2018年高考数学一轮复习 第四章 三角函数与解三角形 4.4 简单的三角恒等变换学案 理

1、4.4简单的三角恒等变换考纲展示能运用两角和与差的正弦、余弦、正切公式以及二倍角的正弦、余弦和正切公式进行简单的恒等变换(包括导出积化和差、和差化积、半角公式，但对这三组公式不要求记忆考点1三角函数式的化简与证明倍角公式与半角公式变形(1)答案：2sin22cos212sin 22cos21(2)1sin 2；1cos 2cos2；1cos 2sin2；tan .(3)辅助角公式asin xbcos xsin(x)，其中sin _，cos _ .答案：倍角公式中的特殊情形判断正误：(1)存在实数，使cos 22cos .()(2)存在实数，使sin 22sin .()(3)存在实数，使tan

2、22tan .()答案：(1)(2)(3)典题1(1)2017湖北随州模拟已知，且2sin2sin cos 3cos20，则_.答案解析由2sin2sin cos 3cos20，得(2sin 3cos )(sin cos )0，sin cos 0，2sin 3cos ，又sin 2cos21，cos ，sin ，.(2)化简：sin2sin2cos2cos2cos 2cos 2_.答案解析解法一：原式cos 2cos 2(1cos 2cos 2cos 2cos 2)(1cos 2cos 2cos 2cos 2)cos 2cos 2.解法二：原式(sin sin cos cos )22sin s

3、in cos cos cos 2cos 2cos2()sin 2sin 2cos 2cos 2cos2()cos (22)cos2()2cos2()1.点石成金三角函数式化简的原则与方法(1)三角函数式的化简遵循的三个原则一看“角”，这是最重要的一环，通过看角之间的差别与联系，把角进行合理的拆分，从而正确使用公式二看“函数名称”，看函数名称之间的差异，从而确定使用的公式，常见的有“切化弦”三看“结构特征”，分析结构特征，可以帮助我们找到变形的方向，常见的有“遇到分式要通分”“整式因式分解”“二次式配方”等(2)三角函数式化简的方法弦切互化，异名化同名，异角化同角，降幂或升幂在三角函数式的化简中

4、“次降角升”和“次升角降”是基本的规律，根号中含有三角函数式时，一般需要升次(3)化简三角函数式的常用技巧注意特殊角的三角函数与特殊值的互化；对于分式形式，应分别对分子、分母进行变形处理，有公因式的提取公因式后进行约分；对于二次根式，注意倍角公式的逆用；注意利用角与角之间的隐含关系；注意利用“1”的恒等变形.证明下列各式：(1)已知：2sin sin cos ，sin22sin cos ，求证：2cos 2cos2；(2)已知：5sin 3sin(2)，求证：tan()4tan 0.证明：(1)由已知可得4sin212sin cos 1sin2，1sin224sin22(12sin2)由此得c

5、os22cos 2，故要证的等式成立(2)把5sin 3sin(2)化成5sin ()3sin ()，得5sin()cos 5cos ()sin 3sin()cos 3cos ()sin .移项合并得2sin()cos 8cos ()sin 0.依题意k且k，kZ，则cos ()cos 0.上式两边都除以2cos cos ()，即得tan ()4tan 0.考点2三角函数式的求值考情聚焦研究三角函数式的求值，解题的关键是找出条件中的角与结论中的角的联系，依据函数名称的特点，选择适当的公式进行求解，在高考中是一个热点考查方向主要有以下几个命题角度：角度一给值求值典题2设为第二象限角，若tan，则

6、sin cos _.答案解析tan tan ，sin cos ，将其代入sin2cos21，得cos21，cos2，又易知cos 0，cos ，sin ，故sin cos .角度二给角求值典题34cos 50tan 40()A. B. C. D21答案C解析4cos 50tan 404cos 50.角度三给值求角典题42017山东济南模拟已知0，tan ，cos().(1)求sin 的值；(2)求的值解(1)因为tan ，所以sin sin 2sin cos .(2)因为0，sin ，所以cos .又0，所以0.由cos ()，得0.所以sin()，所以sin sin ()sin()cos c

7、os ()sin .由0)，则A_，b_.答案：1解析：由于2cos2xsin 2x1cos 2xsin 2x sin1，所以A，b1.42014重庆卷已知函数f(x)sin(x)的图象关于直线x对称，且图象上相邻两个最高点的距离为.(1)求和的值；(2)若f，求cos的值解：(1)因为f(x)的图象上相邻两个最高点的距离为，所以f(x)的最小正周期T，从而2.又因为f(x)的图象关于直线x对称，所以2k，k0，1，2，.因为得k0，所以.(2)由(1)得fsin，所以sin.由得0，所以cos.因此cossin sinsincos cossin . 课外拓展阅读 给值求角忽视角的范围致误典例2017江苏模拟已知，为三角形的两个内角，cos ，sin()，则_.错解0，cos ，sin .又sin()，cos().sin sin()sin()cos cos()sin .又0，或.错因分析(1)不能根据题设条件缩小，及的取值范围，在由同角基本关系式求sin()时不能正确判断符号，产生两角解(2)结论处应由cos 的值确定的取值，由sin 确定结论时易出现两解而造成失误解析因为0，cos ，所以sin ，故.又因