常微分方程的数值解法.ppt

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1、1,第九章常微分方程数值解法,第一节 Euler方法,第三节单步法的收敛性和稳定性,第二节 Runge-Kutta方法,上一页下一页返回,2,上一页下一页返回,本章介绍求解微分方程数值解的基本思想和方法.,含有自变量、未知函数和它的一阶导数和高阶导数的方程.,常微分方程,它是描述运动、变化规律的重要数学方法之一，分为两类：,1. 初值问题即给出未知函数及导数在初始点的值；,2. 边值问题即给出未知函数及（或）它的某些导数在区间两个端点的值。,3, 考虑一阶常微分方程的初值问题 :,只要 f (x, y) 在a, b R1 上连续，且关于 y 满足 Lipschitz 条件，即

2、存在与 x, y 无关的常数 L 使对任意定义在 a, b 上的 y1(x) 和 y2(x) 都成立，则上述问题解存在唯一解。,所谓数值解法就是要计算出初值问题的解函数 y(x) 在一系列离散点 a = x0 x1 xN= b上的近似值： y0 , y1 ,yN .,节点间距为步长，,通常采用等距节点，即取 hi = h (常数)。, yn 称为问题的数值解.,数值解所满足的离散方程统称为差分格式.,上一页下一页返回,4,第一节欧拉方法,一、欧拉公式,令yn为y(xn)的近似值，将上式代入(*)式可得,此式称为欧拉(Euler)公式.,为Euler方法的局部截断误差.,上一页下一

3、页返回,5,例1 用欧拉公式解初值问题,解：取步长 h=0.1, 欧拉公式的具体形式为：,依次计算可得, ,y3，y4，y5，y6，y7，y8，y9，y10,上一页下一页返回,6,其部分结果见下表,可见Euler方法的计算结果精度不太高。,上一页下一页返回,7, 欧拉公式的几何意义：,几何意义：,用折线近似代替方程的解曲线,因而也称Euler方法为折线法.,上一页下一页返回,8,二、后退的欧拉公式,也用一阶差商逼近导数,令yn+1为y(xn+1)的近似值，则可得,称为后退Euler公式,已知 yn时,必须通过解方程才能求出yn1 ,这样的公式称为隐式公式, 而Euler公式为

4、显式公式.,Euler公式和后退Euler公式都是由yn去计算yn+1 ，因此，称它们为单步法。,上一页下一页返回,9,显然, p越大, 精度越高.,三、局部截断误差与方法的阶,Euler方法的精度,其中：,上一页下一页返回,10,所以， Euler方法具有 1 阶精度。,将,在点,处一阶Taylor展开,上一页下一页返回,11,所以，后退的Euler方法也具有 1 阶精度。,隐式Euler方法的精度,上一页下一页返回,12, 显、隐式两种算法的平均, 欧拉公式的改进,其局部误差为：,此公式具有2阶精度.,称平均公式或梯形公式,梯形公式可由下迭代式计算：其中迭代初值是Eu

5、ler公式提供.,上一页下一页返回,13,四、改进的欧拉公式,注：此法亦称为预测-校正法。可以证明该算法具有 2 阶精度，同时可以看到它是个单步递推格式，比隐式公式的迭代求解过程简单。它的精度高于显式欧拉法。,上一页下一页返回,14,为了便于编程, 常将改进的欧拉公式写为：,上一页下一页返回,15,例2 用改进的欧拉法解例1中的初值问题.,解：取步长 h=0.1, 改进欧拉法的具体形式为,具体计算过程如下,上一页下一页返回,16,依次计算可得, ,y3，y4，y5，y6，y7，y8，y9，y10,其部分结果见下表,上一页下一页返回,17,例3 对下面的初值问题,解（

6、1）取步长 h=0.1, 欧拉方法的具体公式为,（2）取步长 h=0.1, 改进的欧拉方法的具体公式为,取步长h=0.1，分别用Euler方法、改进的Euler方法求数值解。,上一页下一页返回,18,计算结果见下表,上一页下一页返回,19,第二节龙格 - 库塔法,基本思想,考察改进的欧拉法，可以将其改写为：,斜率一定取k1 k2 的平均值吗？,步长一定是一个h 吗？,只要能对平均斜率提供一种近似算法,就能得到一种对应的差分格式.,上一页下一页返回,20,例如取 m 个点的斜率构造如下形式的公式,该公式称为m级龙格库塔(Runge-Kutta)公式,简称R-K公式.,求解：只需将

7、公式的局部截断误差在xn点进行Taylor展开,令其前面尽可能多的项为0, 便可导出ai，bij，ci所满足的方程组,即可从中求出这些系数.,上一页下一页返回,21,以 m=2 的情形为例说明建立R-K公式的方法.,其局部截断误差为：,上一页下一页返回,22,因此有：,而对于h3，若将k2的Taylor展开式多取一项,会发现h3项的系数不可能为0.,而对于上式有无穷多个解,它的每一组解都给出了一个局部截断误差为的二级R-K公式,即二阶R-K公式.,这里有个未知数，个方程。,3,2,上一页下一页返回,23, 常用的标准四阶RK公式（经典R-K方法）,最常用的四阶标准RK公式（经

8、典R-K方法）为：,上一页下一页返回,24,例用四阶标准R-K公式解初值问题,解：取 h=0.2 ，四阶标准R-K法的具体格式如下:,上一页下一页返回,25,已知,上一页下一页返回,26,至少具有四位有效数字.,比较:上节用改进的Euler公式计算,取h=0.1，最多具有四位有效数字。,上一页下一页返回,27,改进的Euler公式每前进一步只要计算两次f 值,而4阶R-K公式每前进一步要计算四次f 值,但改进的Euler法的步长比4阶R-K法的小一半,两者计算总量差不多.,而4阶R-K法的效果要比改进的Euler法好., 由于龙格-库塔法的导出基于泰勒展开，故精度主要受解函

9、数的光滑性影响。对于光滑性不太好的解，最好采用低阶算法而将步长h 取小。,上一页下一页返回,28,第三节单步法的收敛性与稳定性, 收敛性 /* Convergency */,例：就初值问题考察欧拉显式格式的收敛性。,解：该问题的精确解为,欧拉公式为,对任意固定的 x = xi = i h ，有,上一页下一页返回,29, 稳定性 /* Stability */,例：考察初值问题在区间0, 0.5上的解。分别用欧拉法、隐式欧拉法和改进的欧拉格式计算数值解。,1.0000 2.0000 4.0000 8.0000 1.6000101 3.2000101,1.0000 2.500010

10、1 6.2500102 1.5625102 3.9063103 9.7656104,1.0000 2.5000 6.2500 1.5626101 3.9063101 9.7656101,1.0000 4.9787102 2.4788103 1.2341104 6.1442106 3.0590107,What is wrong ?!,上一页下一页返回,30,一般分析时为简单起见，只考虑试验方程,常数l0，可以是复数,当步长取为 h 时，将某算法应用于上式，并假设在初值产生误差，则若此误差以后逐步衰减，就称该算法相对于z= l h 绝对稳定， z 的全体构成绝对稳定区域。,我们称算法A 比算法B 稳定，就是指 A 的绝对稳定区域比 B 的大。,上一页下一页返回,31,例：考察隐式欧拉法,可见绝对稳定区域为：,注：一般来说，隐式欧拉法的绝对稳定性比同阶的显式法的好。,上一页下一页返回,32,一些单步法的绝对稳定区间见下表,Euler方法改进的Euler方法三阶R-K法四阶R-K法隐式Euler法梯形法,-2 z 0

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