lec3 行列式的计算.ppt

1、教学内容和基本要求,第一章 行列式和线性方程组的求解,1,趣味思考题,三、若行列式D=0，则D都可能是什么类型的行列式？,(1) 行列式D有两行或两列的元素相同；,(2) 行列式D有两行或两列的元素成比例；,(3) 行列式D有至少有一行或一列元素都是零 ；,(4) 主对角线上至少有一个元素等于零的对角行列式；,(5) 主(次)对角线上至少有一个零元素的三角行列式；,(6) 所有可以利用行列式性质化成上述形式的行列式,四、设D =,证明: D = (1)mnD1D2.,D2 =,证明: 将第n+1列与左边的各列逐次对换相邻两列， 可将其移到第一列，以此类推，共做mn次相邻对换，即可得到,所以D

2、= = (1)mn|A| |B|.,二. 行列式的主要计算方法,1.3 行列式的性质及计算,1. 化为三角形行列式,|AT| = |A|.,3. 行列式按行(列)展开,2. 箭形行列式的计算,4. 降阶递推法,5. 分解行列法,本结论可以直接应用,1.3 行列式的性质及计算,2. 箭形行列式,例7.,第一章 行列式和线性方程组的求解,5,第一章 行列式和线性方程组的求解,1.3 行列式的性质,例8: Dn=,1+a1 1 1 1 1+a2 1 1 1 1+an,可化为箭形的行列式,解:,(a1a2an 0).,I lve it!,r2 r1,rn r1,6,第一章 行列式和线性方程组的求解,1

3、.3 行列式的性质,注意已知条件: a1a2an 0, 否则不能 1/a1, , 1/an !,r2 r1,rn r1,7,三阶行列式,对角线法则,第一章 行列式和线性方程组的求解,1.3 行列式的性质及计算,= a11 a22 a33 + a12 a23 a31 + a13 a21 a32 a11 a23 a32 a12 a21 a33 a13 a22 a31 .,= a11(a22a33 a23a32) + a12(a23a31 a21a33) + a13(a21a32 a22 a31 ),问题：能否利用二阶行列式来计算三阶行列式？,1.3 行列式的性质及计算,3. 行列式按行(列)展开,

4、aij 的余子式 Mij ：,划去aij 所在的行列得到的n-1阶行列式,按第一行展开,第一章 行列式和线性方程组的求解,aij的代数余子式: Aij = (1)i+jMij .,A32 = (1)3+2M32 = M32.,a11的余子式,定理1.2.,|A| = ai1Ai1+ai2Ai2+ ainAin, i=1,2, , n.,1.3 行列式的性质及计算,证明：,(1),(2),(3),第一章 行列式和线性方程组的求解,= a11A11,= aijAij,= ai1Ai1+ai2Ai2+ ainAin .,证明：,(1),定理1.2.,1.3 行列式的性质及计算,第一章 行列式和线性方

5、程组的求解,M11 = A11,= a11M11,|A| = ai1Ai1+ai2Ai2+ ainAin, i=1,2, , n.,= a11A11,证明：,(2),1.3 行列式的性质及计算,第一章 行列式和线性方程组的求解,定理1.2.,|A| = ai1Ai1+ai2Ai2+ ainAin, i=1,2, , n.,= aij Mij,= aijAij,(1)i+j2,=(1)i+jaij Mij,Dij,|A| = ai1 Ai1 + ai2 Ai2 + + ain Ain, i=1, n.,证明：,(3),定理1.2.,1.3 行列式的性质及计算,第一章 行列式和线性方程组的求解,=

6、 ai1 Ai1 + ai2 Ai2 + + ain Ain.,同理,|A| = a1j A1j + a2j A2j + + anj Anj, j=1,2, ,n.,分阶段处理复杂问题的“水泵”思维化繁为简,定理1.2.,|A| = ai1Ai1+ai2Ai2+ ainAin, i=1,2, , n.,1.3 行列式的性质及计算,(1),(2),(3),第一章 行列式和线性方程组的求解,= a11A11,= aijAij,= ai1Ai1+ai2Ai2+ ainAin .,分阶段处理复杂问题的“水泵”思维化繁为简,二. 行列式的主要计算方法,1.3 行列式的性质及计算,1. 化为三角形行列式,

7、|AT| = |A|.,3. 行列式按行(列)展开,2. 箭形行列式的计算,4. 降阶递推法,5. 分解行列法,|A| = ai1 Ai1 + + ain Ain = a1j A1j + + anj Anj,1.3 行列式的性质及计算,例5.,1 2 4 2 2 1 3 4 2,= 14.,第一章 行列式和线性方程组的求解,r2 +2r1,r3 +3r1,r3 5/3r2,17,法2：按第二行展开,= 242810,= 14.,法3：先化简再按第一列展开,= 84+70,= 14.,3. 行列式按行(列)展开,注：对三阶四阶数字型行列式，先把行列式化简成某行(列)只有一个非零元素；再按此行(列

8、)展开计算.,1.3 行列式的性质及计算,= 6A31 + 3A32 + 5A33.,那么 4A31 + 3A32 + 6A33 =,4A31 + 3A32 + 6A33 =,4 3 6 3 1 4 4 3 6,= 0.,A31, A32, A33与a31, a32, a33的取值无关,0,?,第一章 行列式和线性方程组的求解,例9.,1.3 行列式的性质及计算,= a12A12 + a22A22 + a32A32.,下面来看a11A12 + a21A22 + a31A32 =,a11A12 + a21A22 + a31A32 =,a11 a13 a21 a23 a31 a33,= 0.,推广

9、到一般情形, 我们有如下结论:,推论1.3. ai1 Aj1 + ai2 Aj2 + + ain Ajn = 0 (i j) a1i A1j + a2i A2j + + ani Anj = 0 (i j).,A12, A22, A32与a12, a22, a32的取值无关,0,?,第一章 行列式和线性方程组的求解,a11 a21 a31,1.3 行列式的性质及计算,推论1.3. ai1 Aj1 + ai2 Aj2 + + ain Ajn = 0 (i j) a1i A1j + a2i A2j + + ani Anj = 0 (i j).,定理.,|B| = a1i A1j + a2i A2j

10、+ + ani Anj,= b1j A1j + b2j A2j + + bnj Anj,证明：,= 0,第一章 行列式和线性方程组的求解,例10.,2A21 + 4A22 8A23 =,2 4 8,= 0,M13 M23 3M33 =,A13 + A23 3A33,=,1 1 3,0 3 0,= 30,定理.,1.3 行列式的性质及计算,第一章 行列式和线性方程组的求解,例11. 证明n阶 (n2) 范德蒙Vandermonde 行列式,证明:当n =2时, D2 = (a2 a1). 现设等式对于(n1)阶成立.,1 1 1 1 0 a2a1 a3a1 an a1 0 a2(a2a1) a3

11、(a3a1) an (ana1) 0 a2n-2(a2a1) a3n-2(a3a1) ann-2(ana1),rn a1 rn-1,r3 a1 r2,r2 a1 r1,1.3 行列式的性质及计算,第一章 行列式和线性方程组的求解,= (a2a1)(a3a1)(ana1),1.3 行列式的性质及计算,第一章 行列式和线性方程组的求解,范德蒙德行列式的结果可以作为公式使用.,第一章 行列式和线性方程组的求解,1.3 行列式的性质,(未写出的元素都是0).,例12. 计算2n阶行列式,4. 降阶递推法,第一章 行列式和线性方程组的求解,1.3 行列式的性质,D2n=,= a,+(1)2n+1b,解:

12、,第一章 行列式和线性方程组的求解,1.3 行列式的性质,= (ad bc) D2(n1) = (ad bc)2D2(n2) = (ad bc)3D2(n3) = = (ad bc)n1 D2 = (ad bc)n.,D2n,D2n,= a (1)2(2n1) d,D2(n1), b,(1)(2n1)+1 c,D2(n1),Dn = ( a+ b) Dn1 ab Dn2,解：按第一行展开,Dn = (a +b),Dn-1,+ ab(1)1+2,Dn-2,= = bn2 (D2aD1),例13.,双轮形,DnaDn1 = b (Dn1aDn2),= = an2 (D2bD1),DnbDn1 =

13、a (Dn1bDn2),D1=a + b, D2 = a2 + b2 + ab,4. 降阶递推法,1.3 行列式的性质及计算,第一章 行列式和线性方程组的求解,DnaDn1 = bn2 (D2aD1) (1),DnbDn1 = an2 (D2bD1) (2),由 (1)b (2)a 可得，,D1=a + b, D2 = a2 + b2 + ab,= bn,= an,1.3 行列式的性质及计算,第一章 行列式和线性方程组的求解,5. 分解行列法,解：将第一列拆成两列的和,b,Dn-1,例13. 法2.,= an,Dn = b Dn-1 + an,= b (bDn-2+an-1 ) +an,1.3

14、 行列式的性质及计算,第一章 行列式和线性方程组的求解,= b2 Dn-2 +an-1b +an,=,二. 行列式的主要计算方法,1.3 行列式的性质及计算,1. 化为三角形行列式,3. 行列式按行(列)展开,2. 箭形行列式的计算,4. 降阶递推法,Ajk = (1)j+k Mjk,计算三四阶行列式,5. 分解行列法,|AT| = |A|.,Ex.,则当D = a11a22a12a21 0时,x1=,b1a22a12b2,a11a22a12a21,有唯一确定的解,x2=,a11a22a12a21,a11b2b1a21,推广到n元线性方程组Cramer法则,1.4 线性方程组的求解,第一章 行

15、列式和线性方程组的求解,线性方程组：,高斯消元法：,初等变换,列向量,矩阵,行向量,例1. 某厂家向三个代理商发送四种产品.,一. 矩阵与向量,1.4 线性方程组的求解,第一章 行列式和线性方程组的求解,例2. 四个城市间的单向航线如图所示. 若aij表示从 i 市 到 j 市航线的条数, 则右图可用矩阵表示为,1.4 线性方程组的求解,第一章 行列式和线性方程组的求解,用三维向量表示(8升,5升,3升)酒壶的酒量,则平分酒的问题化为在该图中求一条从起点到终点的最短路. 从图中易得到上下两条路：显然上面一条较短，路长为7;下面一条路长为8.,例3：某二人有一只8升的酒壶装满了酒,还有两只空壶,

16、分别为5升和3升.问如何尽快将酒平分?,一. 矩阵与向量,1. mn矩阵 (Matrix),元素: aij (i = 1, , m, j = 1, , n),注: 元素都是实(复)数的矩阵称为实(复)矩阵. 今后除非特别说明, 我们所考虑的矩阵都 是实矩阵(Rmn). 复矩阵(Cmn).,Amn=,= (aij)mn,n阶方阵: nn矩阵,2. 方阵,主对角线元素: aii (i = 1, , n),1.4 线性方程组的求解,第一章 行列式和线性方程组的求解,3. 向量 (Vector),n维行向量: 1n矩阵 ai = (ai1, ai2, , ain),n维列向量: n1矩阵 Aj =,常

17、用希腊字 母,表示.,5.同型矩阵 A = (aij)mn与B = (bij)mn,6.相等矩阵A = B,aij = bij , 1 i m, 1 j n,同型矩阵,4.11矩阵 (a11) = a11,7.零矩阵 Omn aij =0， 1 i m, 1 j n,1.4 线性方程组的求解,第一章 行列式和线性方程组的求解,1. 对角矩阵(diagonal), = diag(1, 2, , n) =,1 0 0 0 2 0 0 0 n,2. 数量矩阵,3. 单位矩阵,引入Kronecker记号,= (ij),= (ij),= (i ij),几种特殊方阵,1.4 线性方程组的求解,第一章 行列

18、式和线性方程组的求解,4. 三角矩阵,上三角矩阵：方阵的主对角线下的元素全为0,下三角矩阵：方阵的主对角线上的元素全为0,1.4 线性方程组的求解,第一章 行列式和线性方程组的求解,1.4 线性方程组的求解,二.克拉默法则(Cramer Rule),四. 矩阵的初等行变换,1.矩阵的初等行变换,2. 阶梯形矩阵与行简化阶梯阵,3. 阶梯阵的形状与线性方程组的解,五. 齐次线性方程组有非零解的充分条件,三. Gauss 消元法与方程组的初等变换,第一章 行列式和线性方程组的求解,一. 矩阵与向量,Ex.,1.4 线性方程组的求解,二. 克拉默法则(Cramer Rule 1750 瑞士),在D=

19、|A|0有唯一解,第一章 行列式和线性方程组的求解,|A|0,方程数与变量数不等时不能用,1.4 线性方程组的求解,一. 克拉默法则(Cramer Rule),在D=|A|0有唯一解,第一章 行列式和线性方程组的求解,按第一列展开,= a11A11,= b1A11,+ an1An1,+bnAn1, Dj = b1A1j +bnAnj , j = 1,2,n,1.4 线性方程组的求解,一. 克拉默法则(Cramer Rule),在D=|A|0有唯一解,第一章 行列式和线性方程组的求解, Dj = b1A1j +bnAnj , j = 1,2,n,(1) 先证是方程组的解.,1.4 线性方程组的求

20、解,一. 克拉默法则(Cramer Rule),在D=|A|0有唯一解,第一章 行列式和线性方程组的求解, Dj = b1A1j +bnAnj , j = 1,2,n,(2) 再证方程组解的唯一性.,A1j,+,A2j,+,+,Anj,= Dj,1.4 线性方程组的求解,一. 克拉默法则(Cramer Rule),在D=|A|0有唯一解,第一章 行列式和线性方程组的求解,齐次线性方程组,推论1.4,齐次线性方程组Ax = 0, 它必然有一组零解 x1 = x2 = = xn = 0, 若有一组不全为零的数构成Ax = 0的解, 则称之为Ax = 0的非零解.,推论1.4a. 设ARnn,若齐次线性方程组Ax = 0的 系数行列式 |A| 0, 则它只有零解.,推论1.4b. 设ARnn, 若Ax = 0有非零解，则|A|=0,1.4 线性方程组的求解,第一章 行列式和线性方程组的求解,齐次线性方程组的非零解,定理1.3 设ARnn, |A|0时Ax=b有唯一解 xj =Dj/|A|, j=1,n.,(A) 填空题选择题：作为课下练习,一. (A) 1(1-4), (B) 1,2,3,(B)