2018年高考数学一轮复习 第六章 数列 6.2 等差数列及其前n项和学案 理

1、6.2等差数列及其前n项和考纲展示1.理解等差数列的概念.2.掌握等差数列的通项公式与前n项和公式.3.能在具体的问题情境中识别数列的等差关系，并能用有关知识解决相应的问题.4.了解等差数列与一次函数、二次函数的关系.考点1等差数列的基本运算1.等差数列的有关概念(1)等差数列的定义一般地，如果一个数列从第_项起，每一项与它的前一项的差等于_，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母_表示，定义表达式为anan1d(常数)(nN*，n2)或an1and(常数)(nN*)(2)等差中项若三个数a，A，b成等差数列，则A叫做a与b的等差中项，且有A.答案：(1)2同一个常

2、数d2等差数列的有关公式(1)等差数列的通项公式如果等差数列an的首项为a1，公差为d，那么它的通项公式是_(2)等差数列的前n项和公式设等差数列an的公差为d，其前n项和Snna1d或Sn.答案：(1)ana1(n1)d(1)教材习题改编已知等差数列5，2,1，则该数列的第20项为_答案：52(2)教材习题改编在100以内的正整数中有_个能被6整除的数答案：16知三求二 等差数列中，有五个基本量，a1，d ，n，an，Sn，这五个基本量通过_，_联系起来，如果已知其中三个量，利用这些公式，便可以求出其余两个的值，这其间主要是通过方程思想，列方程组求解答案：通项公式前n项和公式 典题1(1)设

3、Sn为等差数列an的前n项和，S84a3，a72，则a9()A6 B4 C2 D2答案A解析解法一(常规解法)：设公差为d，则8a128d4a18d，即a15d，a7a16d5d6dd2，所以a9a72d6.解法二(结合性质求解)：根据等差数列的定义和性质，可得S84(a3a6)，又S84a3，所以a60，又a72，所以a84，a96.(2)2017河北武邑中学高三期中等差数列an中，Sn是其前n项和，a19，2，则S10()A0 B9 C10 D10答案A解析因为是等差数列，且公差为d1，故1(101)990，故选A.(3)2017河北唐山模拟设等差数列an的前n项和为Sn，S36，S412

4、，则S6_.答案30解析解法一：设数列an的首项为a1，公差为d，由S36，S412，可得 解得 则S66a115d30.解法二：等差数列an，故可设SnAn2Bn，由S36，S412，可得 解得 即Snn2n，则S636630.点石成金等差数列运算的解题思路及答题步骤(1)解题思路由等差数列的前n项和公式及通项公式可知，若已知a1，d，n，an，Sn中的三个便可求出其余两个，即“知三求二”，“知三求二”的实质是方程思想，即建立方程组求解(2)答题步骤步骤一：结合所求结论，寻找已知与未知的关系；步骤二：根据已知条件列方程求出未知量；步骤三：利用前n项和公式求得结果考点2等差数列的判断与证明 等

5、差数列的概念的两个易误点：同一个常数；常数. (1)在数列an中，若a11，an1an2，则该数列的通项公式为an_.答案：2n1解析：由an1an2，知an为等差数列，其公差为2，故an1(n1)22n1.(2)若数列an满足a11，an1ann，则数列an的通项公式为an_.答案：1解析：由an1ann，得a2a11，a3a22，anan1n1，各式相加，得ana112n1，故an1.典题2 若数列an的前n项和为Sn，且满足an2SnSn10(n2)，a1.(1)求证：是等差数列；(2)求数列an的通项公式(1)证明当n2时，由an2SnSn10，得SnSn12SnSn1，所以2.又2，

6、故是首项为2，公差为2的等差数列(2)解由(1)，可得2n，Sn.当n2时，anSnSn1.当n1时，a1不适合上式故an 题点发散1若将母题条件变为：数列an的前n项和为Sn(nN*)，2Snnann.求证：an为等差数列证明：2Snnann，当n2时，2Sn1(n1)an1n1，得(2n)an(n1)an11，则(1n)an1nan1，2anan1an1(n2)，数列an为等差数列题点发散2若母题变为：已知数列an中，a12，an2(n2，nN*)，设bn(nN*)求证：数列bn是等差数列证明：an2，an12.bn1bn1，bn是首项为b11，公差为1的等差数列点石成金等差数列的判定与证

7、明方法方法解读适合题型定义法对于n2的任意自然数，anan1(n2，nN*)为同一常数an是等差数列解答题中证明问题等差中项法2an1anan2(n3，nN*)成立an是等差数列通项公式法anpnq(p，q为常数)对任意的正整数n都成立an是等差数列选择、填空题中的判定问题前n项和公式法验证SnAn2Bn(A，B是常数)对任意的正整数n都成立an是等差数列2017陕西西安模拟已知公差大于零的等差数列an的前n项和为Sn，且满足a3a4117，a2a522.(1)求数列an的通项公式；(2)若数列bn满足bn，是否存在非零实数c使得bn为等差数列？若存在，求出c的值；若不存在，请说明理由解：(1

8、)设等差数列an的公差为d，且d0，由等差数列的性质，得a2a5a3a422，所以a3，a4是关于x 的方程x222x1170的解，所以a39，a413，易知a11，d4，故通项为an1(n1)44n3.(2)由(1)知，Sn2n2n，所以bn.解法一：所以b1，b2，b3(c0)由2b2b1b3，解得c.当c时，bn2n，当n2时，bnbn12.故当c时，数列bn为等差数列解法二：由bn，c0，可令c，得到bn2n.bn1bn2(n1)2n2(nN*)，数列bn是公差为2的等差数列即存在一个非零常数c，使数列bn为等差数列考点3等差数列的性质及应用等差数列的常用性质(1)通项公式的推广：an

9、am_(n，mN*)(2)若an为等差数列，且klmn(k，l，m，nN*)，则_(3)若an是等差数列，公差为d，则a2n也是等差数列，公差为_(4)若an，bn是等差数列，公差为d，则panqbn也是等差数列(5)若an是等差数列，公差为d，则ak，akm，ak2m，(k，mN*)是公差为_的等差数列(6)数列Sm，S2mSm，S3mS2m，也是等差数列(7)S2n1(2n1)an.(8)若n为偶数，则S偶S奇；若n为奇数，则S奇S偶a中(中间项)答案：(1)(nm)d(2)akalaman(3)2d(5)md等差数列的基本公式：通项公式；前n项和公式(1)等差数列an中，a2a31，a5

10、2a127，则a5_.答案：13解析：设等差数列的公差为d，则有2a13d1,4da127，解得d5，a17，所以a5a14d13.(2)等差数列an的首项为1，公差为4，前n项和为120，则n_.答案：8解析：an1(n1)44n3，所以Sn120，解得n8或n(舍去).等差数列运算的两个方法：应用性质；巧妙设元(1)在等差数列an中，已知a4a1012，则该数列前13项和S13_.答案：78解析：由等差数列的性质与前n项和公式，得S1378.(2)已知等差数列an前三项的和为3，前三项的积为8，则an的通项公式是_答案：an3n5或an3n7解析：设等差数列an的前三项为a2d，a2，a2

11、d，由题意得 解得 或 所以an23(n1)3n5或an43(n1)3n7.故an3n5或an3n7. 典题32017河南洛阳统考设等差数列an的前n项和为Sn，若S39，S636，则a7a8a9()A63 B45 C36 D27答案B解析由an是等差数列，得S3，S6S3，S9S6为等差数列，即2(S6S3)S3(S9S6)，得到S9S62S63S345，故选B.点石成金在等差数列an中，数列Sm，S2mSm，S3mS2m也成等差数列等差数列的性质是解题的重要工具.1.2017宁夏银川模拟已知等差数列an的公差为d(d0)，且a3a6a10a1332.若am8，则m()A8 B12 C6 D

12、4答案：A解析：由a3a6a10a1332，得(a3a13)(a6a10)32，即4a832，a88，m8.故选A.2已知等差数列an的前n项和为Sn，且S1010，S2030，则S30_.答案：60解析：S10，S20S10，S30S20成等差数列，2(S20S10)S10S30S20，4010S3030，S3060.考点4等差数列前n项和的最值问题典题4在等差数列an中，a129，S10S20，则数列an的前n项和Sn的最大值为()AS15 BS16 CS15或S16 DS17答案A解析a129，S10S20，10a1d20a1d，解得d2，Sn29n(2)n230n(n15)2225.当

13、n15时，Sn取得最大值题点发散1若将条件“a129，S10S20”改为“a10，S5S12”，如何求解？解：解法一：设等差数列an的公差为d，由S5S12，得5a110d12a166d，解得da10，nN*，所以当n8或n9时，Sn有最大值解法二：设等差数列an的公差为d，同解法一得da10.设此数列的前n项和最大，则即解得即8n9，又nN*，所以当n8或n9时，Sn有最大值解法三：设等差数列an的公差为d，同解法一得da10，S130”，如何求解？解：因为a3a12d12，所以a1122d，所以即解得d3.故公差d的取值范围为.解法一：由d0可知，an为递减数列，因此，在1n12中，必存在

14、一个自然数n，使得an0，an10，此时对应的Sn就是S1，S2，S12中的最大值由于于是a70，因此S6最大解法二：由d0可知an是递减数列，令可得由d3，可得所以5.5n0，a4a70，且SpSq(pq)，则若pq为偶数，则当n时，Sn最大；若pq为奇数，则当n或n时，Sn最大.1.等差数列an的前n项和为Sn，已知a5a74，a6a82，则当Sn取最大值时，n()A5 B6 C7 D8答案：B解析：依题意，得2a64,2a72，a620，a710.又数列an是等差数列，因此在该数列中，前6项均为正数，自第7项起以后各项均为负数，于是当Sn取最大值时，n6，故选B.22017安徽望江中学模

15、拟设数列an是公差d0的等差数列，Sn为前n项和，若S65a110d，则Sn取最大值时，n()A5 B6 C5或6 D11答案：C解析：由题意，得S66a115d5a110d，所以a60，故当n5或6时，Sn最大，故选C.方法技巧1.在遇到三个数成等差数列问题时，可设三个数为：(1)a，ad，a2d；(2)ad，a，ad；(3)ad，ad，a3d等，可视具体情况而定2数列an为等差数列(1)若项数为偶数2n，则S2nn(a1a2n)n(anan1)；S偶S奇nd；.(2)若项数为奇数2n1，则S2n1(2n1)an；S奇S偶an；.3若数列an与bn均为等差数列，且前n项和分别是Sn和Tn，则

16、.4若amn，anm(m0)，则amn0.易错防范1.公差不为0的等差数列的前n项和公式是n的二次函数，且常数项为0.若某数列的前n项和公式是常数项不为0的二次函数，则该数列不是等差数列，它从第二项起成等差数列2求等差数列的前n项和Sn的最值时，需要注意“自变量n为正整数”这一隐含条件若对称轴取不到，需考虑最接近对称轴的自变量n(n为正整数)；若对称轴对应在两个正整数的中间，此时应有两个符合题意的n值 真题演练集训 12016新课标全国卷已知等差数列an前9项的和为27，a108，则a100()A100 B99 C98 D97答案：C解析：由等差数列性质知，S99a527，解得a53，而a10

17、8，因此公差d1，a100a1090d98，故选C.22015北京卷设an是等差数列，下列结论中正确的是()A若a1a20，则a2a30B若a1a30，则a1a20C若0a1a2，则a2D若a10，则(a2a1)(a2a3)0答案：C解析：A，B选项易举反例C中若0a1a2，a3a2a10，a1a32，又2a2a1a3，2a22，即a2成立D中，若a10，则(a2a1)(a2a3)d(d)d20，故D选项错误故选C.32016江苏卷已知an是等差数列，Sn是其前n项和若a1a3，S510，则a9的值是_答案：20解析：设等差数列an公差为d，由题意，得 解得 则a9a18d48320.4201

18、6新课标全国卷Sn为等差数列an的前n项和，且a11，S728.记bnlg an，其中x表示不超过x的最大整数，如0.90，lg 991.(1)求b1，b11，b101；(2)求数列bn的前1 000项和解：(1)设an的公差为d，据已知有721d28，解得d1.所以an的通项公式为ann.b1lg 10，b11lg 111，b101lg 1012.(2)因为bn 所以数列bn的前1 000项和为1902900311 893. 课外拓展阅读 巧用三点共线解等差数列问题1等差数列的求解由等差数列与一次函数的关系可知：对于公差为d(d0)的等差数列an，其通项公式为andn(a1d)，则点(n，an)(nN*)共线，又d(nm)，所以d为过(m，am)，(n，an)两点的直线的斜率由此可用三点共线解决等差数列问题典例1若数列an为等差数列，apq，aqp(pq)，则apq_.思路分析解析解法一：设数列an的公差为d，因为apaq(pq)d，所以qp(pq)d，即qp(pq)d.因为pq，所以d1.所以apqap(pqp)dqq(1)0.解法二：因为数列an为等差数列，所以点(n，an)(nN*)在一条直线上不妨设pq，记点A(p，q)，B(q，p)，则直线AB的斜率k1，如图所示，由图知OCpq，即点C的坐标为(pq,0)，故