近世代数课件-4.2.唯一分解环.ppt

1、2.唯一分解环,2.1 定义与例子 2.2 等价条件 2.3 典型分解 2.4 最大公因子与互素,2.1 定义与例子,由于上一节的例我们知道，在一个整环里唯一分解定理未必成立。但是我们也知道，在有些整环里，比方说整数环里，这个定理是成立的。,例1. 举正反例子,例2. 在唯一分解环 , 每一个非零元a 的因子, 在相伴的意义下只有有限多个.,证明:,(1) 如果a是单位, 那么, a 的因子只有单位, 所有单位都相伴的(?). 因此, a 的因子, 在相伴的意义下只有一个.,(2) 如果a不是单位, a可以分解,a 的因子只有下面的形式:,不相伴因子总数不超过 个,说明: 不同类因子不相伴,

2、同类因子可能相伴.,一个唯一分解环有下面重要性质。,注: 在一个非唯一分解环, 一个非零元a 的因子, 可以有无穷多个不相伴的(吴品三,p181).,证明,能够整除,(1) 当 之中有一个是零或是单位的时候，定理也是对的。若 ，那么 。若 是单位，那么,(2) 和 都不是零元，也都不是单位。这时c显然不等于零。我们说c又不是一个单位。不然的话,而由，1定理2， 是素元。这就是说，素元 可以写成两个非单位的乘积，因而有真因子。这是矛盾。 c既不是零又不是单位，由唯一分解环的定义，,由唯一分解的定义， 一定是某一个 或某一个 的相伴元。 若 是某一个 的相伴元，那么,同样若 是 某一个的相伴元，那

3、么 。,2.2 等价条件,性质（）的重要性由以下定理可以看出。,证明,我们看 的一个不等于零也不是单位的元 。由性质（）， 有一个分解,我们须要证明， 有唯一分解；就是说，假定我们也有,那么 ，并且我们可以把这些 的次序掉换一下，使得 是 的相伴元。我们对素因子的个数r, 应用第二型归纳法。,(2) 假如, 定理对能写成 个素元的乘积的元都成立, 即都有唯一分解。,在这个假定之下，我们看一个元 的两种分解：,由性质（），,能够整除某一个 ；把 的次序换一换，我们可以假定 ，但 是素元， 不是单位，所以,这样,这里b是 个素元的乘积，所以依照归纳法假定，,而且我们可以把 的次序掉换一下，使得,注

4、 由定理1，2，我们也可以用条件（），（）来作唯一分解的定义。,2.3 典型分解,2.4 最大公因子与互素,定义2 (公因子) 元 叫做元 的公因子，假如c同时能够整除 。,定义3 (最大公因子) 元 叫做 的最 大公因子,假如: (1) 元 是元 的公因子. (2) 的每一个公因子也是 的因子。,例2. 整环中,两个元的最大公因子不一定存在.,唯一分解环的另一重要性质是最大公因子的存在。,定理 3 一个唯一分解环 的两个元 和b在 里一定有最大公因子。 和b的两个最大公因子d和 只能差一个单位因子：,证明,若 之中有一个是零，比方说 ，那么b显然是一个最大公因子。若是 之中一个单位，比方说

5、是单位，那么 显然是最大公因子。,(首先在Z中介绍一个例子),现在看 和b都不是零也不是单位是的情形。适当改变典型分解的形式, 可以得到:,用 来表示 与 中较小的一个（ 的时候就叫 ）而作元,那么显然,.,进一步,可以证明d是最大公因子.,假定 也是 和b的最大公因子，那么,当且仅当,证完,从这个定理用归纳法立刻可以得到,推论 一个唯一分解环 的n个元 在 里一定有最大公因子。 的两个最大公因子只能差一个单位因子。,这样，若是几个元的某一个最大公因子是一个单位，这几个元的任何一个最大公因子也是一个单位。利用这一件事实，我们可以在一个唯一分解环里规定互素这一个概念。,定义4 我们说，一个唯一分解环的院 互素，假如它们的最大公因子是单位。,这样规定互