[理学]高等数学同济大学课件上第5章定积分.ppt

1、第五章,积分学,不定积分,定积分,定积分,第一节,一、定积分问题举例,二、 定积分的定义,三、 定积分的性质,机动 目录 上页 下页 返回 结束,定积分的概念及性质,第五章,一、定积分问题举例,1. 曲边梯形的面积,设曲边梯形是由连续曲线,以及两直线,所围成 ,求其面积 A .,机动 目录 上页 下页 返回 结束,矩形面积,梯形面积,解决步骤 :,1) 大化小.,在区间 a , b 中任意插入 n 1 个分点,用直线,将曲边梯形分成 n 个小曲边梯形;,2) 常代变.,在第i 个窄曲边梯形上任取,作以,为底 ,为高的小矩形,并以此小,梯形面积近似代替相应,窄曲边梯形面积,得,机动 目录 上页

2、下页 返回 结束,3) 近似和.,4) 取极限.,令,则曲边梯形面积,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2. 变速直线运动的路程,设某物体作直线运动,且,求在运动时间内物体所经过的路程 s.,解决步骤:,1) 大化小.,将它分成,在每个小段上物体经,2) 常代变.,得,已知速度,机动 目录 上页 下页 返回 结束,n 个小段,过的路程为,3) 近似和.,4) 取极限 .,上述两个问题的共性:,解决问题的方法步骤相同 :,“大化小 , 常代变 , 近似和 , 取极限 ”,所求量极限结构式相同:,特殊乘积和式的极限,机动 目录 上页 下页 返回 结束,二、定积分定义 ( P225 ),任一种分法

3、,任取,总趋于确定的极限 I ,则称此极限 I 为函数,在区间,上的定积分,即,此时称 f ( x ) 在 a , b 上可积 .,记作,机动 目录 上页 下页 返回 结束,定积分仅与被积函数及积分区间有关 ,而与积分,变量用什么字母表示无关 ,即,机动 目录 上页 下页 返回 结束,定积分的几何意义:,曲边梯形面积,曲边梯形面积的负值,各部分面积的代数和,机动 目录 上页 下页 返回 结束,定理1.,定理2.,且只有有限个间断点,可积的充分条件:,(证明略),例1. 利用定义计算定积分,解:,将 0,1 n 等分, 分点为,取,机动 目录 上页 下页 返回 结束,注,注 目录 上页 下页 返

4、回 结束,注 利用,得,两端分别相加, 得,即,例2. 用定积分表示下列极限:,解:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,说明:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,根据定积,分定义可得如下近似计算方法:,将 a , b 分成 n 等份:,(左矩形公式),(右矩形公式),(梯形公式),为了提高精度, 还可建立更好的求积公式, 例如辛普森,机动 目录 上页 下页 返回 结束,公式, 复化求积公式等,并有现成的数学软件可供调用.,三、定积分的性质,(设所列定积分都存在),( k 为常数),证:,= 右端,机动 目录 上页 下页 返回 结束,证: 当,时,因,在,上可积 ,所以在分割区间时, 可以永

5、远取 c 为分点 ,于是,机动 目录 上页 下页 返回 结束,当 a , b , c 的相对位置任意时, 例如,则有,机动 目录 上页 下页 返回 结束,6. 若在 a , b 上,则,证:,推论1. 若在 a , b 上,则,机动 目录 上页 下页 返回 结束,推论2.,证:,即,7. 设,则,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例3. 试证:,证: 设,即,故,即,机动 目录 上页 下页 返回 结束,8. 积分中值定理,则至少存在一点,使,证:,则由性质7 可得,根据闭区间上连续函数介值定理,使,因此定理成立.,性质7 目录 上页 下页 返回 结束,说明:,可把,故它是有限个数的平均值概念

6、的推广.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,积分中值定理对,因,例4.,计算从 0 秒到 T 秒这段时间内自由落体的平均,速度.,解: 已知自由落体速度为,故所求平均速度,机动 目录 上页 下页 返回 结束,内容小结,1. 定积分的定义, 乘积和式的极限,2. 定积分的性质,3. 积分中值定理,机动 目录 上页 下页 返回 结束,矩形公式,梯形公式,连续函数在区间上的平均值公式,近似计算,思考与练习,1. 用定积分表示下述极限 :,解:,或,机动 目录 上页 下页 返回 结束,思考:,如何用定积分表示下述极限,提示:,极限为 0 !,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2. P233 题3,

7、3. P233 题8 (2) , (4),题8(4) 解:,设,则,即,机动 目录 上页 下页 返回 结束,作业,P233 2 (2) , 4 6 (3) , (4) ; 7(3) ; 8 (1) , (5),第二节 目录 上页 下页 返回 结束,二、积分上限的函数及其导数,三、牛顿 莱布尼兹公式,一、引例,第二节,机动 目录 上页 下页 返回 结束,微积分的基本公式,第五章,一、引例,在变速直线运动中, 已知位置函数,与速度函数,之间有关系:,物体在时间间隔,内经过的路程为,这种积分与原函数的关系在一定条件下具有普遍性 .,机动 目录 上页 下页 返回 结束,二、积分上限的函数及其导数,则变

8、上限函数,证:,则有,机动 目录 上页 下页 返回 结束,定理1. 若,说明:,1) 定理 1 证明了连续函数的原函数是存在的.,2) 变限积分求导:,同时为,通过原函数计算定积分开辟了道路 .,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例1. 求,解:,原式,说明 目录 上页 下页 返回 结束,例2.,确定常数 a , b , c 的值, 使,解:,原式 =,c 0 , 故,又由, 得,例3.,证明,在,内为单调递增函数 .,证:,只要证,机动 目录 上页 下页 返回 结束,三、牛顿 莱布尼兹公式,( 牛顿 - 莱布尼兹公式),机动 目录 上页 下页 返回 结束,证:,根据定理 1,故,因此,得,

9、定理2.,函数 ,则,例4. 计算,解:,例5. 计算正弦曲线,的面积 .,解:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例6. 汽车以每小时 36 km 的速度行驶 ,速停车,解: 设开始刹车时刻为,则此时刻汽车速度,刹车后汽车减速行驶 , 其速度为,当汽车停住时,即,得,故在这段时间内汽车所走的距离为,刹车,问从开始刹,到某处需要减,设汽车以等加速度,机动 目录 上页 下页 返回 结束,车到停车走了多少距离?,内容小结,则有,1. 微积分基本公式,积分中值定理,微分中值定理,牛顿 莱布尼兹公式,2. 变限积分求导公式,公式 目录 上页 下页 返回 结束,作业,第三节 目录 上页 下页 返回 结

10、束,P240 3 ; 4 ; 5 (3) ; 6 (8) , (11) , (12) ; 9 (2) ; 12,备用题,解：,1.,设,求,定积分为常数 ,设, 则,故应用积分法定此常数 .,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2.,求,解：,的递推公式(n为正整数) .,由于,因此,所以,其中,机动 目录 上页 下页 返回 结束,二、定积分的分部积分法,第三节,不定积分,机动 目录 上页 下页 返回 结束,一、定积分的换元法,换元积分法,分部积分法,定积分,换元积分法,分部积分法,定积分的换元法和,分部积分法,第五章,一、定积分的换元法,定理1. 设函数,单值函数,满足:,1),2) 在,上

11、,证: 所证等式两边被积函数都连续,因此积分都存在 ,且它们的原函数也存在 .,是,的原函数 ,因此有,则,机动 目录 上页 下页 返回 结束,则,说明:,1) 当 , 即区间换为,定理 1 仍成立 .,2) 必需注意换元必换限 , 原函数中的变量不必代回 .,3) 换元公式也可反过来使用 , 即,或配元,配元不换限,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例1. 计算,解: 令,则, 原式 =,机动 目录 上页 下页 返回 结束,且,例2. 计算,解: 令,则, 原式 =,机动 目录 上页 下页 返回 结束,且,例3.,证:,(1) 若,(2) 若,偶倍奇零,机动 目录 上页 下页 返回 结束,

12、二、定积分的分部积分法,定理2.,则,证:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例4. 计算,解:,原式 =,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例5. 证明,证: 令,n 为偶数,n 为奇数,则,令,则,机动 目录 上页 下页 返回 结束,由此得递推公式,于是,而,故所证结论成立 .,机动 目录 上页 下页 返回 结束,内容小结,基本积分法,换元积分法,分部积分法,换元必换限 配元不换限 边积边代限,机动 目录 上页 下页 返回 结束,思考与练习,1.,提示: 令,则,2. 设,解法1,解法2,对已知等式两边求导,思考:,若改题为,提示: 两边求导, 得,机动 目录 上页 下页 返回 结束,

13、得,3. 设,求,解:,(分部积分),机动 目录 上页 下页 返回 结束,作业,P249 1 (4) , (10) , (16) ; 6 ; 11 (4), (9), (10),习题课 目录 上页 下页 返回 结束,备用题,1. 证明,证：,是以 为周期的函数.,是以 为周期的周期函数.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,解：,2.,右端,试证,分部积分积分,再次分部积分,= 左端,机动 目录 上页 下页 返回 结束,二、无界函数的反常积分,第四节,常义积分,积分限有限,被积函数有界,推广,一、无穷限的反常积分,机动 目录 上页 下页 返回 结束,反常积分,(广义积分),反常积分,第五章,一

14、、无穷限的反常积分,引例. 曲线,和直线,及 x 轴所围成的开口曲,边梯形的面积,可记作,其含义可理解为,机动 目录 上页 下页 返回 结束,定义1. 设,若,存在 ,则称此极限为 f (x) 的无穷限反常积分,记作,这时称反常积分,收敛 ;,如果上述极限不存在,就称反常积分,发散 .,类似地 , 若,则定义,机动 目录 上页 下页 返回 结束,则定义,( c 为任意取定的常数 ),只要有一个极限不存在 , 就称,发散 .,无穷限的反常积分也称为第一类反常积分.,并非不定型 ,说明: 上述定义中若出现,机动 目录 上页 下页 返回 结束,它表明该反常积分发散 .,引入记号,则有类似牛 莱公式的

15、计算表达式 :,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例1. 计算反常积分,解:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,思考:,分析:,原积分发散 !,注意: 对反常积分, 只有在收敛的条件下才能使用,“偶倍奇零” 的性质,否则会出现错误 .,例2. 证明第一类 p 积分,证:当 p =1 时有,当 p 1 时有,当 p 1 时收敛 ; p1,时发散 .,因此, 当 p 1 时, 反常积分收敛 , 其值为,当 p1 时, 反常积分发散 .,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例3. 计算反常积分,解:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,二、无界函数的反常积分,引例:曲线,所围成的,与 x 轴,

16、y 轴和直线,开口曲边梯形的面积,可记作,其含义可理解为,机动 目录 上页 下页 返回 结束,定义2. 设,而在点 a 的右邻域内无界,存在 ,这时称反常积分,收敛 ;,如果上述极限不存在,就称反常积分,发散 .,类似地 , 若,而在 b 的左邻域内无界,若极限,数 f (x) 在 a , b 上的反常积分, 记作,则定义,机动 目录 上页 下页 返回 结束,则称此极限为函,若被积函数在积分区间上仅存在有限个第一类,说明:,而在点 c 的,无界函数的积分又称作第二类反常积分,无界点常称,邻域内无界 ,为瑕点(奇点) .,例如,机动 目录 上页 下页 返回 结束,间断点,而不是反常积分.,则本质

17、上是常义积分,则定义,注意: 若瑕点,的计算表达式 :,则也有类似牛 莱公式的,若 b 为瑕点, 则,若 a 为瑕点, 则,若 a , b 都为瑕点, 则,则,可相消吗?,机动 目录 上页 下页 返回 结束,下述解法是否正确:, 积分收敛,例4. 计算反常积分,解: 显然瑕点为 a , 所以,原式,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例5. 讨论反常积分,的收敛性 .,解:,所以反常积分,发散 .,例6. 证明反常积分,证: 当 q = 1 时,当 q 1 时收敛 ; q1,时发散 .,当 q1 时,所以当 q 1 时, 该广义积分收敛 , 其值为,当 q 1 时, 该广义积分发散 .,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例7.,解：,求,的无穷间断点,故 I 为反常,积分.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,内容小结,1. 反常积分,积分区间无限,被积函数无界,常义积分的极限,2. 两个重要的反常积分,机动 目录 上页 下页 返回 结束,说明: (1) 有时通过换元 , 反常积分和常义积分可以互,相转化 .,例如 ,(2) 当一题同时含两类反常积分时,机动 目录 上页 下页 返回 结束,应