动力学普遍方程与拉格郎日方程.ppt

1、动力学的一般方程、拉格朗日方程和达朗贝尔原理将粒子系统的动力学问题转化为虚拟静态平衡问题。虚位移原理是用解析法求解质点系静平衡问题的一般原理。把它们结合起来，我们就可以得到处理粒子系统动力学的一般动力学方程。在这个方程的广义坐标变换之后，我们可以导出拉格朗日运动方程。拉格朗日方程为建立质点系统的运动微分方程提供了一种非常方便有效的方法，广泛应用于振动理论和质点系统动力学中。16.1 DynamiCS的一般方程，对于由n个粒子组成的粒子系统，在任何时刻，作用在系统中任何粒子mi上的力是：主力的主矢量，约束反作用力的主矢量。给质点加上惯性力，达朗贝尔原理：虚平衡状态，虚位移原理：给定任意一组虚位移

2、，理想约束，(16-2)，(16-1)，表明对于具有理想约束的质点系统，在任意时刻作用于其上的主动力和惯性力的虚功之和等于零。动力学的一般方程。共同点：独立方程的数目等于没有理想约束反作用力的自由度。区别：在一般的动力学方程中，除了主要的力，还有惯性力。动力学的一般方程和静力学的一般方程：例16-1瓦特离心调速器绕垂直固定轴Oy匀速旋转，如图16-1所示。球a和b的质量是m，套筒c的质量是m，它可以在没有摩擦力的情况下沿垂直轴滑动。其中OA=OB=l，OD=OE=DC=EC=a，不考虑每个杆的重量，不考虑每个铰链和轴承的摩擦力，试着找出调速器在稳定运动时的开启角度。解：(1)受力分析，球A和球

3、B作匀速圆周运动并加速，作用在球A和球B上的惯性力分别为：(2)虚拟位移分析，系统有一个自由度，A作为广义坐标。(3)通过应用一般动力学方程，第二个解a=0是不稳定的。只要有轻微的扰动，调速器就会有一个开度角，最后在第一个解给出的位置上相对平衡。在图16-2所示的系统中，块体A的质量为m，接触面处的滑动摩擦系数为fs，均质圆柱体的质量为m。不管绳索重量和天车质量如何，当系统运动时，试着找出质量A的加速度和圆柱体的质心C。解决方案：该系统是一个以A块滑动摩擦为主要驱动力的二自由度系统，可用一般动力学方程求解。(1)力分析，以xA和xC为广义坐标，质量a的加速度、圆柱体的质心c和圆柱体的角加速度分

4、别为，给质量a以虚位移，给点c以虚位移，系统的惯性力和惯性耦合力矩分别为，(2)虚位移分析，当系统加入惯性力时，系统处于虚平衡状态。圆柱体的虚拟旋转角度是，(3)求解，通过和的独立性，我们得到，这是系统的运动微分方程。讨论：(1)只有当它符合问题的意思时。如果，那么，(2)由于广义虚位移的独立性，当惯性力加到系统上时，它可以分别作出；还有系统的运动微分方程可以通过应用一般的动力学方程直接得到。拉格朗日方程，由于系统中每个质点的虚位移不是独立的，用一般的动力学方程求解复杂的动力学问题时，很难找到虚位移之间的关系。如果用广义坐标来变换一般的动力学方程，就可以得到一组具有相同自由度的独立运动微分方程

5、，这使得该方程更加简洁，便于应用。假设具有理想完整性约束的粒子系统有k个自由度，取广义坐标q1，q2，qk。任何粒子mi的矢量直径ri可以表示为广义坐标和时间的函数，16.2.1拉格朗日方程，ri=(q1，q2，qk；T) (16-3)，(16-4)，虚位移：代入一般动力学方程，可以得到，(16-5)，广义坐标qj对应的广义力qj，广义坐标Qj对应的广义惯性力Qji，(16-7)。拉格朗日变换公式：(1)速度对广义速度的偏导数，(16-9)，(2)速度对广义坐标的偏导数，(16-12)，不包括广义速度。对于一个完整的约束系统，我们可以从的独立性得到，(16-14)，方程(16-14)是由k个二

6、阶常微分方程组成的方程组。如果我们求解这个方程组，我们就可以得到粒子系统的运动方程。第二类拉格朗日方程，简称拉格朗日方程。拉普拉斯方程，如果主力是强有力的，势能是广义坐标和时间的函数，即V，V (Q1，Q2，QK，T)，那么，L称为拉格朗日函数或动势，而主力是强有力的拉格朗日方程，它是用广义坐标表示的一般动力学方程，适用于特征：(1)因为拉格朗日方程的数目等于系统的自由度，无论如何选择广义坐标，拉格朗日方程的形式保持不变。因此，可以根据统一的程序和步骤直接建立系统的运动微分方程。(2)在拉普拉斯方程中，只包含了动能、广义坐标、广义力或势能等标量，因此不需要分析加速度和惯性力，对于保守系统，不需

7、要分析系统的虚位移，大大简化了复杂系统动力学问题的分析和求解过程，改变了传统的矢量动力学方法。拉格朗日方程求解动力学问题的步骤：(1)分析系统的自由度，适当选择具有相同自由度的广义坐标。(2)分析速度，用广义坐标、广义速度和时间的函数表示系统的动能。(3)分析主力，找出广义力。如果主力很大，系统的势能用广义坐标表示，并得到拉普拉斯函数。如果主力不是很大，用虚功法计算广义力一般比较方便，即(4)将广义力和动能t(或拉普拉斯函数L)代入拉普拉斯方程，可以得到系统的运动微分方程。(2)计算动能。在任何时刻，滑块a的速度是0，点b的速度是0，16.2.2。例如，例16-3中由滑块a、失重刚性杆AB和摆

8、B组成的椭圆摆如图16-3所示。假设滑块a的质量为m1，摆b的质量为m2，AB=l，没有摩擦力。试着写出系统的运动微分方程。解决方案：(1)以系统为研究对象。该系统有两个自由度，滑块A的坐标X和连杆AB的转角J作为广义坐标。系统的动能，(3)求广义力。给出系统虚位移dx和DJ、(4)应用拉格朗日方程、系统运动微分方程。讨论：将点A的水平面作为零势能面，代入守恒系统的拉格朗日方程，得到系统的运动微分方程。轮甲在固定轴上运动，轮乙在平面上运动，系统有两个自由度。将两个车轮的转角作为j1和j2广义坐标，并将顺时针旋转设为正。例16-4半径为R、质量为M的同质圆轮A和B用绳索连接，如图16-4所示。不考虑绳索重量和摩擦力，计算两个车轮的角加速度和车轮B下落时车轮B质心的加速度。(2)计算动能。两个轮子的角速度等于轮子B的质心C的速度，系统的动能，(3)计算拉普拉斯函数，以通过点O的水平面为势能零平面，系统的势能，l0是系统开始运动时两个轮子中心的高度差，(4)应用拉格朗日方程，系统运动微分方程，d例16-5块A和B的质量为m，它们由三个弹簧连接，弹簧的刚度系数为k，如图16-5所示。试着在没有摩擦力的情况下找到a和b两个块的运动微分方程。(2)任意瞬时系统的