2018年高中数学 第2章 概率 2.5.2 离散型随机变量的方差学案 新人教A版选修2-3

1、2.5.2离散型随机变量的方差预习教科书P6467，考虑下面的问题并完成1 .离散型随机变量的方差和标准差的定义是什么？2 .方差具有什么性质？3 .两点分布和二项分布的方差分别是什么？1 .离散型随机变量的方差(1)将离散型随机变量x的分布列xx1x2是西是xn号驱逐舰p型p1p2是飞弹是pn将D(X)=(xi-E(X)2pi称为随机变量x的方差，将其算术平方根称为随机变量x的标准偏差。(2)随机变量的方差和标准偏差全部反映随机变量取的值偏离平均的平均程度，方差或者标准偏差越小，随机变量偏离平均的平均程度越小2 .常见的几个结论(1)D(aX b)=a2D(X )。(2)当x遵循两点分布时，

2、D(X)=p(1-p )。如果是x到XB(n，p )，则D(X)=np(1-p )。地址1 .判断下面的命题是否正确。(1)离散型随机变量的方差越大，随机变量越稳定。如果(2)a是常数，则D(a)=0. ()(3)离散型随机变量的分散反映了随机变量偏离期望的平均值的程度。回答： (1) (2)。2 .如果随机变量x遵循两点分布并且成功概率p=0.5，则E(X )和D(X )分别是()A.0.5和0.25 B.0.5和0.75C.1和0.25 D.1和0.75回答： a3.D(-D() )的值是()求不到a.b.0C.D() D.2D()回答： c4 .牧场的10头牛，由于误食被疯牛病弄脏了的饲

3、料而被感染，已知该病的发病率为0.02，设发病牛的头数为x的话，D(X )就变成回答：0.196求离散型随机变量的方差问题1 :用定义求出离散型随机变量的方差1 .已知随机变量x的分布列如下：x012345p型0.10.150.250.250.150.1成为d (x )=_ _ _ _ _ _ .解析：从e (x )=0. 10.1510. 2520. 2530. 1540. 15=2. 5开始。d (x )=(0-2.5) 20.1 (1-2.5) 20.15 (2-2.5) 20.25 (3-2.5) 20.25回答：2.05问题2 :两点分布的方差2 .如果某选手的投篮命中率p=0.8，

4、则该选手在一次投篮中的命中次数的分散为解析：按题意，服从二点分布D()=0.8(1-0.8)=0.16。回答：0.16问题3 :二元分布的方差3 .假定出租车司机从酒店到车站的路上有6个派出所，他在各派出所遇到红灯的事件是相互独立的，概率是(1)让该司机求红灯数的期待与方差(2)遇到红灯时，等待30秒，求司机的修正等待时间的期待和方差解： (1)司机遇到红灯的次数遵循二项分布，BE()=6=2，D()=6=。(2)根据已知=30，E()=30E()=60，D()=900D()=1 200。求离散型随机变量x的方差(1)理解x的意思，写出x能取的所有值(2)求出x取各值的概率，写出分布列(3)根

5、据分布列，根据期望的定义求出E(X )由(4)式订正方差。离散型随机变量方差的性质典型例已知的随机变量x的分布列x01234p型0.20.20.30.20.1试着求出D(X )和D(2X-1 )。解e(x)=00.2 10.2 20.3 30.2 40.1=1.8。d (x )=(0-1.8) 20.2 (1-1.8) 20.2 (2-1.8) 20.3 (3-1.8) 20.2利用方差的性质D(aX b)=a2D(X )。D(X)=1.56，D(2X-1)=4D(X)=41.56=6.24。一种求随机变量函数Y=aX b方差的方法求随机变量函数Y=aX b的方差，一个是求y的分布列，求其平均

6、值，最后求方差的第二个是用公式D(aX b)=a2D(X )求解。活用已知的随机变量的分布列如下01xp型p型E()=。(1)求出1)d()的值(=3-2时，求出的值。解：从分布列的性质来看，p=1，解到p=、E()=0 1 x=，x=2。(1)D()=2 2 2=。=3- 2，D()=D(3-2)=9D()=5。分散的实际问题典型例为了选拔奥运会射击选手，对甲、乙两个射手进行了选拔测试，甲、乙两个射手在一次射击中的得分是相互独立的两个随机变量、甲、乙两个射手在一次射击中的环数大于6环，甲(1)求出、的分布列(2)求出、的数学期待与方差，从而比较甲、乙的射击技术，从中选拔一人根据题意，解是0.

7、5 3a a 0.1=1，解是a=0.1。乙方命中10、9、8环的概率分别为0.3、0.3、0.2，乙方击中7环的概率为1-(0.3 0.3 0.2)=0.2。、的分布列分别为10987p型0.50.30.10.110987p型0.30.30.20.2(2)可从(1)中获得E()=100.5 90.3 80.1 70.1=9.2(环)。E()=100.3 90.3 80.2 70.2=8.7(环)。d ()=(10-9.2 ) 20.5 (9-9.2) 20.3 (8-9.2) 20.1 (7-9.2) 20.1=0. 96。d ()=(10-8.7 ) 20.3 (9-8.7) 20.3 (

8、8-8.7) 20.2 (7-8.7) 20.2=1. 21。由于E()E()，说明甲平均命中的环数比乙高而且，D()D(X乙)、乙种水稻比甲种水稻分蘖更整齐。如果在x到b (n，p )之间，E(X)=6，D(X)=3，则P(X=1)的值为()A.32-2 B.2-4C.32-10 D.2-8分析： C E(X)=np=6，D(X)=np(1-p)=3，p=，n=12，P(X=1)=C11=32-10。3 .如果设随机变量x的概率分布矩阵为p (x=k )=PK (1p )1k (k=0，1 )，则E(X )和D(X )的值分别为()A.0和1 B.p和p2C.p和1-p D.p和(1-p)p

9、解析：选择d是从x的分布得知的，因为P(X=0)=1-p，P(X=1)=p，所以E(X)=0(1-p) 1p=p。已知随机变量X =8，如果是xb (10，0.6 )，则E()、D()分别为()A.6和2.4 B.2和2.4C.2和5.6 D.6和5.6分析： b-x到b (10，0.6 )，E(X)=100.6=6，D(X)=100.6(1-0.6)=2.4E()=8-E(X)=2，D()=(-1)2D(X)=2.4。设定为5.10x1d(2 )B.D(1)=D(2 )C.D(1)D(2 )。6 .如果事件在一次测试中发生的次数的方差等于0.25，则该事件在一次测试中发生的概率为_。分析：如

10、果将事件在一次实验中发生的次数设为，则按照二点分布，由于D()=p(1-p )，所以p(1-p)=0.25，p=0.5。回答：0.5已知7概率变量x遵循二项分布B(n，p )。 如果E(X)=30，而D(X)=20，则p=_ _ _ _ .分析：可从E(X)=30、D(X)=20获得解p=.答案：8 .已知离散型随机变量x的分布如下表所示x-1012p型a乙c如果E(X)=0，D(X)=1，则a=_ _ _ _ _ _，b=_ _ .解析：从题意求解a=、b=c=.答案：9.A、b两个投资项目的利润率分别为随机变量X1和X2，根据市场分析，X1和X2的分布列分别为X15%10%p型0.80.2X22%8%12%p型0.20.50.3对a、b两个项目分别投资100万元，Y1和Y2分别表示投资项目a和b得到的利润，求方差D(Y1)、D(Y2)。解：从问题设定可以看出Y1和Y2的分布列分别是Y1510p型0.80.2Y22812p型0.20.50.3E(Y1)=50.8 100.2=6，D(Y1)=(5-6)20.8 (10-6)20.2=4。E(Y2)=20.2 80.5 120.3=8，d (y2)=(2-8) 20.2 (8-8) 20.5 (12-8 ) 20.3=12。10 .根据过去的统订资料，某车主购买甲种保险