§3高斯公式与斯托克斯公式.ppt

1、3 高斯公式与斯托克斯公式,教学目的：学会用高斯公式计算第二型曲面积分，用斯托克斯公式计算第二型曲线积分 教学内容：高斯公式；斯托克斯公式；沿空间曲线的第二型积分与路径无关的条件 基本要求：学会用高斯公式计算第二型曲面积分，用斯托克斯公式计算第二型曲线积分 掌握沿空间曲线的第二型积分与路径无关的条件,高斯(Gauss)公式 斯托克斯(Stokes)公式,定理22.3 设空间闭区域 V 由分片光滑的,在V 上有连续的一阶偏导数, 则有,闭曲面S 所围成, S 的方向取外侧, 函数 P, Q, R,一、高斯公式,下面先证:,证明,设,为XY型区域 ,则,所以,若 不是 XY型区域 ,则可引进辅助面

2、,将其分割成若干个 XY型区域,故上式仍成立 .,正反两侧面积分正负抵消,在辅助面,类似可证,三式相加, 即得所证 Gauss 公式：,例1,计算,其中 S 是由 x = y = z = 0, x = y = z = a 六个平面所,围的正立方体表面并取外侧为正向.,解,例,计算,所围的空间区域的表面，方向取外侧.,解,其中 S 为锥面,与平面,设 S1 为上半球体的底面，,例,计算,的外侧.,解,其中 S 是上半球面,取下侧.,于是,斯托克斯公式建立了沿曲面 S 的曲面积分与沿 S,的边界曲线 L 的曲线积分之间的联系.,对曲面 S 的侧与其边界曲线 L 的方向作如下规定：,设人站在曲面 S

3、 上的指定一侧，沿边界曲线 L 行走，,指定的侧总在人的左方，则人前进的方向为边界曲线,L 的正向.,二、斯托克斯公式,这个规定方法也称为右手法则.,定理22.4 设光滑曲面 S 的边界 L 是按段光滑曲线,同 L ）上具有连续一阶偏导数，则有,S 的侧与 L 的正向符合右手法则,在 S （连,注意:,则斯托克斯公式就是格林公式,故格林公式是斯托克斯公式的特例.,如果 S 是 xoy 坐标平面上的一块平面区域,为便于记忆, 斯托克斯公式还可写作:,或用第一类曲面积分表示:,证:,情形1 与平行 z 轴的直线只交于,一点,设其方程为,为确定起见, 不妨设 取上侧 (如图).,则,(利用格林公式)

4、,因此,同理可证,三式相加, 即得斯托克斯公式 ;,情形2 曲面 与平行 z 轴的直线交点多于一个,则可,通过作辅助线面把 分成与z 轴只交于一点的几部分,在每一部分上应用斯托克斯公式, 然后相加,由于沿辅助,曲线方向相反的两个曲线积分相加刚好抵消,所以对这,类曲面斯托克斯公式仍成立.,证毕,例2. 利用斯托克斯公式计算积分,其中 L 为平面 x+ y+ z = 1 与各坐标面的交线，,解,取逆时针方向为正向如图所示.,记三角形ABC为 S , 取上侧, 则,例. 利用斯托克斯公式计算积分,其中 L 为 y2+ z2 = 1 , x = y 所交的椭圆正向.,解,记以 L 为边界的椭圆面为 S

5、 , 其方向按右手法则,确定，于是有,例. 为柱面,与平面 y = z 的交线,从 z,轴正向看为顺时针, 计算,解: 设为平面 z = y 上被 所围椭圆域 ,且取下侧,利用斯托克斯公式得,则其法线方向余弦,空间曲线积分与路径无关的条件,定理22.5,设 是空间单连通区域, 函数 P, Q, R,在上具有连续一阶偏导数,则下列四个条件相互等价:,(1) 对 内任一按段光滑闭曲线 L, 有,(2) 对 内任一按段光滑曲线 L,与路径无关,(4) 在 内处处有,(3) 在 内存在某一函数 u, 使,与路径无关, 并求函数,解: 令, 积分与路径无关,因此,例3. 验证曲线积分,内容小结,1. 高斯公式,2. 斯托克斯公式,例,计算,其中 S 为球面在第一卦限部分,例 设 S 与上例相同，取球面外侧，,分别计算下列积分,德国数学家、天文学家和物理学家,是与阿基米德, 牛顿并列的伟大数学家,他的数学成就遍及各个领域 ,在数论、,级数、复变函数及椭圆函数论等方面均有一系列开创,性的贡献,他还十分重视数学的应用,地测量学和磁学的研究中发明和发展了最小二乘法、,曲面论和