2013高考导航 数学 第七章第5课时

1、第5课时空间中的垂直关系,基础梳理,1直线与平面垂直 (1)定义：如果直线l与平面内的_直线都垂直，则直线l与此平面垂直 (2)判定定理：一条直线与一个平面内的两条_直线都垂直，则该直线与此平面垂直,任意一条,相交,(3)性质定理：垂直于同一个平面的两条直线_ 2二面角的有关概念 (1)二面角：从一条直线出发的_所组成的图形叫做二面角 (2)二面角的平面角：以二面角的棱上任一点为端点，在两个半平面内分别作_的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角,平行,两个半平面,垂直于棱,3平面与平面垂直 (1)定义：如果两个平面所成的二面角是_，就说这两个平面互相垂直 (2)判定定理：一个平面过另

2、一个平面的_，则这两个平面垂直 (3)性质定理：两个平面垂直，则一个平面内_的直线与另一个平面垂直,直二面角,垂线,垂直于交线,思考探究 垂直于同一平面的两平面是否平行？ 提示：可能平行，也可能相交,4直线和平面所成的角 平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角叫做这条直线和这个平面所成的角 当直线与平面垂直和平行(含直线在平面内)时，规定直线和平面所成的角分别为_.,90和0,课前热身 1将图1中的等腰直角三角形ABC沿斜边BC的中线折起得到空间四面体ABCD(如图2),则在空间四面体ABCD中，AD与BC的位置关系是(),A相交且垂直 B相交但不垂直 C异面且垂直 D异面但不垂直,2设a

3、，b，c是三条不同的直线，是两个不同的平面，则ab的一个充分条件是 () Aac，bc B，a，b Ca，b Da，b,解析：选C.对于选项C，在平面内作cb,因为a，所以ac，故ab；A，B选项 中,直线a，b可能是平行直线，也可能是异面直线；D选项中一定有aB.故选C.,3一平面垂直于另一平面的一条平行线,则这两个平面的位置关系是_ 解析：由线面平行的性质定理知，该面必有一直线与已知直线平行，再根据“两平行线中一条垂直于一平面，另一条也垂直于该平面”得出结论 答案：垂直相交,4ABC中，ABC90，PA平面ABC，则图中直角三角形的个数是 _ 答案：4,考点1直线与平面垂直的判定与性质,(

4、1)证明：PQ平面DCQ； (2)求棱锥QABCD的体积与棱锥PDCQ的体积的比值,【解】(1)证明：由条件知四边形PDAQ为直角梯形 因为QA平面ABCD，QA平面PDAQ， 所以平面PDAQ平面ABCD，交线为AD. 又四边形ABCD为正方形，DCAD， DCPD，PDADD， 所以DC平面PDAQ，可得PQDC.,【题后感悟】证线面垂直的方法： (1)利用线面垂直定义：证一直线垂直于平面内任意一直线，则这条直线垂直于该平面; (2)用线面垂直的判定定理：证一直线与平面内两相交直线都垂直，则这条直线与平面垂直；(3)用线面垂直的性质：两平行线之一垂,直于这个平面,则另一条也必垂直于这个平面

5、; (4)用面面垂直的性质定理：两平面垂直,在一个面内垂直于交线的直线必垂直于另一平面；(5)用面面平行的性质：一直线垂直于两平行平面之一，则必垂直于另一平面,备选例题(教师用书独具),(1)AC平面BDE； (2)AC平面BEF. 【证明】(1)因为平面ABCD平面ADEF,ADE90， 所以DE平面ABCD， 所以DEAC. 因为ABCD是正方形，所以ACBD，,变式训练 1如图，已知三棱锥ABPC中, APPC,ACBC，M为AB中点，D为PB中点，且PMB为正三角形求证：,(1)MD平面APC； (2)BC平面APC. 证明：(1)M为AB中点，D为PB中点, MDAP.又MD平面AP

6、C，AP平面APC,MD平面APC.,考点2平面与平面垂直的判定与性质 (2011高考江苏卷)如图，在四棱锥PABCD中，平面PAD平面ABCD，ABAD，BAD60，E，F分别是AP，AD的中点求证：,(1)直线EF平面PCD； (2)平面BEF平面PAD.,【证明】(1)在PAD中, 因为E，F分别为AP，AD 的中点，所以EFPD. 又因为EF平面PCD, PD平面PCD, 所以直线EF平面PCD.,(2)连接BD.因为ABAD，BAD60,所以ABD为正三角形 因为F是AD的中点，所以BFAD. 因为平面PAD平面ABCD，BF平面ABCD，平面PAD平面ABCDAD，所以BF平面PA

7、D. 又因为BF平面BEF，所以平面BEF平面PAD.,【题后感悟】证明两个平面垂直，一般要转化成线面垂直，即证其中一个平面经过另一平面的一条垂线可以先找到其中一个平面的一条垂线，再说明这条垂线在另一平面内或与另一平面的一条垂线平行,备选例题(教师用书独具) 如图，在直三棱柱 ABCA1B1C1中,AA1 ABBC3，AC2， D是AC的中点,(1)求证：B1C平面A1BD； (2)求证：平面A1BD平面ACC1A1； (3)求三棱锥AA1BD的体积 【解】(1)证明：设AB1与A1B相交于点E,连接DE，则E为AB1的中点,在AB1C中，D为AC的中点,E为AB1的中点, DEB1C. 又D

8、E平面A1BD，B1C平面A1BD， B1C平面A1BD.,变式训练 2如图，四棱锥PABCD中，ABCD为矩形，PAD为等腰直角三角形，APD90,而PAD面ABCD，AB1，AD2.,(1)求证：面PDC面PAD； (2)求四棱锥PABCD的体积 解：(1)证明：面PAD面ABCD, CDAD，面PAD面ABCDAD, 又AD面PAD，CD面PAD， CDPA.,APPD，PDCDD，AP面PCD. 又AP面PAD， 面PDC面PAD.,考点3线面垂直的综合应用 如图，四棱锥P ABCD中,底面ABCD是 DAB60的菱形, 侧面PAD为正三角形, 其所在平面垂直于底面 ABCD.,(1)

9、求证：ADPB； (2)若E为BC边的中点，能否在棱PC上找到一点F，使平面DEF平面ABCD？并证明你的结论,【解】(1)证明：如图，取AD的中点G，连接PG，BG，BD. PAD为等边三角形， PGAD，,又平面PAD平面ABCD， PG平面ABCD. 在ABD中，DAB60，ADAB， ABD为等边三角形， BGAD， 又PGBGG， AD平面PBG，,ADPB. (2)连接CG，DE，且CG与DE相交于H点, 在PGC中作HFPG，交PC于F点，连接DF，EF， FH平面ABCD， 又FH平面DEF，,平面DEF平面ABCD. H是CG的中点，F是PC的中点， 在PC上存在一点F，即为

10、PC的中点，使得平面DEF平面ABCD.,【题后感悟】对于这类问题应先把题目中已确定的位置、大小关系作出全面认识和正确的推理，再对变化不定的线面关系进行观察，尝试作出各种常见的辅助线、辅助面进行判断，另外还要灵活运用观察、联想、类比、猜想、分析、综合、一般化、特殊化等科学的思维方法，才能使开放性问题快速有效地解决,备选例题(教师用书独具) 如图，已知长方体ABCDA1B1C1D1的底面ABCD为正方形，E为线段AD1的中点，F为线段BD1的中点，,【解】(1)证明：E为线段AD1的中点，F为线段BD1的中点，EFAB.EF平面ABCD，AB平面ABCD，EF平面ABCD.,F，M分别是BD1，

11、CC1中点，FMAC.DFFM. D1DAD，D1DBD.矩形D1DBB1为正方形 F为BD1的中点，DFBD1. FMBD1F，DF平面BD1M.,变式训练 3如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中, E、F分别是CD、A1D1的中点 (1)求证：AB1BF； (2)求证：AEBF；,(3)棱CC1上是否存在点P，使BF平面 AEP？若存在，确定点P的位置，若不存 在，说明理由,解：(1)证明：连接A1B，则AB1A1B， 又AB1A1F，且A1BA1FA1， AB1平面A1BF.AB1BF.,(2)证明：取AD中点G，连接FG，BG，则FGAE， 又BAGADE， ABGDAE. AEB

12、G.又BGFGG， AE平面BFG.AEBF.,(3)存在取CC1中点P，即为所求连接EP,AP，C1D， EPC1D，C1DAB1，EPAB1. 由(1)知AB1BF， BFEP. 又由(2)知AEBF，且AEEPE， BF平面AEP.,方法技巧 垂直关系的转化,在证明两平面垂直时一般先从现有的直线中寻找平面的垂线，若这样的直线图中不存在,则可通过作辅助线来解决如有平面垂直时,一般要用性质定理，在一个平面内作交线的垂线，使之转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直.故熟练掌握“线线垂直”、“面面垂直”间的转化条件是解决这类问题的关键,失误防范 1在解决直线与平面垂直的问题过程中,要注意直线与

13、平面垂直定义，判定定理和性质定理的联合交替使用，即注意线线垂直和线面垂直的互相转化 2面面垂直的性质定理是作辅助线的一个重要依据我们要作一个平面的一条垂线,通常是先找这个平面的一个垂面，在这个垂面中，作交线的垂线即可,命题预测 从近几年的高考试题来看，线面垂直的判定与性质、面面垂直的判定与性质等是高考的热点,题型既有选择题、填空题，又有解答题，难度中等偏高客观题突出“小而巧”，主要考查垂直的判定及性质；主观题考查较全面，,在考查上述知识的同时，还注重考查空间想象、逻辑推理以及分析问题、解决问题的能力 预测2013年高考仍将以线面垂直、面面垂直为主要考查点，重点考查学生的空间想象以及逻辑推理能力

14、,规范解答,(本题满分12分)(2011高考山东卷)如图，在四棱台ABCDA1B1C1D1中，D1D平面ABCD，底面ABCD是平行四边形，AB2AD，ADA1B1，BAD60.求证:,(1)AA1BD； (2)CC1平面A1BD.,【证明】(1)法一：因为D1D平面ABCD,且BD平面ABCD， 所以D1DBD.1分 在ABD中，由余弦定理，得 BD2AD2AB22ADABcosBAD. 又因为AB2AD，BAD60，,所以BD23AD2，3分 所以AD2BD2AB2，因此ADBD. 又ADD1DD，所以BD平面ADD1A1. 又AA1平面ADD1A1，所以AA1BD.6分,法二：因为DD1平面ABCD，且BD平面ABCD， 所以BDD1D.1分 如图，取AB的中点G，连接DG. 在ABD中，由AB2AD，得AGAD.又BAD60， 所以ADG为等边三角形，2分 所以GDGB，故DBGGDB.,又AGD60，所以GDB30， 所以ADBADGGDB603090， 所以BDAD.4分 又ADD1DD，所以BD平面ADD1A1. 又AA1平面ADD1A1，所以AA1BD.6分,由棱台的定义及AB2AD2A1B1， 知A1C1EC，且A1C1EC， 所以四边形A1ECC1为平行四边形， 因此CC1EA1.10分 又因为EA1平面A1BD，CC1平面A1BD， 所以CC1