8-7多元函数微分学的几何应用.ppt

1、第八章,第七节,机动 目录 上页 下页 返回 结束,多元函数微分学的几何应用,一、空间曲线的切线和法平面,二、曲面的切平面和法线,一、空间曲线的切线与法平面,过点 M 与切线垂直的平面称为曲线在该点的,机动 目录 上页 下页 返回 结束,限位置.,空间光滑曲线在点 M 处的切线为此点处割线的极,法平面.,点击图中任意点动画开始或暂停,设空间曲线的参数方程为,设 (1) 式中的三个函数均可导，,情形1,机动 目录 上页 下页 返回 结束,各项同除以 仍为方向向量：,割线 的方向向量为:,机动 目录 上页 下页 返回 结束, 切线的方向向量，简称切向量。,曲线在 M 处的切线方程,曲线在 M 处的

2、切向量,法平面：过 M 点且与切线垂直的平面.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,特殊地,如果空间曲线方程为,法平面方程为,切线方程为,机动 目录 上页 下页 返回 结束,切向量为,解,切线方程,法平面方程,机动 目录 上页 下页 返回 结束,空间曲线方程为,情形2,机动 目录 上页 下页 返回 结束,法平面方程为,切线方程为,机动 目录 上页 下页 返回 结束,切向量为,机动 目录 上页 下页 返回 结束,利用公式，所求切向量为,则所求切线方程为,法平面方程为,解：,二、曲面的切平面与法线,机动 目录 上页 下页 返回 结束,设曲面方程为,情形1,机动 目录 上页 下页 返回 结束,在曲面

3、 S 上任取一条通过点 M0 的曲线 L ，,均可导，,并设式中的三个函数,机动 目录 上页 下页 返回 结束,此式表明，向量,与曲线在 M0 处的切向量,切平面方程为,法线方程为,机动 目录 上页 下页 返回 结束,特殊地：如果空间曲面方程形为,曲面在 M0 处的切平面方程为,曲面在 M0 处的法线方程为,令,曲面在 M0 处的法向量为,机动 目录 上页 下页 返回 结束,解,令,切平面方程,法线方程,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例4.确定正数 使曲面,在点,解: 二曲面在 M 点的法向量分别为,二曲面在点 M 相切, 故,又点 M 在球面上,于是有,相切.,与球面,机动 目录 上页

4、 下页 返回 结束, 因此有,设曲面方程为,情形2,机动 目录 上页 下页 返回 结束,机动 目录 上页 下页 返回 结束,解:,所求切平面方程为：,所求法线方程为：,机动 目录 上页 下页 返回 结束,P,Q,M,N,x, y,A,B,dz=AB : 切面z坐标的增量,z= f (x ,y), z =AN ：曲面z坐标的增量,过点M的切平面：,即：,dz,z,=AB+BN,.,dz,=AB,用切面z坐标的增量近似曲面z坐标的增量,dz,三. 全微分的几何意义,复习一元函数微分,机动 目录 上页 下页 返回 结束,切平面上点的 z 坐标的增量,因为曲面在 M0 处的切平面方程为,全微分的几何意

5、义,机动 目录 上页 下页 返回 结束,证明： 曲面,上任一点处的切平面都通过原点。,证明：在曲面上任意取一点,则通过此点的切平面为,例6：设 f ( u ) 可微，,第七节 目录 上页 下页 返回 结束,又,代入切平面方程得,第七节 目录 上页 下页 返回 结束,上任一点处的切平面都通过原点。,例7：证明曲面,平面恒与定直线平行，,证明：曲面上任一点的法向量为,取定直线的方向向量为,则,(定向量),的所有切,机动 目录 上页 下页 返回 结束,故结论成立 .,四、向量函数简介,机动 目录 上页 下页 返回 结束,1、向量函数,机动 目录 上页 下页 返回 结束,定理2：,定义4（可导性）：,

6、如果极限,机动 目录 上页 下页 返回 结束,导，其导数为,存在，,定理 3：,定理 4：,机动 目录 上页 下页 返回 结束,定义5（向量函数的积分）：,2、空间曲线的向量表示,处的导向量,就是该点的切向量.,引进向量函数,机动 目录 上页 下页 返回 结束,设空间曲线的参数方程为:,3、向量函数的物理应用,机动 目录 上页 下页 返回 结束,1. 空间曲线的切线与法平面,1) 参数方程,切向量,四、内容小结,机动 目录 上页 下页 返回 结束,切向量,2) 一般方程,1) 隐函数方程,法向量,2. 空间曲面的切平面与法线,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2) 显函数方程,法向量,3)

7、参数方程,法向量,作业,习题7-7(P108) 5，8，10，12，14,机动 目录 上页 下页 返回 结束,课堂练习,1、设,方程,是 x , y 的函数 ,连续, 且,求,确定 u,1、 如果平面,与椭球面,相切，,解: 设切点为,则,机动 目录 上页 下页 返回 结束,(二法向量平行),(切点在平面上),(切点在椭球面上),备用题,解,切平面方程为,法线方程为,机动 目录 上页 下页 返回 结束,解,由题意：,机动 目录 上页 下页 返回 结束,切线与法平面.,4、求曲线,在点(1,1,1) 的,解: 点 (1,1,1) 处两曲面的法向量为,因此切线的方向向量为,由此得切线:,法平面:,即,机动 目录 上页 下页 返回 结束,5、 设函数,(1) 求函数在点 M ( 1, 1, 1 ) 处沿曲线,在该点切线方向的方向导数;,(2) 求函数在 M( 1, 1, 1 ) 处的梯度与(1)中切线方向,的夹角 .,机动 目录 上页 下页 返回 结束,曲线,在点,解:,M (1,1,1) 处切线的方向向量,(1),机动 目录 上页 下页 返回 结束,解,设 为曲面上的切点,切平面方程为,依题意，切平面方程平行于已知平面，得,机动 目录 上页 下页 返回 结束,因为 是曲面上的切点，,所求切点为,满足曲面方程,则切平面方程为,机