2018届高考数学一轮复习第六章不等式推理与证明第六节直接证明与间接证明学案文

1、 1.了解直接证明的两种基本方法分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程、特点2了解间接证明的一种基本方法反证法，了解反证法的思考过程、特点知识点一直接证明 1综合法(1)定义：利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的_，最后推导出所要证明的结论_，这种证明方法叫做综合法(2)框图表示：(其中P表示已知条件、已有的定义、公理、定理等，Q表示要证的结论)2分析法(1)定义：从_出发，逐步寻求使它成立的_，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)为止这种证明方法叫做分析法(2)框图表示：.答案1(1)推理论证成立2.(1)要证明的结论充

2、分条件1判断正误(1)综合法是直接证明，分析法是间接证明()(2)分析法是从要证明的结论出发，逐步寻找使结论成立的充要条件()(3)在解决问题时，常常用分析法寻找解题的思路与方法，再用综合法展现解决问题的过程()(4)证明不等式最合适的方法是分析法()答案：(1)(2)(3)(4)2要证明cn1.答案：cncn1知识点二间接证明 反证法：假设原命题_，经过正确的推理，最后得出_，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫做反证法答案不成立矛盾4用反证法证明命题：“已知a，bN，若ab可被5整除，则a，b中至少有一个能被5整除”时，反设正确的是()Aa，b都不能被5整除Ba，b都能

3、被5整除Ca，b中有一个不能被5整除Da，b中有一个能被5整除解析：对原命题的结论的否定叙述是：a，b都不能被5整除答案：A热点一分析法的应用 【例1】已知a0，证明 a2.【证明】要证 a2.只需证 (2)因为a0，所以(2)0，所以只需证22，即2(2)84，只需证a2.因为a0，a2显然成立(当且仅当a1时等号成立)，所以要证的不等式成立.【总结反思】(1)逆向思考是用分析法证题的主要思想，通过反推，逐步寻找使结论成立的充分条件，正确把握转化方向是使问题顺利获解的关键(2)证明较复杂的问题时，可以采用两头凑的办法，即通过分析法找出某个与结论等价(或充分)的中间结论，然后通过综合法证明这个

4、中间结论，从而使原命题得证.已知m0，a，bR，求证：2.证明：m0，1m0.所以要证原不等式成立，只需证(amb)2(1m)(a2mb2)，即证m(a22abb2)0，即证(ab)20，而(ab)20显然成立，故原不等式得证热点二 综合法的应用 【例2】已知函数f(x)ln(1x)，g(x)abxx2x3，函数yf(x)与函数yg(x)的图象在交点(0,0)处有公共切线(1)求a，b；(2)证明：f(x)g(x)【解】(1)f(x)，g(x)bxx2，由题意得解得a0，b1.(2)证明：令h(x)f(x)g(x)ln(x1)x3x2x(x1)h(x)x2x1.h(x)在(1,0)上为增函数，

5、在(0，)上为减函数h(x)maxh(0)0，h(x)h(0)0，即f(x)g(x).【总结反思】综合法是一种由因导果的证明方法，即由已知条件出发，推导出所要证明的等式或不等式成立因此，综合法又叫做顺推证法或由因导果法其逻辑依据是三段论式的演绎推理方法，这就要保证前提正确，推理合乎规律，才能保证结论的正确性.设an是首项为a，公差为d的等差数列(d0)，Sn是其前n项的和记bn，nN*，其中c为实数若c0，且b1，b2，b4成等比数列，证明：Snkn2Sk(k，nN*)证明：由题意得，Snnad.由c0，得bnad.又因为b1，b2，b4成等比数列，所以bb1b4，即2a，化简得d22ad0.

6、因为d0，所以d2a.因此，对于所有的mN*，有Smm2a.从而对于所有的k，nN*，有Snk(nk)2an2k2an2Sk.热点三 反证法的应用 考向1证明否定性命题【例3】设an是公比为q的等比数列，Sn是它的前n项和(1)求证：数列Sn不是等比数列；(2)数列Sn是等差数列吗？为什么？【解】(1)证明：若Sn是等比数列，则SS1S3，即a(1q)2a1a1(1qq2)，a10，(1q)21qq2，解得q0，这与q0相矛盾，故数列Sn不是等比数列(2)当q1时，Sn是等差数列当q1时，Sn不是等差数列假设q1时，S1，S2，S3成等差数列，即2S2S1S3,2a1(1q)a1a1(1qq2

7、)由于a10，2(1q)2qq2，即qq2，q1，q0，这与q0相矛盾综上可知，当q1时，Sn是等差数列；当q1时，Sn不是等差数列.【总结反思】反证法的原理是“正难则反”，即如果正面证明有困难时，或者直接证明需要分多种情况而反面只有一种情况时，可以考虑用反证法.已知数列an的前n项和为Sn，且满足anSn2.(1)求数列an的通项公式；(2)求证：数列an中不存在三项按原来顺序成等差数列解：(1)当n1时，a1S12a12，则a11.又anSn2，所以an1Sn12，两式相减得an1an，所以an是首项为1，公比为的等比数列，所以an.(2)证明：假设存在三项按原来顺序成等差数列，记为ap1

8、，aq1，ar1(pqr，且p，q，rN*)则2.所以22rq2rp1.又因为pqr，所以rq，rpN*.所以式左边是偶数，右边是奇数，等式不成立所以假设不成立，原命题得证考向2证明“至多”，“至少”，“唯一”性命题【例4】已知M是由满足下述条件的函数构成的集合：对任意f(x)M，()方程f(x)x0有实数根；()函数f(x)的导数f(x)满足0f(x)1.(1)判断函数f(x)是不是集合M中的元素，并说明理由；(2)集合M中的元素f(x)具有下面的性质：若f(x)的定义域为D，则对于任意m，nD，都存在x0(m，n)，使得等式f(n)f(m)(nm)f(x0)成立试用这一性质证明：方程f(x

9、)x0有且只有一个实数根【解】(1)当x0时，f(0)0，所以方程f(x)x0有实数根为0；f(x)cosx，所以f(x)，满足条件0f(x)1.由可得，函数f(x)是集合M中的元素(2)证明：假设方程f(x)x0存在两个实数根，()，则f()0，f()0.不妨设，根据题意存在c(，)满足f()f()()f(c)因为f()，f()，且，所以f(c)1.与已知0f(x)1矛盾又f(x)x0有实数根，所以方程f(x)x0有且只有一个实数根.【总结反思】当一个命题的结论是以“至多”、“至少”、“唯一”或以否定形式出现时，可用反证法来证，反证法关键是在正确的推理下得出矛盾，矛盾可以是与已知条件矛盾，与

10、假设矛盾，与定义、公理、定理矛盾，与事实矛盾等.已知f(x)x2axb.(1)求f(1)f(3)2f(2)(2)求证：|f(1)|，|f(2)|，|f(3)|中至少有一个不小于.解：(1)因为f(1)ab1，f(2)2ab4，f(3)3ab9，所以f(1)f(3)2f(2)2.(2)证明：假设|f(1)|，|f(2)|，|f(3)|都小于，则f(1)，f(2)，f(3).所以12f(2)1，1f(1)f(3)1，所以2f(1)f(3)2f(2)2，这与f(1)f(3)2f(2)2矛盾，所以假设错误，即所证结论成立1分析法和综合法各有优缺点分析法思考起来比较自然，容易寻找到解题的思路和方法，缺点是思路逆行，叙述较繁；综合法从条件推出结论，较简捷地解决问题，