1998年大学生数学建模优秀论文投资收益和风险问题

1、本文作者：谭浩，赵羚，严哲峰，获 9 8 全赛成功参赛奖. 摘要 本文借鉴了金融投资理论，在进一步明确“风险”和“总风险”这两个概念 的基础上，将本问题归并为非线性规划问题。在求解过程中，充分利用了 G i n o 软件，并提出了多种求解准则。 首先，文中提出了一个“基本模型” 。接着为使求解方案更接近实际，文中 通过修正“总风险”的定义，提出了稳利降险、限险求利、图形模拟等模型， 绘制了 “收益风险遍历图” ， 使针对不同类型的投资者的投资方案更具有直观性， 并对模型进行了优化。然后，我们为使模型更加符合实际，提出了两种改进方 案。我们还借鉴层次分析法的思想，引入了对方案的评估准则。另外，我

2、们将 模型推广到一个相当长的时期，并得到了一个新的连续性模型。最后，本文探 讨了本模型在其他领域内的一些应用。 问题的提出 随着社会经济的发展，人们逐渐地认识到，为了获得较好的收益，应将闲置资金 进行投资。某公司有数额为 M 的资金要用于投资，公司的财务分析人员对可投资的 n 种资产 Si (i =1 n)进行了评估，预测出了 Si的风险 qi和平均收益率 ri。同时公司规定， 当购买若干种资产时，总风险由投资量最大的资产的风险来度量。 购买 Si应付的交易费费率为 pi，并且当购买量不超过定值 ui时，交易费按购买额 为 ui来计算。另外，同期银行的存款利率为 5%，且交易费和风险均为零。

3、现要求给出一种投资组合方案，使净收益尽可能大，而总风险尽可能小。 符号说明及定义 M：公司可以投资的总资金 Si(i=1,2 n)：表示各种可投资的资产 S0：银行 Xi：购买 Si的资金份额，以百分比表示 ： 表示设定的风险。 Ri: 购买 Si的平均收益率 qi： Si的风险 Q：投资组合总风险 pi：购买 Si的费率 ui： 投资界限 当购买 Si费用低于 ui时，交易费为 uipi Rj：投资方案总的净收益率 Rji：Si的平均净收益率，其值为 ripi Rjs：投资方案总的净收益 Rjsi：投资 Si的净收益 Rjp：某一时期内的市场平均收益率 Ai：Si所占市场份额 Hi：Si的市

4、场价格 Gi：Si的上市量 Sat：投资方案满意度 满意度评判标准：当两种方案拥有相同的净收益率时，如果其中一个的风险 比另一个小时， 我们就称前者的满意度较高；当两种方案拥有相同的风险时，如果其中一个的净收益率比另一个小时， 我们就称后者的满意度较高；当两种方案一个的净收益率比另一个高，同时风险比后者低时，我们称 前者的满意度较高；在其他情况下，二者满意度无法比较。 基本假设 一， 投资行为只能发生在开始阶段, 中途不得撤资或追加投资。 二， 任一资产可购买量足够多，足以吸纳全部投资资金。 三，几种资产相互之间不会产生影响，例如股市的涨跌不会影响到债券的 涨跌。 四，财务分析人员对平均收益率

5、和风险的预测值是可信的。 五，M值足够大，大至可忽略 ui的影响。 （因为一般情况下企业的投资动辄 成百上千万元，而 ui仅为数百元，故可忽略其影响） 六，公司总会选择满意度高的方案。 问题分析 根据题中所给条件， 公司的财务分析人员对 n种资产进行了评估， 估算出了 这一时期内购买 Si的平均收益率 ri和风险损失率 qi 。根据投资理论，衡量某种 资产的优劣需要依靠两个统计指标：平均收益率和围绕平均收益率的波动程度。 前者用于衡量资产的收益状况，其定义式为： ri=pr ijij j n = 1 其中 rij表示资产 Si的第 j个收益率，pij表示资产 Si的第 j个收益率出现的概 率。

6、 后者用于衡量证券的风险状况，关于风险的定义，我们查找了有关资料： （1） 指资产未来的实际报酬低于预期报酬的机率，或是可能发生损失的机 率。 1 （2） 指投资者不能获得预期投资收益或遭受损失的可能性。2 故此，我们按参考书2来定义“风险” ，即： qi=prr ijiji j n = ()2 1 即实际收益与平均收益的均方差。 题中提出当资金用于购买若干种资产时,总体风险可用所投资的 Si中最大的 一个风险来度量.这里我们认为总风险在数值上与所投资的 Si中投资量最大的 一个资产的风险相等。 模型的建立与求解 基本模型 ? , 模型假设：由问题分析可知，在问题 1的情况下，风险值只能是 2

7、.5%， 1.5%，5.5%，2.6%，0%中的某一个。 ? , 模型的建立与求解： 当风险为 2.5%时， 此时购买 S1的资金超过了 M的一半。 剩余的资金为了追 求最大收益，都将会购买净收益率最大的资产。最后发现所有的资金全部购买 了 S1。净收益率为 27%。 当风险为 1.5%时，可得购买 S1和 S2的资金大约各占一半，S2所耗资金略多 一点。净收益率约为 23%。 当风险为 5.5%时，可得购买 S1和 S3的资金大约各占一半，S3所耗资金略多 一点。净收益率约为 22.5%。 当风险为 2.6%时，可得购买 S1和 S4的资金大约各占一半，S4所耗资金略多 一点。净收益率约为

8、22.5%。 当风险为 0%时， 可得购买 S1和 S0的资金大约各占一半， S0所耗资金略多一 点。净收益率约为 16%。 通过对以上结果的分析， 我们发现模型中未体现出总风险随投资的分散而减 小， 另外当有某种投资所耗资金超过 M的一半时， 无论其余的资金作何种投资， 总风险都不会发生变化。这些显然都是不符合实际情况的，因此我们需要对条 件进行完善。 条件完善的模型 为解决基本模型中的一些不符合实际的情况， 我们需要给投资总风险重新定 义。考虑到当同时投资两种资产时，根据风险的定义式，其总风险应为： qp=Erpjrp =E(X1r1j+X2r2j)(X1r1p+ X2r2p) =X1 q

9、1+X2 q2+2X1X212 式中的12为协方差,表示两种资产之间的关联程度,其值越大,表明其关联程 度越大。由基本假设可知各资产之间没有联系，因此12的值为零。故 qp可表示 为： qp= X1 q1+X2 q2 投资组合的这种特性可以推广到两种以上资产的情况。 当有 n种资产时， 如 每一种资产 Si的投资比例为 Xi，故有: 定义: Q=Xq ii i n 2 0 = 这样一来，我们就可得到新的模型。 模型一 稳利降险 ? , 模型假设： 在投资收益和投资风险的矛盾权衡中， 有许多投资者并不追 求收益率最大或是风险最小， 而是追求在收益率不低于市场平均收益率 的情况下，使其投资的组合风

10、险最小。 ? , 模型建立： 根据基本假设中所提出的投资原则， 我们先计算这一时期内 的市场平均收益率 Rjp。 设市场上共有 n种资产 Si（i=1 n） 可投资， 另外还可以进行储蓄。 每种资产的净收益率为 rji，所占市场份额为 Ai，Hi为 Si的市场价格， Gi为 Si的上市量。可得 R 的表达式为： Rp=Arj ii i n = 0 Ai=（HiGi）/（HG ii i n = 0 ） 由于基本假设中已设定各种资产都足够多，则不妨设各种资产所 占市场份额均相同。即 A1=A2=A3=A4=A5=1/5，这样一来： Rp=（rj1+rj2+rj3+rj4+rj0）/5=17.6%

11、就可以得到模型: min 2.5%X1 +1.5%X2 +5.5%X3 +2.6% X4 +5% X0 St. 27%X1+19%X2+18.5%X3+18.5%X4+5%X017.6% 1Xi0 X1+ X2+X3+X4+X0=1 三，模型求解：所得模型是一个线性条件约束下的非线性规划模型，我们 可以通过 0.618 法运用迭代来求得最优解。 但我们考虑到这类问题的解 法较为复杂，因此使用计算机进行计算。 我们利用 Gino 软件进行计算，最后算得当： X1=0%，X2=23.6%，X3=18.6%，X4=13.1%, X0=44.7%时，有最小 风险值 0.32%。(程序见附录 2.1)

12、模型二 限险求利 一，模型假设：激烈的市场竞争使得企业不得不重视风险的存在。为此我 们提出“限险求利”模型，即在风险一定（不大于）的情况下，给出可使总收 益率 Rj最大的投资方案。 二，模型建立：根据条件，我们可得如下模型： max Rj=Xrj ii i n = 0 S.t. Q=Xq ii i n 2 0 = Xi i n = 0 i=1 1Xi0 模型求解： 我们使用规划软件 Gino 求解问题一， 结果见表一。（程序见附录 2 . 2 ） (%) Rj(%) S1(%) S2(%) S3(%) S4(%) 银行存款(%) 0.2 14.24679 19.036 20.181 5.256

13、 11.288 44.238 0.4 18.07683 26.899 28.613 7.508 15.849 21.131 0.6 21.01571 33.026 34.949 9.189 19.383 3.453 0.8 22.74902 48.258 29.419 7.180 15.142 0.000 1.0 23.60735 58.654 24.359 5.420 11.567 0.000 1.5 25.05522 76.127 16.112 2.512 5.204 0.000 2.0 26.12382 89.114 9.822 0.329 0.735 0.000 2.4 26.8373

14、5 97.967 2.033 0.000 0.000 0.000 2.5 27.00000 100.00 0.000 0.000 0.000 0.000 2.6 27.00000 100.00 0.000 0.000 0.000 0.000 3.0 27.00000 100.00 0.000 0.000 0.000 0.000 4.0 27.00000 100.00 0.000 0.000 0.000 0.000. 5.5 27.00000 100.00 0.000 0.000 0.000 0.000 表一: 限险求利表 * 表格说明：对于问题一，表中给出：当 Q 在一定范围内（Q ）时， R

15、j的最大值及此时各资产的 配额。 模型三 图形模拟 在前两个模型中，我们给出了风险一定，收益最高和收益一定，风险最低的 方案，并给出了一些数据进行对比。但是在实际投资情况下，由于投资公司的人 员配备，资金多少，管理模式各不相同，从而使投资方案差异很大，他们的方案 也不单纯以险定利高或利定险高为最终目的。 为了对总收益与总风险进行综合考 虑，我们建立二维坐标（Rj- Q） 。 为了较好地模拟公司的投资，可以将投资公司的投资方案倾向分成三类： 1、稳妥型（如图一） 。此方案追求的是风险与投资均衡，即高风险高收益或低 风险低收益 。 2、保守型（如图二） 。此方案追求的是风险低，而不在意收益较低。

16、3、激进型（如图三） 。此方案追求的是收益高，而不在意风险相当高。 稳妥投资方案图 保守投资方案图 激进投资方案图 *图形说明： 同一条曲线上的点对投资公司而言没有区别，满意度一样，故称为无差别曲线。每一种投资类型为 曲线族（两两曲线不相交） 。曲线与 Y 轴截距越大，说明投资者的满意度越高。 当各资产投资份额不同时，即给 S1，S2，S3，S4，S0（银行）投资各不相同时， 将会得到市场总收益与市场总风险的对应关系，在二维坐标（Rj- Q）中其表示 为二维图形。 我们利用 C 语言进行编程，用离散量来模拟连续量，使四种资产以从 0%配 额开始，到 100% 结束（因五种配额总和为 100%，

17、四种确定，另一种也确定） ， 每次增加 0.5%，共模拟上亿个点，得到图四(Rj- Q）- - - 收益风险遍历图。 （程序 见附录 2.5） 图四 收益风险遍历图 图五 * 图形说明： 图五上的闭合曲线为图四中所有白点的包络线. 依据实际情况, 我们可知: A点坐标为 （0 ， 5 ） ， 其对应的投资方案是将全部资金都存入银行; B 点坐标为（2 . 5 ，2 7 ） ，其对应的投资方案是将所有的资金 都购买了资产 S1。 定理: 满意度最好的投资方案必为曲线 ABC 上的点 证明如下： 对于图五 1 、 过 C 点做垂直线的 DE。 2 、 对位于 DE 右边的 Rj- Q 点（包括 D

18、E 上的） ，其风险高于 C 点，收益低于 C 点，故他们的满意度不如 C 点。 3 、 对位于 DE 左边的 Rj- Q 点（不在曲线 ABC 上） ，任意选取一点 F，过 F 点作垂直线与曲线 ABC 交于 G 点，则 F 点的风险与 G 点相同，而收益小于 G 点，其满意度不如 G 点。 4 、 由 2，3 知，若要使满意度最好，投资方案必为曲线 ABC 上的点。 定义曲线 ABC 为投资线，其上的点之间的满意度无法直接比较,故采取何种方 案由投资公司的投资倾向决定，不妨以稳妥型为例 图六 稳妥型方案选择图 曲线交点为可选方案（D,E,F） ，由于与 Y 轴截距越大曲线满意度越高，故 F

19、 方案最佳。 保守型与激进型类似， 找出与 ABC 有交点且与 Y轴截距最大的曲线， 此交 点即为最佳方案。如图七，八。 图七 图八 保守型方案选择图 激进型方案选择图 *图形说明：找与 ABC 有交点且与 Y 轴 截距最大的曲线，则交点为最佳方案。 由这种方法， 我们就可以从总体上对各公司在实际情况下的大概决策有一个 比较直观的了解。 模型改进 完全用穷举法有很大的局限性， 当资产种类较多时，此法不可行。实际上从 图四我们知道，关键在于如何画出投资线附近点，将投资线勾勒出，而不必要 画出所有点。为此我们提出一种方案，约束搜索范围，降低复杂度。 定理：对于 Sa, Sb两种资产，若 qaqb,

20、 r jar jb, Sa满意度低于 Sb，对投资 线上的点的资产配额中必有 Xa2 qbXb/ ( qa- qb ) （一式） 证： 1 有 Xaqa+Xbqb(Xa+Xb)qb 反证： 若不是的话，将 Sa份额 Xa投入到 Sb中，由于 rjarjb, 则： Xarja+Xbrjb(Xa+Xb)rjb,则新方案收益不低于原方案。又由于 Xaqa+Xbqb(Xa+Xb)qb,则新方案风险低于原方案，故新方案满意度高于原方案。因 为投资线上的点为满意度最高的点，故原方案不在投资线上，这与题设矛盾。故必有 Xaqa+Xbqb(Xa+Xb)qb。 2由 Xaqa+Xbqb(Xa+Xb)qb，进行化

21、减合并得出下式： Xa2qbXb/ ( qa- qb) , 证明成立。 由于能够降低 Xa的搜索范围，这样就可以除去大量的无用点，从而降低了 复杂度。注意到可将（一式）转化为： Xa2Xb / (qa/qb- 1) （二式） 从此式可以看出：qa与 qb差距越大，Xa的搜索范围越小 ，除去的无用点越 多。 根据题一所给数据，组（S3，S1） ， （S3，S2） ， （S3，S4） ， （S4，S1） ， （S4，S2） 均具有以上约束关系，依据此种约束关系可以大大提高效率。为此,我们对原程 序进行修改,得到比较图图九，在步长为 1%时，原程序耗时 82.54秒，而改进程 序耗时 27.02秒仅

22、为原来的 32.7%，而两图形的投资线极其相近，这说明我们的 改进是正确的。(程序见附录 2.5) 图九 *图形说明：图九中左边的图案为原程序运行结果，右边的图案为改进程序运行结果，二者比较可以看出， 投资线极其相近，而右边的图案比左边的图案少很多点。 模型小结 我们可以证明三个模型的结果是统一的。 以模型三为例： 在图五中， 我们得到只有在曲线 A B C 上的点才会对应着最优 的投资组合。 模型一实质上是在确定了净收益率的情况下， 寻求风险最小的投资方案。 对 应到图五上，即是求一条平行与水平轴的直线与所得区域相交的点中 Q 值最小 的一点。显然，所求点为水平直线与曲线 A B C 的交点

23、。可见，二者的结果是一 致的。 模型二是在限定了风险的情况下， 寻求净收益率最大的投资方案。 对应到图 五上，即是在平面上取水平坐标为 0 的区域，并求该区域与所得区域的交集中 R j 值最大的点。在小于等于 2 . 5 的时候，该点为过（，0 ）点且与水平轴垂直 的直线与曲线 A B C 的交点。在大于等于 2 . 5 的时候，, 该点恒为 C 点。总之， 所求方案对应的点是在曲线 A B C 上的，故这两种模型的结果也是一致的。 综上所述，我们所得的三个模型的结果是相辅相成的，是可以相互证明的。 一般情况讨论 在实际情况下，可投资的资产往往很多，这时我们的模型仍然有效。 我们将题中第二问的

24、数据引入模型二。根据相同的算法，我们得到了在值 不同的情况下的一系列 Q 最优解，如下列表格所示。(程序见附录 2.3) ( %) 1 5 10 15 20 30 40 50 60 Rj(%) 15.7 28.88 35.6 37.6 38.8 40.5 41.6 42.6 43.4 X1 (%) 0.56 1.25 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 X2 (%) 1.78 3.99 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 X3 (%) 6.00 13.4 28.2 41.2 51.7 67.5 80.3 90.7 100 X4

25、 (%) 3.88 8,67 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 X5 (%) 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 X6 (%) 1.34 3.01 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 X7 (%) 4.13 9.27 14.1 16.0 16.3 15.6 12.6 9.24 0.00 X8 (%) 6.47 14.5 10.1 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 X9 (%) 4.56 10.2 11.0 7.20 1.90 0.00 0.00

26、0.00 0.00 X10 (%) 6.77 15.1 21.2 22.1 20.5 15.7 7.06 0.00 0.00 X11 (%) 0.53 1.15 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 X12 (%) 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 X13 (%) 5.56 12.4 15.4 13.4 9.50 1.15 0.00 0.00 0.00 X14 (%) 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 X15 (%) 0.99 2.19 0.00 0.

27、00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 银行(%) 57.4 4.85 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 ( 由于纸张大小有限, 只得将表格倒置) 表二 虽然我们能够通过计算机将这些数据处理出来， 但我们也应想到如果数据的 增加引起了计算机的效率下降，或是超出了计算机的内存容量时的情况，这就 迫使我们去寻找一种简化的方法。 我们注意到， 从上面的表格中可以得到这样的结论， 有些资产根本得不到投 资，还有一些只能得到很小的投资。因此我们就一定能够去掉一些不必要的点， 同时不会引入太大的误差。 当计算各资产的净收益率时，可发现 S5，S12，S1

28、4三种资产的净收益率是低 于银行利率的，但其风险是肯定大于零的。根据假设，这三种资产是肯定得不 到投资的。因此这三种资产是可以删去的，并且不会对结果产生任何影响。 我们将所有的点画在一个(Q- Rj)坐标系里，得下图： 分析图中各点我们可以发现， 越是靠上和靠左的点出现的几率越大。 结合图 形的具体意义，我们可知这种性质是正确的，越靠上的点其净收益率越高，越 靠左的点其风险越小。 因此我们只取靠左上区域的点进行计算，在本题中，我们只取 S3，S7，S8， S9，S10，S13来进行计算，结果如下. (程序见附录 2.4) (%) Rj (%) X3(%) X7(%) X8(%) X9(%) X

29、10(%) X13(%) 银行(%) 1 15.18 6.3 4.35 6.79 4.76 7.1 5.84 64.86 5 27.75 14.06 9.72 15.17 10.69 15.89 13.05 21.42 10 35.59 28.2 14.07 10.08 10.97 21.26 15.41 0 15 37.58 41.22 15.97 0 7.23 22.14 13.44 0 30 40.48 67.51 15.6 0 0 15.73 1.15 0 60 43.4 100 0 0 0 0 0 0 表三 我们给出下面的表格对优化前后的情况进行比较,. (%) 0.2 05 10

30、2 5 8 原模型 Rj (%) 9775 1258 15671 201 28876 3411 优化模型 Rj (%) 9551 12195 1518 19391 27753 33781 相对误差 （%） 229 306 313 352 389 096 (%) 10 20 30 40 50 60 原模型 Rj (%) 3558 388 4048 41624 42632 434 优化模型 Rj (%) 3558 388 4048 41624 42632 434 相对误差 （%） 0 0 0 0 0 0 表四 从上表可见，优化后的模型其误差不超过 4%。因此，这种简化策略是有效 的，的确能够在不使

31、结果发生大的偏差的情况下，使计算大为简化。 模型改进 前面提出的几个模型都建立在较为理想化的假设之上, 但现实生活中并非 如此，故我们对基本假设进行一些改进以符合实际。 改进一 （1 ） 企业可根据需要，向银行贷出一定数量款项用于投资。但，数量有 限（例如不大于自有款项的一半） ，利率也较存款略高（不妨定为 7 % ） ，由于到 期后必须还本付息，故其风险为零。 （2 ） 市场上很可能出现某些资产数量 Gi不足以吸纳全部资金，即：Si上 最多可投入份额 XXi= Gi/M。 对以上两项， 我们只需对原模型略加修改就能处理， 下以模型二对问题一进 行求解为例： 设贷款利率 f=7%;XX1=0.

32、5,XX2=0.6,XX3=0.3,XX4=0.8; 贷款量 Xf 5 0 % ; 则模型变为: max Rj=XRXf ii i n i = 0 S . t. i n = 0 XiXf=1 i n = 0 Xi qi Xi0 XiXXi 对此也可以用 G i n o 来求解, 结果如下。(程序见附录 2.7) (%) R j ( % ) X1 (%) X2 (%) X3 (%) X4 (%) 存款(%) 贷款(%) 0.5 19.62 30.080 32.019 8.375 17.699 11.827 0 0.8 23.27 39.363 39.325 10.251 21.740 0 10.

33、679 1.0 25.19 43.976 43.985 11.493 24.312 0 23.766 1.5 28.80 50. 60. 4.790 35.210 0 50 2.0 28.80 50. 60. 0 40 0 50 2.5 28.80 50. 60. 0 40 0 50 表五 由上表不难看出,因为贷款风险为零,故如不是过于惧怕风险,应该充分利用 贷款,这与现实生活中企业都希望尽可能多地获得贷款的情况很相符。 改进二 为简化模型, 在基本假设中, 我们忽略了 ui的影响. 为了使模型更具普遍性, 我们对模型解法作了一些修改, 成功地求出了模型解。 模型改为: max Rjs= i

34、n = 0 Rjsi S.t. 1 . i n = 0 Xi0 2 . i n = 0 Xi=1 3 . 若 XiM = 0 ) , 2 ( x 0 ) 化成 f ( x ) = 4 - ( 1 - A B S ( x ) / x ) 。 运用层次分析法对方案进行评估 不同的公司对同一个方案的满意程度是不同的， 为适应不同的需求， 我们建 立了如下的层次结构： 对于不同的公司， 其对净收益率和风险的重视程度都不一样。 不妨设某公司 的方案评估准则如下： 方案评估 净收益率 风险 优先权重 净收益率 1 1/3 1/4 风险 3 1 3/4 表六 现在我们给出两种投资方案： 方案 一 (%) 二

35、 (%) 净收益率 25 11 风险 16 7 表七 因为净收益率越大越好， 而风险越低越好， 所以我们将两者定义成相除的关 系，这样我们可以给出一个关于满意度的近似计算式。 Sat 1=(3/425)/(1/416)=4.69 净收益率风险 方案 方案评估 Sat 2=(3/411)/ ( 1/47)=4.71 Sat 1Sat 2，故对于该公司，方案二优于方案一。 但是这种判断带有很大的主观性， 如果另一家公司改用别的评估准则， 很可 能得出截然相反的结论，所以各公司应结合本公司的实际情况，建立起相应的 决策系统进行评估，这样才能得到比较符合实际的结果。 模型推广 前文建立的模型都是离散的

36、模型，即收益、风险和投资量在所研究的时期 内保持不变, 这对一个相当短的时期来说与实际符合得很好, 但对一个较长时期 进行讨论则显得力不从心, 所以我们把原来离散的模型推广成连续的模型。 模型假设 1 ， 某种资产的收益率不仅与当时的市场环境有关， 还与购买的数量有关 （大 量的买入或卖出都可能导致价格波动） 。我们分别用购买量 X的函数 f(X)和时间 t 的函数 g(t)来描述其对收益率 R 的影响，即 Ri=fi(X) gi(t) 我们假设公司财务分析人员能估算给出一定区域内 f(x)- x，gi(t)- t 的图形。 2 , 取投资开始作为时间轴的原点，投资结算时刻为 T 。 3 ，对

37、投资方案的评估只考虑整个时期的总收益率和总风险率。 模型建立 1 ，投资 Si在时间段t1,t2内的平均收益率 Ri= 1 1 2 0 1 t t t fi(x)gi(t)dxdt t=t2- t1 2 , 其风险 qi=() ()() fgRd x d t ixiti t t 1 2 2 0 1 3 ，t时刻总平均收益率 RtX R ji i n i ( ) = = 0 ( 时间取 0,t ) 4 ，t时刻总平均收益率 Q tX q ji i n i ( ) = = 2 0 ( 时间取 0,t ) 模型求解 模型如下 max RTX R ji i n i ( ) = = 0 S.t. Q T

38、X q ji i n i ( ) = = 2 0 Xi i n = = 0 1 Xi0 * 说明：对于追加投资或撤回投资的情况，由于追加或撤回为离散行为，即公司不可能每时每刻都改变投 资，所以我们可以将时间分成一段一段区间，且使每一区间仅在开始时进行追加投资或撤回投资。利用上 面的求解方法，可以分别求出每段区间的最优解从而得出总的最优解。 稳定性分析 为了检验模型的稳定性， 我们试着变动一些参数， 看是否会造成求出的解变 化过大。以模型二对问题二的求解为例，由于 X3可以达到 1 0 0 % ，即所得结果 Rj对其最敏感，故我们分别通过变动 q3和 rj3以检验模型的稳定性。 下面是分别把 r

39、j3和 q3减小 5%而其它条件不变的情况下对各值求得的 Rj1 和 Rj2与原值 Rj的比较表。 （%） 1 5 1 0 2 0 3 0 5 7 6 0 Rj (%) 1 5 . 6 8 2 8 . 8 8 3 5 . 5 8 3 8 . 8 4 0 . 4 8 4 3 . 1 8 4 3 . 4 Rj1 (%) 1 5 . 5 5 2 8 . 5 9 3 4 . 9 9 3 7 . 6 9 3 9 . 0 3 4 1 . 0 7 4 1 . 2 3 变化率一( % ） 0 . 8 3 1 . 0 0 1 . 6 6 2 . 8 6 3 . 5 8 4 . 8 9 5 Rj2 (%) 1 5 . 7 4 2 9 . 0