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1、1,问题的提出,基本概念,第一节 微分方程的基本概念,2,解,例,一曲线通过点,且在该曲线上任一点,处的切线的斜率为,求这曲线的方程.,一、问题的提出,设所求曲线的方程为,所求曲线方程为,则,3,如,二、基本概念,含有未知函数的导数(或微分)的方程.,未知函数是一元函数的方程为,1. 微分方程:,常微分方程;,未知函数是多元函数的方程为,偏微分方程.,方程中未知函数及其导数是一次的方程称为,线性微分方程；,否则称为,非线性微分方程.,4,一阶微分方程:,高阶(二阶及二阶以上)微分方程:,一般的n阶微分方程为,今后主要讨论,2. 微分方程的阶,微分方程中出现的未知函数的最高阶导数的阶数.,5,代

2、入微分方程能使方程成为恒等式的函数.,3. 微分方程的解,微分方程的解的分类,(1)通解,微分方程的解中含有任意常数,的个数与微分方程的阶数相同.,(2) 特解,确定了通解中任意常数以后的解.,如方程,通解,特解,通解和特解是一般和特殊的关系.,且任意常数,6,初值问题(柯西问题),求微分方程满足初始条件的解的问题.,解的图象,通解的图象,微分方程的积分曲线.,积分曲线族.,初始条件,用来确定任意常数的条件.,曲线通过点(1, 2).,如前例,7,二阶,几何意义:,的积分曲线.,是过 且在此点切线的斜率为定值,一阶,几何意义:,是过 的积分曲线;,8,解,例,的表达式代入原方程,并求满足初等条件,9,所求特解为,且为,通解.,而,是原方程的解,10,作业,习题6.1 (5页),1. (1)(3) 2. (1)(3) 3. (1),11,思考题 (是非题),微分方程的通解是否包含它所有的解?,非,解答,微分方程的通解不一定否包含它所有的解.,例如,

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