信号系统_4-2.ppt

1、17-1,1.线性性质,4.2 单边拉氏变换的性质与应用,例：,则,17-2,2.延时特性,表明：信号延时t0出现时，其拉氏变换是原象函数乘以与t0有关的指数因子。,证明：,令,上式改写为,得证,17-3,因,故,观察下图例子：,例:,1,2,3,4,例： 求如图所示的半波整流信号的拉氏变换,解：先求第一周期波形 的拉氏变换， 可以看作 与 之和：,其中,，上式的拉氏变换,从而,3.复频移特性,证明：,例：,则,4. 时域微分,式中，f(1)(t)、f(2)(t)、f(n)(t)分别表示f(t)的一次、二次、n次导数， f(0-)、f(1)(0-)、f(i)(0-)分别表示f(t)、f(1)(

2、t)、f(i)(t)在t=0-时的值。,证 根据单边拉普拉斯变换的定义， 则有,反复应用式(4.2 - 9)，就可得到f(n)(t)的单边拉普拉斯变换如式(4.2 - 11)所示。f(1)(t)的单边拉普拉斯变换的收敛域至少是Res0。若F(s)在s=0处有一阶极点，则sF(s)中的这种极点被消去，f(1)(t)的单边拉普拉斯变换的收敛域可能扩大。f(n)(t)的单边拉普拉斯变换的收敛域也有类似情况。 若f(t)为因果信号，则f(n)(0-)=0 (n=1, 2, ), 此时，时域微分性质表示为,n=1, 2, ；Res0,例 4.2-7 求f1(t)和f2(t)的单边拉氏变换。,解,(1)

3、求f1(t)的单边拉氏变换。由于,故根据线性得,若应用时域微分性质求解，则有,(2) 求f2(t)的单边拉氏变换。由于,因此得,例,已知：,求：,解：电路的微分方程：,两边取拉氏变换：,5.卷积定理,表明：两信号卷积的象函数等于相应两个象函数的乘积。,应用于系统分析：,（S域系统函数）,例,已知,试利用卷积定理求原函数,解：,令,则原函数：,因此,6. 时域积分,若f(t) F(s)，Res0, 则有：,若f(-n)(t)表示从-到t对f(t)的n重积分，则有,(4.2-12),(4.2-13),证明式(4.2-12)： 因为,根据时域卷积性质，则,因为,证明式(4.2-13): 因为,单边拉

4、普拉斯变换为,根据线性得,若f(t)是因果信号，f(n)(t)是f(t)的n次导数，则f(t)等于f(n)(t)从0-到t的n重积分。若f(n)(t)的单边拉普拉斯变换用Fn(s)表示，根据时域积分性质式(4.2 - 12)，则f(t)的单边拉氏变换为,若f(t)为非因果信号，则Lf(t)=Lf(t)(t)。因此，若f(t)(t)的n次导数 的单边拉普拉斯变换用Fn(s)表示，则f(t)的单边拉普拉斯变换F(s)也可由式(4.2 - 17)得到。,非因果信号f(t)的单边拉普拉斯变换也可根据式(4.2-13)求解。 若f(t)在t=-的值f(-)=0，f (1)(t)是f(t)的一阶导数，则,

5、t-,若f(1)(t)的单边拉普拉斯变换用F1(s)表示，则f(t)的单边拉普拉斯变换为,若f(-)0，则,t-,对于t0-，有,则f(t)的单边拉普拉斯变换为,例 4.2-8 求图 4.2-2(a)所示因果信号f(t)的单边拉氏变换。,解 f(t)的二阶导数为,由于(t) 1, 由时移和线性性质得,由时域积分性质,图 4.2-2 例 4.2-8 图 (a) f(t)的波形； (b) f(t)的波形； (c) f(t)的波形,例 4.2-9 求图 4.2-3(a)所示信号f(t)的单边拉普拉斯变换。,解 方法一 由于,根据单边拉氏变换的定义， 得,图 4.2-3 例 4.2-9 图,方法二 f

6、(0-)=-1，f(t)的一阶导数为,f(1)(t)的单边拉氏变换为,Res-,Res0,7. 尺度变换,若,则,式中， 为常数，,证,例 4.2-5 已知,求f1(t)的象函数。,解 因为,8. 复频域微分,若f(t) F(s), Res0， 则有,Res0,n=1, 2, ; Res0,例 4.2-10 求f(t)=tn(t)的单边拉氏变换。,解 由于,Res0，得,Res0,9. 复频域积分,若f(t) F(s)，Res0，则有,式中， 存在， 的单边拉普拉斯变换的收敛域为Res0和Res0的公共部分。,证 根据单边拉普拉斯变换的定义,Res0,对上式两边从s到积分，并交换积分次序得,因为t0, 所以上式方括号中的积分 在Res0时收敛。因此得,例,求f(t)的单边拉氏变换。,解 由于,根据复频域积分性质，得,10. 初值和终值定理,(1) 初值定理 若信号f(t)不包含冲激函数(t)及其各阶导数， 并且,Res0,则信号f(t)的初值为,(2) 终值定理 若f(t)在t时极限f()存在，并且 f(t) F(s) Res0