2018年高考数学二轮复习 专题09 等差数列、等比数列讲学案 理

1、专题09 等差数列、等比数列高考侧重于考查等差、等比数列的通项an，前n项和Sn的基本运算，另外等差、等比数列的性质也是高考的热点备考时应切实文解等差、等比数列的概念，加强五个量的基本运算，强化性质的应用意识1等差数列(1)定义式：an1and (nN*，d为常数)；(2)通项公式：ana1(n1)d；(3)前n项和公式：Snna1；(4)性质：anam(nm)d(n、mN*)；若mnpq(m、n、p、qN*)，则amanapaq.2等比数列(1)定义式：q(nN*，q为非零常数)；(2)通项公式：ana1qn1；(3)前n项和公式：Sn(4)性质：anamqnm(n，mN*)；若mnpq，则

2、amanapaq(p、q、m、nN*)3复习数列专题要把握等差、等比数列两个定义，牢记通项、前n项和四组公式，活用等差、等比数列的性质，明确数列与函数的关系，巧妙利用an与Sn的关系进行转化，细辨应用问题中的条件与结论是通项还是前n项和，集中突破数列求和的五种方法(公式法、倒序相加法、错位相减法、分组求和法、裂项相消法).【误区警示】1应用an与Sn的关系，等比数列前n项和公式时，注意分类讨论2等差、等比数列的性质可类比掌握注意不要用混3讨论等差数列前n项和的最值时，不要忽视n为整数的条件和an0的情形4等比数列an中，公比q0，an0.考点一等差数列的运算例、(2017高考全国卷)记Sn为等

3、差数列an的前n项和若a4a524，S648，则an的公差为()A1B2C4 D8【变式探究】(1)(2016高考全国卷)已知等差数列an前9项的和为27，a108，则a100()A100B99C98 D97【答案】C【解析】通解：an是等差数列，设其公差为d，由题意得，a100a199d199198，选C.优解：设等差数列an的公差为d，因为an为等差数列，且S99a527，所以a53.又a108，解得5da10a55，所以d1，所以a100a595d98，选C. (2)设Sn是等差数列an的前n项和，若a1a3a53，则S5()A5 B7C9 D11【答案】A【解析】通解：a1a3a5a1

4、(a12d)(a14d)3a16d3，a12d1，S55a1d5(a12d)5，故选A.优解：a1a52a3，a1a3a53a33，a31，S55a35，故选A.【方法规律】1通解是寻求a1与d的关系，然后用公式求和优解法是利用等差中项性质转化求和公式2在等差数列中，当已知a1和d时，用Snna1d求和当已知a1和an或者a1ana2an1形式时，常用Sn求解【变式探究】若数列an满足d(nN*，d为常数)，则称数列an为调和数列，已知数列为调和数列，且x1x2x20200，则x5x16()A10 B20C30 D40考点二等比数列的运算例2、【2017江苏，9】等比数列的各项均为实数,其前项

5、的和为,已知,则= .【答案】32【解析】当时，显然不符合题意；当时，解得，则. 【变式探究】(1)(2016高考全国卷)设等比数列an满足a1a310，a2a45，则a1a2an的最大值为_【答案】64【解析】通解：求a1a2an关于n的表达式，qa1a1210，a18a1a2a3anaq8n2当n3或n4时，最大为6.a1a2an的最大值为2664优解：利用数列的单调变化设an的公比为q，由a1a310，a2a45得a18，q，则a24，a32，a41，a5，所以a1a2ana1a2a3a464. (2)已知等比数列an满足a1，a3a54(a41)，则a2()A2 B1C. D.【答案】

6、C【方法规律】1解题关键：抓住项与项之间的关系及项的序号之间的关系，从这些特点入手选择恰当的性质进行求解2运用函数性质：数列是一种特殊的函数，具有函数的一些性质，如单调性、周期性等，可利用函数的性质解题【变式探究】等比数列an中，a42，a55，则数列lg an的前8项和等于()A6 B5C4 D3【解析】选C.由题意知a1a8a2a7a3a6a4a510，数列lg an的前8项和等于lg a1lg a2lg a8lg(a1a2a8)lg(a4a5)44lg(a4a5)4lg 104.故选C.考点三数列递推关系的应用例3、(2016高考全国卷)(本小题满分12分)已知an是公差为3的等差数列，

7、数列bn满足b11，b2，anbn1bn1nbn.(1)求an的通项公式(2)求bn的前n项和【方法规律】判断和证明数列是等差(比)数列的方法1定义法：对于n1的任意自然数，验证an1an为与正整数n无关的一常数2中项公式法：(1)若2anan1an1(nN*，n2)，则an为等差数列；(2)若aan1an1(nN*，n2)，则an为等比数列【变式探究】已知等差数列an的公差d0，an的部分项ak1，ak2，akn构成等比数列，若k11，k25，k317，求kn.解：设等比数列ak1，ak2，akn的公比为q，因为k11，k25，k317，所以a1a17a，即a1(a116d)(a14d)2，

8、化简得a1d2d2.又d0，得a12d，所以q3.一方面，akn作为等差数列an的第kn项，有akna1(kn1)d2d(kn1)d(kn1)d，另一方面，akn作为等比数列的第n项，有aknak1qn1a13n12d3n1，所以(kn1)d2d3n1.又d0，所以kn23n11.1(2017高考全国卷)记Sn为等差数列an的前n项和若a4a524，S648，则an的公差为()A1B2C4 D8【解析】通解：选C.设an的公差为d，则由得解得d4.故选C.优解：由S648得a4a316，(a4a5)(a4a3)8，d4，故选C.2(2017高考全国卷)等差数列an的首项为1，公差不为0.若a2

9、，a3，a6成等比数列，则an前6项的和为()A24 B3C3 D8【解析】选A.由已知条件可得a11，d0，由aa2a6可得(12d)2(1d)(15d)，解得d2.所以S66124.故选A. 3(2017高考全国卷)设等比数列an满足a1a21，a1a33，则a4_.【答案】84(2017高考全国卷)记Sn为等比数列an的前n项和已知S22，S36.(1)求an的通项公式；(2)求Sn，并判断Sn1，Sn，Sn2是否成等差数列1. 【2016高考新课标1卷】已知等差数列前9项的和为27,则 （ ）（A）100 （B）99 （C）98 （D）97【答案】C【解析】由已知,所以故选C.2【20

10、16高考浙江文数】如图，点列An，Bn分别在某锐角的两边上，且，（）.若（ ）A是等差数列 B是等差数列C是等差数列 D是等差数列【答案】A3.【2016年高考北京文数】已知为等差数列，为其前项和，若，则_.【答案】6【解析】是等差数列，故填：64.【2016高考江苏卷】已知是等差数列，是其前项和.若，则的值是 .【答案】【解析】由得，因此5、【2016高考新课标1卷】设等比数列满足a1+a3=10,a2+a4=5,则a1a2 an的最大值为 【答案】64【解析】设等比数列的公比为，由得，解得.所以，于是当或时，取得最大值.6.【2016高考江苏卷】（本小题满分16分）记.对数列和的子集T，若

11、,定义;若，定义.例如：时，.现设是公比为3的等比数列，且当时，.（1）求数列的通项公式；（2）对任意正整数，若，求证：；（3）设,求证：.【答案】（1）（2）详见解析（3）详见解析若是的子集，则.若不是的子集，且不是的子集.令，则，.于是，进而由，得.设是中的最大数，为中的最大数，则.由（2）知，于是，所以，即.又，故，从而，故，所以，即.综合得，. 1.【2015高考重庆，文2】在等差数列中，若=4，=2，则=（）A、-1 B、0 C、1 D、6【答案】B【解析】由等差数列的性质得，选B.2.【2015高考福建，文8】若 是函数 的两个不同的零点，且 这三个数可适当排序后成等差数列，也可适

12、当排序后成等比数列，则 的值等于（ ）A6 B7 C8 D9【答案】D3.【2015高考北京，文6】设是等差数列. 下列结论中正确的是（ ）A若，则 B若，则C若，则 D若，则【答案】C【解析】先分析四个答案支，A举一反例，而，A错误，B举同样反例，而，B错误，下面针对C进行研究，是等差数列，若，则设公差为，则，数列各项均为正，由于，则，选C.【2015高考新课标2，文16】设是数列的前n项和，且，则_【答案】【2015高考广东，文10】在等差数列中，若，则= .【答案】10【解析】因为是等差数列，所以，即，所以，故应填入【2015高考陕西，文13】中位数1010的一组数构成等差数列，其末项为

13、2015，则该数列的首项为 【答案】5【解析】设数列的首项为，则，所以，故该数列的首项为，所以答案应填：5【2015高考浙江，文3】已知是等差数列，公差不为零，前项和是，若，成等比数列，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B.【解析】等差数列，成等比数列，故选B.【2015高考安徽，文14】已知数列是递增的等比数列，则数列的前项和等于 .【答案】1. 【2014高考北京版文第5题】设是公比为的等比数列，则“”是“为递增数列”的（ ）A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件【答案】D【解析】对等比数列，若，则当时数列是递减数列；若数列是递增数列，则满足且

14、，故当“”是”数列为递增数列的既不充分也不必要条件.故选C.【考点定位】等比数列的性质，充分条件与必要条件的判定2. 【2014高考福建卷第3题】等差数列的前项和，若，则( ) 【答案】C【解析】假设公差为,依题意可得.所以.故选C.【考点定位】等差数列的性质.3. 【2014高考江苏卷第7题】在各项均为正数的等比数列中，若，则的值是 .【答案】4 【解析】设公比为，因为，则由得，解得，所以 【考点定位】等比数列的通项公式4. 【2014辽宁高考文第8题】设等差数列的公差为d，若数列为递减数列，则（ ）A B C D 【答案】C【考点定位】等差数列的概念、递减数列. 5. 【2014重庆高考文

15、第2题】对任意等比数列,下列说法一定正确的是( )成等比数列 成等比数列成等比数列 成等比数列【答案】D【解析】因为数列为等比数列，设其公比为，则所以，一定成等比数列，故选D.【考点定位】等比数列的概念与通项公式、等比中项.6. 【2014天津高考文第11题】设是首项为，公差为的等差数列，为其前项和若成等比数列，则的值为_【答案】【解析】依题意得，解得【考点定位】等差数列、等比数列的通项公式、等比数列的前项和公式7. 【2014大纲高考文第10题】等比数列中，则数列的前8项和等于 （ ）A6 B5 C4 D3【答案】C【考点定位】等差数列、等比数列的通项公式、等差数列的前项和公式8. 【201

16、4高考广东卷文第13题】若等比数列的各项均为正数，且，则 .【答案】50【解析】由题意知，所以，因此，因此.【考点定位】等比数列的基本性质与对数的基本运算9. 【2014高考安徽卷文第12题】数列是等差数列，若构成公比为的等比数列，则_.【答案】1【解析】成等比，令，则，即，即，.【考点定位】等差、等比数列的性质.10. 【2014高考北京版文第12题】若等差数列满足，则当 时，的前项和最大.【答案】8【解析】由等差数列的性质，又因为，所以所以，所以，故数列的前8项最大. 【考点定位】等差数列的性质，前项和的最值11. 【2014高考大纲文第18题】等差数列的前n项和为，已知，为整数，且.（I）求的通项公式；（II）设，求数列的前n项和.【答案】（1）；（2）【解析】（1）由已知可得等差数列的公差为整数由可得列出不等式组解得的范围，从而可确定整数的值，最后由等差数列的通项公式可求得数列的通项公式