不等式及其性质(提高)知识讲解

PAGE不等式及其性质（提高）知识讲解【学习目标】1．了解不等式的意义，认识不等式和等式都可以用来刻画现实世界中的数量关系.2.理解不等式的基本性质，并会简单应用.【要点梳理】要点一、不等式的概念一般地，用“＜”、“＞”、“≤”或“≥”表示大小关系的式子，叫做不等式．用“≠”表示不等关系的式子也是不等式．要点诠释：(1)不等号“＜”或“＞”表示不等关系，它们具有方向性，不等号的开口所对的数较大．(2)五种不等号的读法及其意义：符号读法意义“≠”读作“不等于”它说明两个量之间的关系是不相等的，但不能确定哪个大，哪个小“＜”读作“小于”表示左边的量比右边的量小“＞”读作“大于”表示左边的量比右边的量大“≤”读作“小于等于”即“不大于”，表示左边的量不大于右边的量“≥”读作“大于等于”即“不小于”，表示左边的量不小于右边的量(3)有些不等式中不含未知数，如3＜4，-1＞-2；有些不等式中含有未知数，如2x＞5中，x表示未知数，对于含有未知数的不等式，当未知数取某些值时，不等式的左、右两边符合不等号所表示的大小关系，我们说不等式成立，否则，不等式不成立．【高清课堂：一元一次不等式\o"查看资源信息"370042不等式的基本性质】要点二、不等式的基本性质不等式的基本性质1：不等式的两边都加上(或减去)同一个数或同一个整式，不等号的方向不变．用式子表示：如果a＞b，那么a±c＞b±c不等式的基本性质2：不等式两边都乘以(或除以)同一个正数，不等号的方向不变．用式子表示：如果a＞b，c＞0，那么ac＞bc(或)．不等式的基本性质3：不等式两边乘以(或除以)同一个负数，不等号的方向改变．用式子表示：如果a＞b，c＜0，那么ac＜bc(或)．不等式的基本性质4：如果a＞b，那么b＜a.不等式的基本性质5：如果a＞b，b＞c，那么a＞c.要点诠释：对不等式的基本性质的理解应注意以下几点：(1)不等式的基本性质是对不等式变形的重要依据，是学习不等式的基础，它与等式的两条性质既有联系，又有区别，注意总结、比较、体会．(2)运用不等式的性质对不等式进行变形时，要特别注意性质2和性质3的区别，在乘(或除以)同一个数时，必须先弄清这个数是正数还是负数，如果是负数，不等号的方向要改变．【典型例题】类型一、不等式的概念 1．有数颗等重的糖果和数个大、小砝码，其中大砝码皆为5克、小砝码皆为1克，且下图是将糖果与砝码放在等臂天平上的两种情形，判断下列正确的情形是().【思路点拨】根据图示可知1个糖果的质量＞5克，3个糖果的质量＜16克，依此求出1个糖果的质量取值范围，再在4个选项中找出情形正确的．【答案】D.【解析】解：由图(1)知，每一个糖果的重量大于5克，由图(2)知：3个糖果的重量小于16克，即每一个糖果的重量小于克．故A选项错；两个糖果的重量小于克故B选项错；三个糖果的重量大于15克小于16克故C选项错，四个糖果的重量小于克故D选项对．【总结升华】观察图示，确定大小．本题涉及的知识点是不等式，涉及的数学思想是数形结合思想，解决问题的基本思路是根据图示信息列出不等式．举一反三：【变式】设“▲”、“●”、“■”分别表示三种不同的物体，现用天平秤两次，情况如图所示，那么▲、●、■这三种物体按质量从大到小排列应为（）.

A．■、●、▲B．▲、■、●C．■、▲、●D．●、▲、■【答案】C.类型二、不等式的基本性质2.下面四个命题：（1）,则；（2），则；（3）若，则；（4）若，则.其中正确的个数是（）.A.1个B.2个C.3个D.4个【答案】B.【解析】(1)由得，因为>0,所以，正确；（2）因为，当时，，所以错误；（3）因为，当时，没有意义，而当时，，所以错误；（4）因为，所以，，正确.【总结升华】不等式的基本性质是不等式变形的主要依据，要认真弄清楚不等式的基本性质与等式的基本性质的异同点，特别是不等式两边同时乘以（或除以）同一个数时，不仅要考虑这个数不等于0，而且先必须确定这个数是正数还是负数.3.（春•十堰期末）若2a+b=12，其中a≥0，b≥0，又P=3a+2b．试确定P的最小值和最大值．【答案与解析】解：∵2a+b=12，a≥0，b≥0，∴2a≤12．∴a≤6．∴0≤a≤6．由2a+b=12得；b=12﹣2a，将b=12﹣2a代入P=3a+2b得：p=3a+2（12﹣2a）=24﹣a．当a=0时，P有最大值，最大值为p=24．当a=6时，P有最小值，最小值为P=18．【总结升华】本题主要考查的解一元一次不等式和整式的加减，由已知条件确定出a的范围以及得出p=24﹣a是解题的关键．4.若关于x、y的二元一次方程组的解满足x+y＜2，则a的取值范围是________．【思路点拨】观察方程组不难发现只要把两个方程相加即能求出x+y的值．因为x+y＜2，故可以构建关于a的不等式．然后利用不等式的性质就能求出a的取值范围．【答案】a＜4【解析】解：将两方程相加得：4x+4y＝4+a．将方程的两边同除以4得．依题意：．将不等式的两边同乘以4得4+a＜8．将不等式的两边同时减去4得a＜4．故a的取值范围是a＜4．【总结升华】解关于x的一元一次不等式，就是要将不等式逐步化为x＞a或x＜a的形式，化简的依据是不等式的性质．举一反三：【变式1】（春•沙河市期末）若关于x的不等式（1﹣a）x＞3可化为，则a的取值范围是．【答案】a＞1．解：关于x的不等式（1﹣a）x＞3可化为，1﹣a＜0，a＞1.【高清课堂：一元一次不等式\o