2013版高中数学全程复习方略 8.1 直线的倾斜角与斜率、直线的方程课件 理

1、第一节 直线的倾斜角与斜率、直线 的方程,完全与教材同步，主干知识精心提炼。素质和能力源于基础，基础知识是耕作“半亩方塘”的工具。视角从【考纲点击】中切入，思维从【考点梳理】中拓展，智慧从【即时应用】中升华。科学的训练式梳理峰回路转，别有洞天。去尽情畅游吧，它会带你走进不一样的精彩！,三年3考 高考指数: 1.理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式； 2.能根据两条直线的斜率判断这两条直线平行或垂直； 3.掌握确定直线位置的几何要素； 4.掌握直线方程的几种形式(点斜式、两点式及一般式等)，了解斜截式与一次函数的关系.,1.直线的斜率、方程以及两直线的位置关系是高考的重点

2、； 2.常与圆锥曲线综合命题，重点考查函数与方程思想和数形结合思想； 3.多以选择题和填空题的形式出现，属于中低档题目.,1.直线的倾斜角与斜率 (1)直线的倾斜角 一个前提：直线l与x轴_； 一个基准：取_作为基准； 两个方向：x轴正方向与直线l向上方向. 当直线l与x轴平行或重合时，规定：它的倾斜角为_.,相交,x轴,0,(2)直线的斜率 定义：若直线的倾斜角不是90,则斜率k=_; 计算公式：若由A(x1,y1),B(x2,y2)确定的直线不垂直于x 轴，则k=_.,tan,【即时应用】 (1)过点M(-2,m)，N(m,4)的直线的斜率为1，则m的值为_； (2)直线 的倾斜角为_.

3、【解析】(1)由斜率公式得： =1，解得m=1. (2) 的斜率 即倾斜角的正切值tan= ，又0， 答案：(1)1 (2),2.两条直线的斜率与它们平行、垂直的关系,直线l1 、l2不重合，斜率分别为k1，k2且都存在,l1l2,k1=k2,l1l2,k1k2=-1,【即时应用】 (1)已知直线l1过点A(-1,1)和B(-2,-1),直线l2过点C(1,0)和D(0,a),若l1l2,则a=_； (2)直线l的倾斜角为30，若直线l1l，则直线l1的斜率k1=_；若直线l2l,则直线l2的斜率k2=_.,【解析】(1)l1与l2的斜率分别为k1= k2= =-a,由l1l2可知：a=-2.

4、 (2)由直线斜率的定义知，直线l的斜率k=tan30= l1l， ll2, 答案：(1)-2 (2),3.直线方 程的几种 形式,斜率k与点 （x1,y1）,斜率k与直线在y轴上的截距b,两点（x1,y1），（x2,y2）,直线在x轴、y轴上的截距分别为a、b,不含直线x=x1,不含垂直于x轴的直线,不含直线x=x1（x1=x2)和直线y=y1(y1=y2),不含垂直于坐标轴和过原点的直线,平面直角坐标系内的直线都适用,【即时应用】 (1)思考：过A(x1,y1)、B(x2,y2)两点的直线方程能否写成(x2-x1)(y-y1)=(y2-y1)(x-x1)？,提示：能写成(x2-x1)(y-

5、y1)=(y2-y1)(x-x1). 当x1x2且y1y2时，直线方程为： ，可化为上式； 当x1x2，y1=y2时，直线方程为：y=y1也适合上式； 当y1y2，x1=x2时，直线方程为：x=x1也适合上式； 综上可知：过A(x1,y1)、B(x2,y2)两点的直线方程能写成(x2-x1)(y-y1)=(y2-y1)(x-x1).,(2)已知直线l经过点P(-2,5),且斜率为 ，则直线l的方程为_. 【解析】由直线的点斜式方程得，直线l的方程为： y-5= (x+2)，即3x+4y-14=0. 答案：3x+4y-14=0,(3)经过两点M(1,-2)，N(-3,4)的直线方程为_. 【解析

6、】经过两点M(1,-2)，N(-3,4)的直线方程为 即3x+2y+1=0. 答案：3x+2y+1=0,例题归类全面精准，核心知识深入解读。本栏目科学归纳考向，紧扣高考重点。【方法点睛】推门只见窗前月：突出解题方法、要领、答题技巧的指导与归纳；“经典例题”投石冲破水中天：例题按层级分梯度进行设计，层层推进，流畅自然，配以形异神似的变式题，帮你举一反三、触类旁通。题型与方法贯通，才能高考无忧！,直线的倾斜角与斜率 【方法点睛】 1.斜率的求法 (1)定义法：若已知直线的倾斜角或的某种三角函数值,一 般根据k=tan求斜率； (2)公式法：若已知直线上两点A(x1,y1),B(x2,y2)，一般根

7、据斜 率公式 求斜率.,2.直线的斜率k与倾斜角之间的关系 【提醒】对于直线的倾斜角，斜率k=tan(90)，若已知其一的范围可求另一个的范围.,0,k0,不存在,k 0,【例1】(1)(2011 福州模拟)直线x+(a2+1)y+1=0的倾斜角的取值范围是( ) (A)0, (B) ,) (C)0, ( ,) (D) , ) ,) (2)已知两点A(m,n)，B(n,m)(mn)，则直线AB的倾斜角为_. (3)已知点A(2,-3)，B(-3,-2)，直线l过点P(1,1)且与线段AB有交点，则直线l的斜率k的取值范围为_.,【解题指南】(1)直线倾斜角与直线的斜率有关，而已知直线的方程，因

8、此可先求直线的斜率，由斜率的取值范围求直线倾斜角的取值范围；(2)先由公式法求出斜率，再求倾斜角；(3)直线l的斜率的取值范围，可由直线PA、PB的斜率确定；也可先写出直线l的方程，再由点A、B在直线l的异侧(或A、B之一在l上)求解.,【规范解答】(1)选B.因为直线x+(a2+1)y+1=0的斜率 k= ，且-1 0，所以直线的倾斜角的取值范围是 . (2)因为A(m,n)，B(n,m)(mn)，所以直线AB的斜率k= 所以直线的倾斜角为 答案：,(3)方法一：因为A(2,-3)、B(-3,-2)、P(1,1)， 所以 如图所示：,因此，直线l斜率k的取值范围为k-4或k . 方法二：依题

9、设知，直线l的方程为：y-1=k(x-1)，即kx-y+1-k=0,若直线l与线段AB有交点，则A、B两点在直线l的异侧(或A、B之一在l上) 故(2k+4-k)(-3k+3-k)0，即(k+4)(4k-3)0, 解得：k-4或k . 答案：k-4或k,【互动探究】本例(1)中的直线方程改为“ (-a2+1)x+y+1 =0”，结果如何？ 【解析】由直线方程(-a2+1)x+y+1=0可得该直线的斜率k=a2- 1-1，所以直线的倾斜角的取值范围为0 或 .,【反思感悟】1.直线的斜率与倾斜角之间的关系是重要的解 题线索，如本例第(1)题由直线的方程，可求出直线的斜率， 由斜率的取值范围可求出

10、直线倾斜角的取值范围； 2.已知倾斜角的取值范围，求斜率的取值范围，实质上是求 k=tan的值域问题；已知斜率k的取值范围求倾斜角的取值范 围，实质上是在0， )( ，)上解关于正切函数的三 角不等式问题.由于函数k=tan在0， )( ，)上不 单调，故一般借助函数图象来解决此类问题.,【变式备选】若直线l:y=kx- 与直线2x+3y-6=0的交点位于第一象限，则直线的倾斜角的取值范围是( ) (A) ) (B)( ) (C)( ) (D) ,【解析】选B.直线l恒过定点 (0,- ),作出两直线的图象，如 图所示，从图中可以看出，直 线l的倾斜角的取值范围应为 ( ).,直线平行、垂直关

11、系的判断及应用 【方法点睛】 两直线平行、垂直的判断方法 (1)已知两直线的斜率存在 两直线平行两直线的斜率相等且在坐标轴上的截距不等； 两直线垂直两直线的斜率之积等于-1；,(2)已知两直线的一般方程 可利用直线方程求出斜率，转化为第一种方法，或利用以下方法求解：,A1A2+B1B2=0,【例2】(1)(2012 武汉模拟)“a=1”是“直线x+y=0和直线x-ay=0相互垂直”的( ) (A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件 (C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件 (2)(2012 梅州模拟)如果直线l1:x+2my-1=0与直线l2:(3m-1)x-my-1=0平行，则实数m的值

12、为_；,(3)已知长方形ABCD的三个顶点的坐标分别是A(0,1)，B(1,0),C(3,2),求第四个顶点D的坐标. 【解题指南】(1)本题关键是看由a=1是否能得出两直线垂直，由两直线垂直是否能得出a=1；(2)对参数m进行讨论，利用两直线斜率相等求值；(3)设所求点的坐标为D(x,y)，利用长方形的性质得出关于x、y的方程组，解方程组即可得出D点的坐标.,【规范解答】(1)选C.当a=1时，直线x-ay=0可化为x-y=0, 此时x+y=0和直线x-ay=0相互垂直； 当直线x+y=0和直线x-ay=0相互垂直时，11+1(-a)=0, 解得：a=1, 因此，“a=1”是“直线x+y=0

13、和直线x-ay=0相互垂直”的充要条件. (2)当m=0时，l1:x-1=0,l2:-x-1=0, 显然l1l2.,当m0时，l1:y= l2:y= l1l2， ，解得 综上可知，m=0或m= . 答案：0或,(3)设D的坐标为D(x,y)，因为四边形ABCD为长方形，所以， 即 解得 ，即点D的坐标为(2,3).,【互动探究】本例(3)中条件不变，试求该四边形的四条边所在的直线方程. 【解析】因为A(0,1)，B(1,0)，所以AB边所在的直线方程为： ,即x+y-1=0; 又因为B(1,0)，C(3,2)，所以BC边所在的直线方程为： ，即x-y-1=0； 同理可得：CD边所在的直线方程为

14、：x+y-5=0； AD边所在的直线方程为：x-y+1=0.,【反思感悟】通过本例的解析过程可知，处理两直线的位置关系，在两直线斜率都存在的前提下，利用两直线的斜率和在y轴上的截距去处理；若直线的斜率不存在，则可考虑数形结合.,【变式备选】若直线l过点(-1,2)且与直线2x-3y+4=0垂直，则直线l的方程为_. 【解析】方法一：直线2x-3y+4=0的斜率为: 设所求直线的斜率为k， 所求直线与直线2x-3y+4=0垂直，kk=-1, 所求直线方程为 即:3x+2y-1=0.,方法二：由已知,设所求直线l的方程为： 3x+2y+C=0. 又l过点(-1,2),3(-1)+22+C=0, 得

15、:C=-1, 所以所求直线方程为3x+2y-1=0. 答案：3x+2y-1=0,直线方程的综合应用 【方法点睛】 直线方程综合问题的类型及解法 (1) 与函数相结合的问题：解决这类问题，一般是利用直线方程中的x、y的关系，将问题转化为关于x(或y)的某函数，借助函数的性质解决； (2)与方程、不等式相结合的问题：一般是利用方程、不等式的有关知识(如方程解的个数、根的存在问题，不等式的性质、基本不等式等)来解决.,【例3】已知直线l过点P(3,2),且与x 轴、y轴的正半轴分别交于A、B两点, 如图所示,求ABO的面积的最小值及 此时直线l的方程. 【解题指南】先设出AB所在的直线方程，再求A、

16、B两点的坐标，写出表示ABO的面积的表达式，最后利用相关的数学知识求出最值.,【规范解答】方法一：由题可设A(a,0),B(0,b)(a0,b0),则直线l的方程为 l过点P(3,2), b= 且a3,b2. 从而 故有,当且仅当 即a=6时,(SABO)min=12,此时 此时直线l的方程为 即2x+3y-12=0. 方法二：由题可设直线方程为 代入P(3,2),得 得ab24,从而 当且仅当 时,等号成立,SABO取最小值12，,此时 此时直线l的方程为2x+3y-12=0. 方法三：依题意知,直线l的斜率存在. 设直线l的方程为y-2=k(x-3)(k0), 则有A(3- ,0),B(0

17、,2-3k), SABO= (2-3k)(3- ) =,= 当且仅当 ,即k= 时,等号成立，SABO取最小值12. 此时，直线l的方程为2x+3y-12=0. 方法四：如图所示,过P分别作x轴, y轴的垂线PM,PN,垂足分别为M,N. 设=PAM=BPN, 显然(0, )， 则SABO=SPBN+S四边形NPMO+ SPMA,当且仅当 即tan= 时,SABO取最小值12, 此时直线l的斜率为 其方程为2x+3y-12=0.,【反思感悟】1.此题是直线方程的综合应用，解题时，可灵活运用直线方程的各种形式，以便简化运算. 2.以直线为载体的面积、距离的最值问题，一般要结合函数、 不等式的知识

18、或利用对称性解决.,【变式训练】已知直线l:kx-y+1+2k=0(kR). (1)证明：直线l过定点； (2)若直线不经过第四象限，求k的取值范围; (3)若直线l交x轴负半轴于A,交y轴正半轴于B,AOB的面积为S(O为坐标原点)，求S的最小值并求此时直线l的方程.,【解析】(1)直线l的方程是：k(x+2)+(1-y)=0, 令 ,解得 无论k取何值，直线总经过定点(-2,1). (2)由方程知，当k0时直线在x轴上的截距为 ，在y轴 上的截距为1+2k，要使直线不经过第四象限，则必须有 ,解之得k0; 当k=0时，直线为y=1，符合题意，故k0.,(3)由l的方程，得A( ,0),B(

19、0,1+2k). 依题意得 解得k0. “=”成立的条件是k0且4k= ,即 Smin=4,此时l的方程为:x-2y+4=0.,把握高考命题动向，体现区域化考试特点。本栏目以最新的高考试题为研究素材，解析经典考题，洞悉命题趋势，展示现场评卷规则。对例题不仅仅是详解评析，更是从命题层面评价考题，从备考角度提示规律方法，拓展思维，警示误区。【考题体验】让你零距离体验高考，亲历高考氛围，提升应战能力。为你顺利穿越数学高考时空增添活力，运筹帷幄、决胜千里。,【创新探究】与直线方程有关的创新命题 【典例】(2011 安徽高考)在平面直角坐标系中，如果x与y都是整数，就称点(x,y)为整点，下列命题中正确

20、的是_(写出所有正确命题的编号). 存在这样的直线，既不与坐标轴平行又不经过任何整点 如果k与b都是无理数，则直线y=kx+b不经过任何整点 直线l经过无穷多个整点，当且仅当l经过两个不同的整点,直线y=kx+b经过无穷多个整点的充分必要条件是：k与b都是有理数 存在恰经过一个整点的直线 【解题指南】存在性问题，只需举出一种成立情况即可，恒成立问题应根据推理论证后才能成立；注意数形结合，特例的取得与一般性的检验应根据命题的特点选择合适的情形.,【规范解答】正确.例如y= ,当x是整数时,y是无理 数,(x,y)不是整点；不正确,如 过整点(1,0)； 设y=kx(k0)是过原点的直线，若此直线过两个整点(x1,