08年4月28.ppt

1、帆船在海面上乘风远航，确定最佳的航行方向及帆的朝向,简化问题,海面上东风劲吹，设帆船要从A点驶向正东方的B点，确定起航时的航向，,2.8 启帆远航,模型分析,风(通过帆)对船的推力w,风对船体部分的阻力p,推力w的分解,阻力p的分解,p=p1+p2,模型假设,w与帆迎风面积s1成正比，p与船迎风面积s2成正比，比例系数相同且 s1远大于 s2，,f1航行方向的推力,p1 航行方向的阻力,w1=wsin(-),f1=w1sin=wsin sin(-),p1=pcos,模型假设,w2与帆面平行，可忽略,f2, p2垂直于船身，可由舵抵消,模型建立,w=ks1, p=ks2,船在正东方向速度分量v1

2、=vcos,航向速度v与力f=f1-p1成正比,v=k1(f1-p1),2) 令 = /2, v1=k1 w(1-cos)/2 -pcoscos 求使v1最大（w=ks1, p=ks2）,1) 当固定时求使f1最大,f1=wcos(-2)-cos/2,= k1(f1-p1)cos,f1=w1sin=wsin sin(-),p1=pcos,求, ,使 v1最大,模型建立,v1=vcos,模型求解,60 75,1 t 2,备注,只讨论起航时的航向，是静态模型 航行过程中终点B将不在正东方,记 t=1+2s2/s1, k2=k1w/2,=( k1w/2)1-(1+2p/w)coscos ,w=ks1

3、, p=ks2,1/4cos 1/2,模型求解,v1=k1 w(1-cos)/2 -pcoscos ,s1 s2,背景一,2.7 核军备竞赛,为什么研究军备竞赛？一个理由是，几乎所有的现代战 争都是以反复无常的军备竞赛为前导的。有力的证据表明， 强国之间的军备竞赛，以军事能力方面的迅速提升为特征， 是战争的预警指示器。加拿大的米歇尔.华莱士研究了 18161965年的99件国际争端，他发现，有反复军备竞赛 在前的28次争端中有23次升级为战争，而没有军备竞赛先 行的71次争端中只有3次导致战争。 另一个理由是，如果军备竞赛可以由一个数学模型来 近似，对它的理解就会更加具体。现实社会往往要质疑：

4、 民防会削弱军备竞赛吗？采用移动导弹发射台会降低军备 需求吗？你将会看到，存在着的引向军备竞赛的客观现实， 也正是数学模型意欲捕获的。,冷战时期美苏声称为了保卫自己的安全，实行“核威慑战略”，核军备竞赛不断升级。,随着前苏联的解体和冷战的结束，双方通过了一系列的核裁军协议。,在什么情况下双方的核军备竞赛不会无限扩张，而存在暂时的平衡状态。,当一方采取加强防御、提高武器精度、发展多弹头导弹等措施时，平衡状态会发生什么变化。,估计平衡状态下双方拥有的最少的核武器数量，这个数量受哪些因素影响。,背景二,附,前任参谋长联席会议主席Maxwell D. Taylor将军为美国 战略核力量提出如下核威慑目

5、标： 战略核力量拥有实施大规模破坏的绝无仅有的能力，它们必须能 够在大规模的第一次打击之后生存下来，而且还能够破坏足够的敌方 目标，也就是摧毁对于决定战争与和平的国家领导人十分敏感的有效 政府、社会和经济，从而消灭苏联（苏联人发动先发制人的第一次打 击来摧毁美国的核力量）。我们需要的武器数量将足以摧毁这个体系 内部若干特定目标，其中，少数加固的地下发射井需要由具备一定精 度和较短飞行时间的洲际弹道导弹来完成打击（需要最低数量的导弹 摧毁特别选定的敌方目标，一般地指人口和工业中心）。作为一个安 全因素，我们应当增添额外的武器，以求补偿在第一次打击中可能蒙 受的损失以及武器性能的不确定性。总的武器

6、需求量应当大体上少于 我们现在的军火库中可供使用的数量（需要附加的导弹来补偿在假想 的第一次打击中遭受的损失，附加导弹的数量依赖于苏联导弹力量的 规模和军力。在实现这些目标的前提下美国核武库是允许裁减的）。,以双方(战略)核导弹数量描述核军备的大小。,假定双方采取如下同样的核威慑战略：,认为对方可能发起所谓第一次核打击，即倾其全部核导弹攻击己方的核导弹基地（敌方战略）；,乙方在经受第一次核打击后，应保存足够的核导弹，给对方重要目标以毁灭性的打击（友方战略）。,在任一方实施第一次核打击时，假定一枚核导弹只能攻击对方的一个核导弹基地。,摧毁这个基地的可能性是常数，它由一方的攻击精度和另一方的防御能

7、力决定。,模型假设,图的模型,y=f(x)甲方有x 枚导弹，乙方（为了实现其战略）所需的最少导弹数,x=g(y)乙方有y 枚导弹，甲方（为了实现其战略）所需的最少导弹数,当 x=0时 y=y0，y0乙方的威慑值,y0甲方实行第一次打击后已经没有导弹，乙方为毁灭甲方工业、交通中心等目标所需导弹数（或者甲为零）,P(xm,ym),乙安全区,甲安全区,双方 安全区,P平衡点(双方最少导弹数),乙安全线,己方友对方敌,交点的唯一性考虑：,先简单考虑一下接下来我们希望更加准确的确定图象 的形状。,精细模型,乙方残存率 s 甲方一枚导弹攻击乙方一个基地，基地未被摧毁的概率。,sx个基地未摧毁，yx个基地未

8、攻击。,xy,甲方以 x攻击乙方 y个基地中的 x个,y0=sx+yx,x=y,y0=sy,乙的xy个被攻击2次，s2(xy)个未摧毁； y (xy)=2y x个被攻击1次，s(2y x )个未摧毁,y0= s2(xy)+ s(2y x ),x=2y,y0=s2y,yx2y,（1）,（2）,（3）,（4）,现在我们把前面所有的情形结合成一个单一的图象。为方便我们要认定，刚才 讨论的离散状态固然给出最低导弹数，其实可以由一个连续模型来表现（引起 导弹的分数值）。,首先，我们看到方程（1）和（3）都代表直线线段，第一段对于xy而第二段 对于yx2y.在情形1中，由xy我们得到方程y0=y-x+sx

9、，当x趋近于y时，这 个最后的方程变为y0=sy.在情形3中，由y2x2y我们得到方程 和前面一样， 当x趋近于y时这个方程变为y0=sy,这样两条线段相交于x=y处，且有相同的值 y=y0/s.最后，当X趋近于2y时，方程3变为4。,这些观察意味着由方程1和3定义的两条线段形成与直线y=x和2y=x相交的连 续曲线。此外，由方程3代表的线段具有斜率(1-s)/(2-s),小于由方程1代表的 线段斜率1-s.这样曲线的分段线性的且有递减的斜率。,a交换比(甲乙导弹数量比),x=a y,精细模型,x=y, y=y0/s,x=2y, y=y0/s2,y0威慑值,s残存率,y是一条上凸的曲线,y0变大，曲线上移、变陡,s变大，y减小，曲线变平,a变大，y增加，曲线变陡,xy, y= y0+(1-s)x,yx2y,甲方增加经费保护及疏散工业、交通中心等目标,乙方威慑值 y0变大,甲方的被动防御也会使双方军备竞赛升级。,（其它因素不变）,乙安全线 y=f(x)上移,模型解释,平衡点PP,甲方将固定核导弹基地改进为可移动发射架,乙安全线y=f(x)不变,甲方残存率变大,威慑值x 0和交换比不变,x减小，甲安全线x=g(y)向y轴靠近,模型解