第二章2 地图学的数学基础--高斯克吕格.ppt

1、,地图的数学基础,课堂作业解答,1、地图具有哪3个基本特征？由于特殊的数学法则而产生的可量测性由于使用地图语言而产生的直观性由于实施制图综合而产生的一览性,课堂作业解答,2、地图有哪7种分类，每一类如何细分？按内容分：普通地图和专题地图；按比例尺分：大、中、小比例尺地图；按存储介质分：纸质、胶片、丝绸、磁介质；按包含的制图区域分：自然区划、行政区划；按用途分：通用和专用或者民用和军用；按使用方式分：桌面、挂图、屏幕图；按其他标志分：外形特征、感受方式、结构,课堂作业解答,3、地图具有哪些用途？一、在国民经济建设中的作用为规划管理服务为资源勘察、设计和开发提供基础为工程建设勘察、设计和施工提供资

2、料为农业的土地利用、土壤改良提供依据为地籍管理、房地产定级和交易服务用于航海、航空等,课堂作业解答,3、地图具有哪些用途？二、在国防建设中的作用用于各种国防工程的规划、设计和施工用于军事训练和演习用于各种战术作业用于作战指挥、协调用于战略部署参考,课堂作业解答,3、地图具有哪些用途？三、在国防建设中的作用1、作为科学研究和实际工作的工具2、作为宣传教育的工具四、在其他方面的用途,课堂作业解答,重点内容回顾,重点内容回顾,第二章 4、地图投影：概念；平行投影；透视投影；广义投影；地图投影的实质；地图比例尺；投影变形的概念；变形椭圆；长度比、长度变形；面积比、面积变形；角度变形；地图投影的分类-,

3、重点内容回顾,第二章 4、地图投影：平行投影；透视投影；广义投影；地图比例尺；投影变形的概念；变形椭圆；长度比、长度变形；面积比、面积变形；角度变形；地图投影的分类几何投影、非几何投影。,方位投影 圆柱投影 圆锥投影 伪方位投影 伪圆柱投影 伪圆锥投影 多圆锥投影,第五节 高斯克吕格投影及其应用,主要内容,应用范围,投影的基本概念,投影的变形分析,投影分带的规定,坐标网,高斯-克吕格投影,一、应用范围：我国现行的大于1：50万比例尺的各种地形图 二、投影的基本概念： 假想一个椭圆柱横套在地球椭球体上，使其与某一条经线相切，用解析法将椭球面上的经纬线投影到椭圆柱上，然后将椭圆柱展开成平面，即获得

4、投影后的图形，其中的经纬线互相垂直。,高斯克吕格投影是等角横切椭圆柱投影； 实质是建立平面直角坐标(x,y)与地理坐标(，)之间的一一对应函数关系。,高斯克吕格投影的几何概念：,高斯克吕格投影的基本条件： （1）中央经线投影为直线，且是投影的对称轴； （2）投影后没有角度变形； （3）中央经线上没有长度变形。,三、投影的变形分析： 长度变形公式：,长度变形的规律是： （1）中央经线上没有长度变形，即，； （2）沿纬线方向，离中央经线越远变形越大，即增大，也增大； （3）沿经线方向，纬度越低变形越大，即越小，越大； （4）最大变形处在赤道与最外一条经线的交点处。,为了控制投影变形就采取分带投影的

5、方法，该投影比较适用于纬度较高的国家。 通用横轴墨卡托(UTM)投影假想椭圆柱同地球椭球体是相割的，中央经线得长度比小于1，产生一个负变形区，整个投影的变形情况得到改善，用于高纬度地区比较好。,地图投影变换 研究从一种地图投影变换为另一种地图投影的理论和方法。其实质是建立两平面场之间的点的一一对应关系。 1. 解析变换法 找出两投影间坐标变换的解析计算公式。 （1）反解变换法 ： 通过中间过渡的方法，反解出原地图投影的地理坐标（、），代入新投影中求得其坐标。,投影坐标为极坐标的形式:,斜轴投影:,（2）正解变换法 不要求反解出原地图投影点的地理坐标 （、），而直接引出两种投影点的直接坐标关系式

6、。,（3）综合变换法 将反解变换方法与正解变换方法结合在一起的一种变换方法。通常根据原投影点的坐标x反解出纬度，然后根据、y而求得新投影点的坐标（X、Y）。,2.数值变换法 在资料图投影方程式未知时，或不易求得资料图和新编图两投影间解析关系式的情况下，可以采用多项式来建立它们之间的联系，用数值逼近的理论和方法来建立两投影间的关系。 3.数值-解析变换法 已知新投影方程式，而原投影方程式未知时，采取类似上述的多项式，求的资料图投影点的地理坐标（、），即反解数值变换，然后代入新方程式中，即可实现两种投影间的变换。,为了控制投影变形不致于过大，高斯克吕格投影采用分带投影的方法。 我国的1.5万150

7、万地形图均采用6分带投影；11万及更大比例尺地形图采用3分带投影，以保证地图有必要的精度。,四、投影分带的规定：,6分带法：从格林尼治零度经线起，每6为一个投影带，全球共分60个投影带。 东半球的30个投影带，从0起算往东划分，各投影带的中央经线位置： 0（n-3) （n为投影带带号） 西半球的30个投影带，从180起算，回到0，各投影带中央经线的位置： 0(n-3)360,我国领土位于东经72136之间，共包括11个投影带，即1323带，各带的中央经线分别为75，81135 。,3分带法：从东经130算起，每3为一带，将全球划分为120个投影带，其中央经线的位置分别为3，180，西经177，

8、。这样分带的目的在于使6带的中央经线均为3带的中央经线。即3带中有半数的中央经线同6带重合，在从3带转换成6带时，可以直接转用，不需任何计算。,图上标注的高斯克吕格投影的横坐标值是在横坐标(通用值)之前加上带号即可。,为了制作地图和使用地图方便，通常在地图上绘有一种或两种坐标网，即经纬线网和方里网。,五、坐标网：,1、经纬线网：由经线和纬线所构成的坐标网。 制图上的意义：制图时起到控制作用，确定地球表面上各点和整个地形的实地位置；计算和分析投影变形；确定比例尺，量测距离、角度和面积。 在11万25万比例尺的地形图上，经纬线只以图廓线的形式直接表现出来，并在图角处注出相应度数。为了方便用图时加密

9、成网。在内外图廓间还绘有加密经纬网的加密分划短线。 125万地形图上，除内图廓上绘有经纬网的加密分划外，图内还有加密用的十字线。 我国的150万100万地形图，在图面上直接绘出经纬线网。内图廓上也有供加密经纬线网的加密分划短线。,2、方里网： 是由平行于投影坐标轴的两组平行线所构成的方格网。因为是每隔整公里绘出坐标纵线和坐标横线，所以称之为方里网，由于方里线同时又是平行于直角坐标轴的坐标网线，故又称直角坐标网。 直角坐标系以中央经线投影后的直线为X轴，以赤道投影后的直线为Y轴，它们的交点为坐标原点。 我国位于北半球，全部X值都是正值。在每个投影带中则有一半的Y坐标值为负。为了避免Y坐标出现负值

10、，规定纵坐标轴向西平移500km (半个投影带的最大宽度不超过500km)。这样，全部坐标值都表现为正值了。,3、邻带坐标网： 为了解决相邻带图幅拼接使用的困难，规定在一定的范围内把邻带的坐标延伸到本带的图幅上，这就使某些图幅上有两个方里网系统，一个是本带的，一个是邻带的。 为了区别，图面上都以本带方里网为主，邻带方里网系统只在图廓线以外绘出一小段，需要使用时才连绘出来。,据12.5万10万地形图图式(1971年版)规定: 每个投影带西边最外一行110万地形图的范围(即经差30)内包含的110万、1万、12.5万地形图均需要加绘西部邻带的方里网； 每个投影带东部最外的一行1万地形图(经差15）

11、和一行12.5万地形图(经差7.5)的图面上也需要加绘东邻带的方里网。 这样，每两个投影带的相接部分(45的范围)都应该有1行110万，3行1万，5行12.5万地形图的图面上需绘出邻带方里网。,邻带方里网加绘的实质就是将投影带的范围扩大，即西带向东带延伸30投影，东带向西带延伸15（7.5)投影。这样，每个投影带计算的范围不是，而是645，这时东带中最西边的30范围内的图幅，既有东带的坐标，又有西带的坐标。,第六节 双标准纬线圆锥投影,主要内容,投影的基本概念,投影的变形分析,成果表的应用,我国新编的1100万地图系采用双标准纬线正轴等角圆锥投影。,一、投影概念,圆锥投影的极坐标公式为： f(

12、） 式中为纬线投影半径，f为取决于投影性质的函数，为经线投影夹角。,双标准纬线圆锥投影，是假想圆锥轴和地球椭球体旋转轴重合并套在椭球体上，圆锥面与地球椭球面相割，将经纬网投影于圆锥面上展开而成。其经线表现为辐射的直线束，纬线投影成同心圆弧。,圆锥面与椭球面相割的两条纬线圈，称之为标准纬线(12）。采用双标准纬线的相割比采用单标准纬线的相切，其投影变形小而均匀。 两条标准纬线近似地选在下式所示的位置： 1S30 2N30,二、投影变形,投影变形的分布规律是： 1、角度没有变形； 2、等变形线和纬线一致，同一条纬线上的变形处处相等； 3、两条标准纬线上没有任何变形； 4、在同一经线上，两标准纬线外

13、侧为正变形(长度比大于1)，而两标准纬线之间为负变形(长度比小于1)，因此，变形比较均匀，绝对值也较小； 5、同一纬线上等经差的线段长度相等，两条纬线间的经线线段长度处处相等。,上图是用微分圆表示的双标准纬线正轴等角圆锥投影的变形分布情况。由于采用分带投影，每带纬差较小，我国范围内的1100万地图变形值几乎相等，其长度变形最大不超过0.03 (南北图廓、中间纬线上)，面积变形约为长度变形的2倍。,三、成果表的应用,这种投影的直角坐标，是以图幅的中央经线作X轴，中央经线与最南边纬线(S)交点作原点，过此点切线作Y轴，构成直角坐标系来计算的。因此，按投影公式，以经纬线交点的纬度和该点对中央经线之经

14、差，即可算出直角坐标值。而且由于经纬网图形是以中央经线为轴左右对称的。因此，只要计算右方的经纬线交点的坐标，左方的经纬线交点的坐标只需Y值变负即可。,第七节 地图定向,主要内容,地形图的定向,小比例尺地图的定向,确定地图上图形的地理方向叫地图定向。,一、地形图的定向,为了满足使用地图的要求，规定在大于110万的各种比例尺地形图上绘出三北方向和三个偏角的图形。它们不仅便于确定图形在图纸上的方位，同时还用于在实地使用罗盘标定地图的方位。,1、三北方向线 （1）真北方向线：过地面上任意一点，指向北极的方向，叫真北。其方向线称真北方向线或真子午线。对一幅图而言，通常是把图幅的中央经线的北方方向作为该图

15、幅的真北方向。 （2）坐标北方向线：图上方里网的纵线叫坐标纵线，它们平行于投影带的中央经线，纵坐标值递增的方向称为坐标北方向。 （3）磁北方向线：实地上磁北针所指的方向叫磁北方向。它与指向北极的北方向并不一致，磁偏角相等的各点连线就是磁子午线，它们收敛于地球的磁极。,2、三个偏角 （1）子午线收敛角:在高斯克吕格投影中，除中央经线之外，其他所有经线的投影同坐标纵线都有一个夹角(即过某点的经线弧的切线与坐标纵线的夹角)，这个夹角即子午线收敛角。 子午线收敛角随纬度的 增高而增大，随着对投影 带中央经线的经差增大而 加大。在中央经线和赤道 上都没有子午线收敛角。 采用6分带投影时子午线 收敛角的最

16、大值为,（2）磁偏角:过某点的磁子午线与真子午线之间的夹角称为磁偏角，磁子午线在真子午线以东，称为东偏，角值为正；在真子午线以西，称为西偏，角值为负。 在我国范围内，正常情况下磁偏角都是西偏，只有某些发生磁力异常的区域才会表现为东偏。 （3）磁针对坐标纵线的偏角：过某点的磁子午线与坐标纵线之间的夹角称为磁针对坐标纵线的偏角。磁子午线在坐标纵线以东为东偏，角值为正，以西为西偏，角值为负。,3、三北方向组成的偏角图 真子午线、坐标纵线和磁子午线的三个北方各不相同，三者之间的关系可以构成以下几种形式 ：,三个偏角的关系可以表示为：321,4、偏角的密位制表示法 三个偏角除了用度分秒制标注外，为了军事上的目的，还要加注密位制的数字。 密位是将圆周分为6000份或6400份，分别称为6000密位制和6400密位制，每个单位称为一密位。 6000密位制与度分秒制的换算关系如下列各式：,地形图的三北方向图中，密位数字的标注方法：上面的数字为度分秒数，下面括号内的数字即为相应的密位数。为了读数方便，标注密位数时将密位