大学高等数学等价无穷小

1、这个问题很多人不能理解，很多自己认为理解的人也不负责任地说“可以相乘，不能减法”，包含很多高中人民教师。 其实这个讲解法错了！ 重要的不是记住结论，而是知道理由。 做乘除法的时候一定可以更换。 大家都知道这个。 如果是f(x)u(x )和g(x)v(x )，则f (x )=u (x ) (x )。 重要的是，记住理论f(x)(x)=f(x)(x) * u(x)(x) * v(x)(x )中的两个极限是1，所以用顺顺利利进行了替换。 2 .加减运算时也可以替换！ 不过，请注意留下侑项。 f(x)u(x )不能发出f(x)(x)u(x)(x )，这是许多人说不能交换的原因，但f(x)u(x )等同

2、于f ()。 问题是，由于u(x)(x )消失，有可能成为高次的无穷小，此时侑项o(f(x ) )成为主导，不能忽略。 当步骤u (x )到(x )不上升时，o(f(x ) )仍然可以忽略。 例如，对于你的示例，(1)是可交换的，并且(1)和(x )2x是等效的，因为(1)和(2) x是无穷小的。 但是，碰到(1)的话，(1)(x)(x )就此消失，侑项o(x )成为主导项。 此时此式也成立！ 把这个作为分子和分母使用的界限问题有可能成为不定形，只是不能直接求出。 并不是碰到这样的情况也不能置换，而是在(1)2/2(x2)中，(1)2/2(x2)与之前的(1)(x )不相容，但是是更有意义的结

3、果。 也就是说，作为(1)的等价无穷小，使用2/2得到了更好的结果。 从1/7以上的例子可以看出，侑项很重要，不能直接舍弃。 因为侑项含有一定的信息。 并且，只要留下佟项，做的不是近似而是恒等变换，这种方法永远是可能的，即使得到不定形也不能得出错误的结论。 在你学习了有侑项的公式之后，就会对那个有更好的认识。 高数教了有会儿，但等价无穷小置换法求极限为什么只能用乘除，由于对加减不能用的条件有疑问，所以找到了一些资料，详细研究整理了这个问题：等价无穷小的定义和常用的等价无穷小是指在某些变化过程中极限为0的变量。 等价无穷小是指在某个变化过程中比的极限为1的2个无穷小。 常用的等效无穷小，对于求极

4、限问题来说，(1)x(x0)xxxx(1)x(x0)1x22、1n1(x0)1xx22、11(x0)等效无穷小是非常重要的。 恰当使用等效无限少量置换往往大大简化极限问题。 然而，可能不能使用等效无穷小替换。 等价无穷小置换原理定理1:1，1，1，1，1是一个变化过程中的无穷小，并且是1，1，1，1，如果存在则是1111。 例1 1: 0(1 3x)20 (1 3x) 2x. 2/7解：解：0(1 3x)203x2320 (1 3x) 203x232 .例2: x 3012012120 x 30 x (1x ) x3012012 12 .由上述解法可知，此问题分子直接等效于以下我们分析错误的原

5、因：等价无穷小之间一般不相等，它们之间一般有比它们更高次的无穷小，从函数f(x )即麦克劳林的公式： f (x ) (0) (0) (0) (22 (n ) (0) (x ) (0) (0) (0) (0) (22 ) 这是因为如果将上述结论代入原来的式子则得到3/7030x3333 (。给出并证明加减运算中使用等价无穷小定理。 这里只讨论减法的情况。 因为加上一个数，就可以看作是减去了那个数的负数。 为方便起见，首先，下列定理和推论中的无穷小参数说明它们的接近过程都相同： x0 x0在相关极限中省略了极限的接近过程。 定理2 :1，1，1，1，1是某个变化过程中的无穷小，并且如果是1，1，1

6、，则11 11的一盏茶要求是11。 证明： 11充分性： 1，111=1，111=1和11111111是1111111 k1=1111111 k1=1即11. 11. 22的必要性：111=。 因为1 111=1 4/7即(111)=0(111)=0通分111111=0111111=0，所以1111111=01111111=0或者1=11=11证据完成。 由此，得到了差形式无限少量等价置换的充分条件。 示例3:0122x012x.5/7解释：解释：1x22、22x、2x(x0)1xx22、2x2x、2 x 2 x x(x 0) 所以01201022101 x2 0102 21从定理2得到了0122xx22 2201 2 2x x22 22。 另外，在总结了2x5251 2x 5251从定理2到025325x3730 2 5 325x