A点,主矢,思考：三角形分布载荷处理？,主矩,简化最终结果,R=,分布在较大范围内，不能看作集中力的荷载称分布荷载。若分布荷载可以简化为沿物体中心线分布的平行力，则称此力系为平行分布线荷载，简称线荷载。,结论： 1、合力

18、的大小等于线荷载所组成几何图形的面积。 2、合力的方向与线荷载的方向相同。 3、合力的作用线通过荷载图的形心。,3.1.5 平行分布线荷载的简化,1、均布荷载,2、三角形荷载,3、梯形荷载,可以看作一个三角形荷载和一个均布荷载的叠加,例 图示力系，已知：F1=100N, F2=50N, F3=200N,图中距离 单位cm。 求：1、力系主矢及对A点之矩？ 2、力系简化最后结果。,解：,1、建立坐标系,x,y,2、Fx=Fx=F3 =200N,Fy=Fy=F1+ F2 =100+50 =150N,主矢, =36.9,x,y,2、简化最终结果,mA,主矢,主矩,最终结果,合力,大小：,方向: =3

19、6.9,位置图示：,方向：, =36.9,在A点左还是右？,例3-1,已知：,求：,力系的合力,合力与OA杆的交点到点O的距离x，,合力作用线方程。,解：,（1）向O点简化， 求主矢和主矩。,大小,的方向余弦,主矩,（2）、求合力及其作用线位置。,（3）、求合力作用线方程,即,有：,3.2 平面任意力系的平衡条件和平衡方程,3.2.1 平衡条件,平面任意力系平衡的必要与充分条件是：力系的主矢和对任一点的主矩都等于零。即,3.2 平面任意力系的平衡条件和平衡方程,3.2. 2 平衡方程,即：平面任意力系平衡的解析条件是：力系中所有各力在其作用面内两个任选的坐标轴上投影的代数和分别等于零，所有各力

20、对任一点之矩的代数和等于零。上式称为平面任意力系的平衡方程。,由于,所以,解：以刚架为研究对象，受力如图。,解之得：,例1,例1 求图示刚架的约束反力。,A,P,a,b,q,P,q,FAy,FAx,MA,例2,例2 求图示梁的支座反力。,解：以梁为研究对象，受力如图。,解之得：,P,q,m,FB,FAy,FAx,(1) 二矩式,其中A、B两点的连线AB不能垂直于投影轴x。,由后面两式知：力系不可能简化为一力偶，只能简化为过A、B两点的一合力或处于平衡。再加第一条件，若AB连线不垂直于x 轴 (或y 轴），则力系必平衡。,3.2.3 平衡方程的其它形式,A,B,x,(2) 三矩式,其中A、B、C三点不能在同一条直线上。,注意： 以上格式分别有三个独立方程，只能求出三个未知数。,由前面两式知：力系不可能简化为一力偶，只能简化为过A、B两点的一合力