2019版高考数学一轮复习 第12章 选4系列 12.3 绝对值不等式学案 文

1、12.3绝对值不平等知识梳理1.绝对值不等式(1)定理如果A和B是实数，那么| A | B | A | B |，当且仅当ab0时，等号成立。(2)如果甲、乙、丙是实数，则|甲-丙| | A-B | |乙-丙|。当且仅当(A-B) (B-C) 0时，等号成立，即B位于A和C之间.(3)从绝对值不等式定理可以推导出以下不等式| a1+a2+an | a1 |+| a2 |+an |。| a |-| b | | ab | a |+| b |。2.绝对值不等式的解(1)形式| ax b | | CX d |的不等式可以转化为两边均为正方形的二次不等式。(2)绝对值不等式|x|a和|x|0)和| ax

2、b | c (c0)。|ax+b|c-cax+bc(c0)，| ax b | CAX b -c或ax b c (c0)。诊断自检1.概念推测(1)不等式| x-1 | | x 2 | 2的解集是。()(2)如果|x|c的解集是r，那么c0。()(3)| ax b |c(c0)的解集等价于-c ax b c()(4)对于| a-b | | a | | b |，等号在ab0时成立。()回答(1) (2) (3) (4)2.教科书演变(1)(选择a4-5p19t5)解不等式| 2x 1 | | x-2 | 4。当x1-时，原来的不等式可以简化为-2x-1 2-x4，所以x-1，现在x-1；当-4，所

3、以x1，现在14，所以x，现在x2。综上所述，原不等式的解集是(-，-1)(1，)。(2)(选择A4-5P20T9)让函数f (x)=| x-4 | | x-3 |。(1)解不等式f(x)3；如果f(x)a对所有xR成立，则得到实数a的取值范围。解当x3时，原不等式可化为4-x 3-x 3，即x2，所以x2；当35时，原来的不等式等价于x-1-(x-5) 2。也就是42，没有解决办法。综合 知道x4，所以选择a .(2)(重庆高考2014)如果任意实数X的不等式| 2x-1 | | x 2 | a2 a 2成立，则实数A的取值范围为_ _ _ _ _ _ _ _ _。回答如果f (x)=| 2

4、x-1 | | x 2 |，根据问题的含义，很容易得到f (x) min=，a2 a2 a21aa。问题1中绝对值不等式的解(2016年国家卷一)已知函数f (x)=| x 1 |-| 2x-3 |。(1)绘制y=f (x)的图像；(2)求不等式|f(x)|1的解集。(1)去除绝对值符号并将其转换成分段函数；(2)根据(1)中的图像，用数形结合的方法求解。解(1) F (x)=y=f (x)的图像如图所示。(2)从f(x)的表达式和图像，当f (x)=1时，可以得到x=1或x=3；当f (x)=-1时，可以得到x=或x=5。因此，f(x)1的解集是 x | 11 。方法技巧求解| x-a |

5、| x-b | c或| x-a | | x-b | c的一般步骤1.使用“零点分割法”(1)让每个带绝对值符号的代数表达式都为零，并找出相应的根；(2)将这些根从小到大排序，并将实数集分成若干区间，这些根作为端点；(3)通过去除分区之间的绝对值符号形成多个不等式，并求解这些不等式以获得解集；(4)取所有不等式解集的并集，得到原不等式解集。2.利用| x-a | x-b |的几何意义数轴上x1=a和x2=b点的距离之和大于c的整数，| x-a | | x-b | | x-a-(x-b) |=| a-b |。3.图像法：对函数y1=| x-a | | x-b |和y2=c进行图像化，并通过图像的组

6、合进行求解。参见典型示例。提醒：不完整的解决方案集很容易出现。带有绝对值的不等式不应该被忽略，无论是通过去除部分中的绝对值还是通过使用几何意义。冲关的目的是训练(2017年国家卷)已知函数f (x)=| x 1 |-| x-2 |。(1)求不等式f(x)1的解集；(2)如果不等式f (x) x2-x m的解集不为空，则求出m的取值范围.解(1) F (x)=当x -1时，f(x)1无解；当-1 x 2时，如果f(x)1，2x-1 1，解为1x2；当x 2时，如果f(x)1，则解为x 2。因此，f(x)1的解集是x | x 1。(2)乘以f (x) x2-x mm|x+1|-|x-2|-x2+x

7、。和| x 1 |-| x-2 |-x2 x | x | 1 | x |-2-x2 | x |=-2+，当x=，| x 1 |-| x-2 |-x2 x=，因此，m的范围是。绝对值不等式性质在问题2中的应用(2016年国家卷)已知函数f (x)=| 2x-a | a .(1)当a=2时，求不等式f(x)6的解集；(2)让函数g (x)=| 2x-1 |。当xR，f (x) g (x) 3时，求a的取值范围.(1)以| x-a | c的形式求解不等式(2)消除a .(1)当a=2时，f (x)=| 2x-2 | 2。如果你解不等式| 2x-2 | 2 6，你得到-1 x 3。因此，f(x)6的解

8、集为x |-1 x 3。(2)当xR，f(x)g(x)=| 2x-a | a | 1-2x | 2x-a 1-2x | a=| 1-a | a时，当x=时，等号成立，所以当xR，f (x) g (x) 3时，等于| 1-a | a 3。当a1时，等于1-A3，无解。当a1，等于a-1 a 3，且解a2时。因此，A的取值范围是2，)。条件查询将条件“当a=2时”改为“g (x)=| 2x-1 |，如果g(x)5，总是f(x)6”，并尝试找出a的最大值.g(x)5 | 2x-1 |5-52x-15-2x3；f(x)6|2x-a|6-aa-62x-a6-aa-3x3.根据问题的含义，a-32且a1，

9、所以a的最大值为1。方法技巧绝对值不等式性质的应用通过使用不等式| A | B | A | B |(A，bR)和| A-B | | A-C | | C-B | (A，bR)，通过确定适当的A，B，利用整体思想或作函数，函数，冲关的目的是训练(2018福建漳州模拟)已知函数f (x)=| 2x-a | | 2x-3 |，g (x)=| x-1 | 2。如果任何一个x1R都有x2R，那么f (x1)=g (x2)成立，这就是实数a的取值范围.假设x2R对于任何x1R都存在，因此f (x1)=g (x2)成立，y | y=f (x) y | y=g (x)，和f(x)=| 2x-a | | 2x 3

10、 |(2x-a)-(2x 3)|=| a3 |，g(x)=|x-1|+22，因此，如果| a 3 | 2，则解是a1或a5。因此，实数a的取值范围是-1，)(-，-5。1.(2017河西区三种模式)如果有实数X，使| X-A | | X-1 | 3成立，则实数A的取值范围为()A.-2，1 B.-2，2 C.-2，3 D.-2，4答案D解析式为| x-a | | x-1 | | (x-a)-(x-1) |=| a-1 |，不等式| x-a | | x-1 | 3有解，并且| a-1 | 3可以得到，即-332.(2017潍坊一模)如果关于x的不等式| x 1 | | x-2 | m-70的解集

11、是R，则实数m的取值范围是()A.(4，+)b4，+)C.(-，4) D.(-，4回答一解析式不等式| x 1 | | x-2 | m-70，移动的项目：| x 1 | | x-2 | 7-m，根据绝对值不等式的几何意义，我们可以知道| x 1 | | x-2 |的最小值是3，解集为r，只需37-m即可建立。去拿m4。因此，选择一个.3.(北仑区，2017)如果关于X的不等式| X-1 |-| X-3 | A2-3A的解集为非空数集，则实数A的取值范围为()A.12 d.a 1或a2回答乙关于x的解析不等式| x-1 |-| x-3 | a2-3a有一组非空解，那么a2-3a (| x-1 |

12、-| x-3 |)最大值就足够了。| x-1 |-| x-3 |的最大值为2。只需要a2-3a-20，而解是0)。(1)当a=4时，求不等式的解集；(2)如果不等式有解，求实数a的取值范围.(1)当a=4时，不等式为| 2x 1 |-| x-1 | 2。当x-，-x-2 2时，解为-4x-；当- x -x1，3x2时，解为-x1；当x1，x0时，此时x不存在。原不等式的解集是。(2)让f (x)=| 2x 1 |-| x-1 |，那么f (x)=因此，f(x)，即f(x)的最小值是-。如果f(x)log2a有解，log2a ,解是a即A的范围是。2.(2017广东潮州第二款)让函数f(x)=2

13、x 3 | | x-1 |。(1)求解不等式f(x)4；(2)如果x，不等式a 14或or或X-2或01。不等式f(x)4的解集是(-，-2)(0，)。(2)从(1)开始，当x-，f (x)=-3x-2时，当x-，f (x)=-3x-2时，a1，即a+1.实数a的取值范围是。3.已知函数f (x)=| 2x-a | | 2x-1 | (a r)。(1)当a=-1时，求f(x)2的解集；(2)如果f (x) | 2x 1 |的解集包含一个集合，则它是实数a的值域.(1)当a=-1时，f (x)=| 2x 1 | | 2x-1 |，f (x) 2 1。上述不等式的几何意义是从点x到数轴上的两点且距

14、离之和小于或等于1，则x ,即原不等式的解集为。(2)f(x)| 2x 1 |的解集包括：当x，不等式f (x) | 2x 1 |成立，当x，| 2x-a | 2x-1 2x 1成立时， 2x-2 a 2x 2在x上保持，(2x-2)maxa(2x+2)min，0a3.因此，实数A的取值范围是0，3。4.(2018山西八校联考)设置函数f (x)=| x 1 | | x-a |。(1)如果f(x)5对xR成立，则得到实数a的取值范围；(2)当a=1时，函数f(x)的最小值为t，正实数m和n满足m n=t，并证明 2。解(1) | x 1 | | x-a |表示从数轴上的移动点x到两个固定点-1，a的距离之和，因此当a4或a6时，| x 1 | | x-a | 5对xR成立，即实数a的取值范围为()。(2)证明了因为| x 1 | | x-1 | x 1 1-x |=2，f (x) min=2，即t=2，所以m n=2，m和n是正实数。因此，当且仅当m=n=1时，取等号。5.(2017沈阳模拟)让f (x)=| ax-1 |。(