二阶微分方程.ppt

1、数学物理方法,二阶常微分方程,二阶常微分方程,常用齐次定解问题 数学物理中的对称性 特殊函数常微分方程 常微分方程的级数解法 斯图姆刘维尔本征值问题 本章小结,常用齐次定解问题,常用齐次定解问题的要素 常用齐次定解问题的分类 拉普拉斯算符的形式 拉普拉斯算符形式的推导,常用齐次定解问题要素,常用齐次定解问题的分类,！,！,拉普拉斯算符的形式,极坐标下拉普拉斯算符形式的推导,极坐标下的形式,直角坐标下的形式,坐标变换关系,微分变换关系,数学物理中的对称性,对称性的概念 定义：对称性就是在某种变换下的不变性 分类 对称性的描述 对称性原理 当定解问题的泛定方程和定解条件都具有某种对称性时，它的解也

2、具有同样的对称性。 对称性的应用,对称性的分类,对称性的描述,对称性的应用柱坐标输运方程,特殊函数常微分方程,球坐标下拉普拉斯方程的分离变量 一般情况 欧拉方程，球函数方程，连带勒让德方程 轴对称情况 勒让德方程 极坐标下热传导方程的分离变量 一般情况 亥姆霍兹方程，贝塞尔方程 轴对称情况,球坐标下拉普拉斯方程,球坐标下拉普拉斯方程,极坐标下热传导方程,常微分方程的级数解法,常微分方程中点的分类 各点邻域级数解的形式 勒让德方程的级数解 贝塞尔方程的级数解,常微分方程中点的分类,二阶变系数常微分方程的一般形式 w”+p(z)w+q(z)w=0 方程中点的分类 常点：z0 是 p(z) 和 q(

3、z) 的解析点 正则奇点：z0 是 (z-z0) p 和 (z-z0)2 q 的解析点 非正则奇点：其它情况,各点邻域级数解的形式,非正则奇点 z0 邻域 有一解为,常点z0邻域 两解均为,正则奇点 z0 邻域 有一解为 其中 s 由判定方程确定,a00,勒让德方程的级数解,勒让德方程的级数解,勒让德方程的级数解,勒让德方程的级数解,性质： 奇偶性：y0为偶函数，y1为奇函数； 退化性：l 为非负整数时，级数解退化为多项式； 收敛性：特解的收敛半径为 1 ； 有界性：在 x = 1 时，非退化级数解发散。,贝塞尔方程的级数解,ak0=0,贝塞尔方程的级数解,贝塞尔方程的级数解,性质： 奇偶性：

4、m为奇偶整数时，Jm和Nm为奇偶函数； 收敛性：特解的收敛半径为 ； 有界性：在 x 0，m0 时, Jm有界，Nm发散。,斯图姆刘维尔本征值问题,本征值问题 本征值：使带边界条件的常微分方程有非零解的参数值 本征函数：相应的非零解 本征值问题：求本征值和本征函数的问题 斯特姆刘维尔本征值问题 斯特姆刘维尔型方程 斯特姆刘维尔型边界条件 斯特姆刘维尔本征值问题的性质 可数性：存在可数无限多个本征值； 非负性：所有本征值均为非负数； 正交性：对应不同本征值的本征函数带权正交； 完备性：满足边界条件的光滑函数可以按本征函数展开。,斯特姆刘维尔本征值问题,斯特姆刘维尔型方程,其中k(x)、q(x)和(x)都非负； k(x)、k(x)和q(x)连续或以端点为一阶极点。 斯特姆刘维尔型边界条件 三类齐次边界条件 周期性边界条件 有界性边界条件,斯特姆刘维尔本征值问题,本征函数集合的正交性和完备性,正交性,完备性,展开系数,本征函数集合的正交性和完备性,例题1,问题,本征函数,正交性,完备性,本征函数