天津市天津一中高三上学期一月考理科数学试题

1、天津一中天津一中 2012201220132013 学年高三学年高三 数学一月考试卷数学一月考试卷( (理科理科) ) 一、选择题一、选择题: :(共 40 分,每小题 5 分,每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求） 1.有关下列命题的说法正确的是 22 A.命题“若 x =1,则 x=1”的否命题为:若“x =1 则 x1” B.“x=-1”是“x -5x-6=0”的必要不充分条件 22 2 C.命题“xR,使得 x +x+10”的否定是:“xR,均有 x +x+1f(-3)f(-2)B.f()f(-2)f(-3)C.f()f(-3)f(-2) D.f()f(-2)f(-3) 3 3

2、.函数 f(x)=sin2x-4sin xcosx(xR)的最小正周期为 A./8B./4C./2D. 4.设函数 f(x)=|sin(x+/3)|(xR),则 f(x) A.在区间-,-/2上是减函数 B.在区间2/3,7/6上是增函数 C.在区间/8,/4上是增函数 D.在区间/3,5/6上是减函数 5.在ABC 中,A,B,C 为内角,且 sinAcosA=sinBcosB,则ABC 是 A.等腰三角形B.直角三角形 C.等腰直角三角形D.等腰或直角三角形 x-y-z 6.x,y,z 均为正实数,且 2 =-log2x,2 =-log2y,2 =log2z,则 A.xyzB.zxy C.

3、zyxD.yx0,则函数 /-1 g(x)=f(x)+x 的零点的个数为 A.1B.2 二、填空题二、填空题: :(共 30 分,每小题 5 分) x 9.函数 f(x)=a + ax2的值域为_. -1 C.0D.0 或 2 10.已知 sinxcosx=3/8,且 x(/4,/2),则 cocx-sinx=_. 11.曲线 xy=1 与直线 y=x 和 y=3 所围成的平面图形的面积为_. 12.函数 f(x)=sin(2x-/3)(xR)的图象为 C,以下结论中: 图象 C 关于直线 x=11/12 对称; 图象 C 关于点(2/3,0)对称; 函数 f(x)在区间(-/12,5/12)

4、内是增函数; 由 y=3sin2x 的图象向右平移 /3 个单位长度可以得到图象C. 则正确的是 .(写出所有正确结论的编号) 13.点 P(x,y)在曲线 x 2cos (为参数,R)上,则 y/x 的取值范围是 . y sin 14.如图过0外一点P分别作圆的切线和割线交圆于A,B,且PB=7,C是圆上一点使得BC=5,BAC= APB,则 AB= . 三三. .解答题解答题: : 15.甲,乙二人进行一次围棋比赛,约定先胜 3 局者获得这次比赛的胜利,假设在一局中,甲获胜的 概率为 0.6,乙获胜的概率为 0.4,各局比赛结果相互独立,已知前 2 局中,甲,乙各胜 1 局. (1)求甲获

5、得这次比赛胜利的概率; (2)设 表示从第 3 局开始到比赛结束所进行的局数,求 的分布列及数学期望. 22 16.设命题 p:函数 f(x)=lg(ax -4x+a)的定义域为 R;命题 q:不等式 2x +x2+ax,对x(-,-1) 上恒成立,如果命题“pq”为真命题,命题“pq”为假命题,求实数 a 的取值范围. 17.已知 A(cos,sin),B(cos,sin),且 5 |AB|=2, (1)求 cos(-)的值; (2)设 (0,/2),(-/2,0),且 cos(5/2-)=-5/13,求 sin 的值. 2 18.已知函数 f(x)=2cosxsin(x+/3)- 3sin

6、 x+snxcosx (1)求函数 f(x)的单调递减区间; (2)将函数 f(x)的图象沿水平方向平移 m 个单位后的图象关于直线x=/2 对称,求 m 的最小正值. 22x 19.已知函数 f(x)=(x +ax-2a +3a)e (xR),其中 AR. (1)当 a=0 时,求曲线 y=f(x)在点(1,f(1)处的切线的斜率; (2)当 a2/3 时,求函数 f(x)的单调区间与极值. x2 20.已知函数 f(x)=aln(e +1)-(a+1)x,g(x)=x -(a-1)x-f(lnx), aR,且 g(x)在 x=1 处取得极值. (1)求 a 的值; (2)若对 0 x3,

7、不等式 g(x)|m-1|成立,求 m 的取值范围; (3)已知ABC 的三个顶点 A,B,C 都在函数 f(x)的图像上,且横坐标依次成等差数列,讨 论ABC 是否为钝角三角形,是否为等腰三角形.并证明你的结论. 天津一中天津一中 2012201220132013 学年高三数学一月考试卷学年高三数学一月考试卷( (理科答案理科答案) ) 一、选择题 1-4 DACB5-8 DADC 二、填空题 9. ( 2,+) 10. -0.5 11. 4-ln3 12. 13.- 33 , 33 14. 35 三、解答题 15. 解:(1)若甲胜,那么以后的情况有两种.一是后两局甲全胜,一是后三局甲胜两

8、局.甲全胜的概率是 0.6*0.6=0.36.后三局甲胜两局有二种情况,则概率是 2*0.6*0.6*0.4=0.288. 所以甲获胜的概率是 0.36+0.288=0.648. (2)设进行的局数为,则的可取值为 2,3, p(= 2)= 0.6*0.6+0.4*0.4=0.52, p(= 3)= 2*0.6*0.6*0.4+2*0.4*0.4*0.6=0.48. E=2*0.52+3*0.48=2.48 16. 解:p: 0,故 a2; q:a2x-2/x+1,对x(-,-1),上恒成立,增函数(2x-2/x+1)1 此时 x=-1,故 a1 “pq”为真命题,命题“pq”为假命题,等价于

9、 p,q 一真一假.故 1a2 17. 解:(1)由题知 (cos cos)2(sin sin)2 2 5 2 2cos( ) 4 ,所以cos( ) 3 555 (2) 0 , 0 0 ，又cos() 3 sin( ) 4. 2255 而cos(5 ) 5 则sin 5 cos 12 sin sin() 33 132136513 18.解 （1） 13 f (x) 2cos x(sin x cosc) 3sin2x sin xcos x 22 sin xcos x 3cos2x 3sin2x sincos x sin 2x 3cos2x 2sin(2x 3 ) 3 由 2k 2x 2k,k

10、Z 232 7 得k x k,k Z 1212 故函数f (x)的单调递减区间为k 7 ,k Z. 12 12 ,k y 2sin(2x （2） 3 (m,0)a y 2sin(2x 3 2m) y 2sin(2x 3 2m)的图象关于直线x 2 对称. 2(k Z) 32 1 m (k 1)(k Z) 212 5 当k 0时,m的最小正值为. 12 2 2m k 19. （1）解:当a 0时，f (x) x e ，f (x) (x 2x)e ，故f (1) 3e. 2x2x 所以曲线y f (x)在点(1, f (1)处的切线的斜率为3e. （2）解：f (x) x (a 2)x 2a 4a

11、 e . 22 x 令f (x) 0，解得x 2a，或x a 2.由a 以下分两种情况讨论。 （1）若a 2 知， 2a a 2. 3 2 ，则2aa2.当x变化时，f (x)，f (x)的变化情况如下表： 3 2ax ， + 2a 0 极大值 2a，a 2 a2 0 极小值 a 2， + 所以f (x)在(， 2a)， (a 2， )内是增函数，在(2a，a 2)内是减函数. 函数f (x)在x 2a处取得极大值f (2a)，且f (2a) 3ae2a. 函数f (x)在x a 2处取得极小值f (a 2)，且f (a 2) (43a)ea2. （2）若a 2 ，则2aa2，当x变化时，f

12、(x)，f (x)的变化情况如下表： 3 x ，a 2 a2 + 0 极大值 a 2， 2a 2a 0 极小值 2a， + 所以f (x)在(，a 2)， (2a， )内是增函数，在(a 2， 2a)内是减函数。 函数f (x)在x a 2处取得极大值f (a 2)，且f (a 2) (43a)ea2. 函数f (x)在x 2a处取得极小值f (2a)，且f (2a) 3ae2a. 20. 解:(1)g(x) x2(a 1)xaln(1 x)(a 1)lnx(x 0), g(x) 2x(a1) a a1(x 0), 1 xx 依题设,有g(1) 0,所以 a=8. (2)g(x) x2 7x

13、8ln(1 x) 9ln x(x 0) g(x) 2x 7 89(x 1)(x 3)(2x 3) (x 0) ,由g (x) 0,得x 1或x 3 1 xxx(x 1) 函数g(x)增区间(0,1),减区间(1,3) 函数g(x)在 x=3 处取得极小值,g(x)min=g(3);函数 g(x)在 x=1 处取得极大值 g(x)max=g(1), 不等式|m-1|g(x),对 0 x3 成立,等价于|m-1|g(x)max成立 即 m-1g(x)max=g(1)orm-1-g(x)max=-g(1), m1-g(1) or m1+g(1) (3)设A(x1, f (x1),B(x2, f (x

14、2).C(x 3 , f (x 3 ),且x1 x2 x3,x 2 x 1 x 3, 2 则f (x 1 ) f (x 2 ) f (x 3 ), BA(x 1 x 2 , f(x 1) f(x2 ),BC (x 3 x 2 , f (x 3 ) f (x 2 ), BABC (x 3 x 2 )(x 1 x 2 ) f (x 1 ) f (x 2 ) f (x 3 ) f (x 2 ) 0. 所以 B 为钝角,ABC 是钝角三角形. f (x) 8ln(1 ex) 9x, f (x 1 ) f (x 2 ) 2 f ( x 1 x 2) 2 =8ln(1 e )(1 e ) ln(1 e =

15、8ln(1 e e x1 x1x2 x1x1 x1x2 2)2 x1x2 2 e x2 x1x2) ln(1 2e x1x2 ex1x2) x 1 x 2 ee 1 ex1 2 e e 2e x1x2 2 x1x2 2 ex2 ex1x21 2e ex1x2 f (x 1 ) f (x 2 )2f ( x 1 x 2) 0 2 f ( x 1 x 2) f (x 1 ) f (x 2 ) ,故 f(x)是 R 上的凹函数. 22 8ex9ex f (x) 9 0恒成立f (x)在( , )上单调递减 xx1 e1 e 若ABC 是等腰三角形,则只能是 BA BC . 即(x 1 x 2 )2 f (x 1 ) f (x 2