2014高考数学(理)名师指导提能专训15 直线与圆锥曲线的综合问题]

1、提能专训(十五)直线与圆锥曲线的综合问题 一、选择题 1抛物线y24x的焦点为F，准线为l，经过点F且斜率为的直线与 抛物线在x轴上方的部分相交于点A，AKl.垂足为K，则AKF的面积 是() A4 B3 C4 D8 C命题立意：本题主要考查直线与圆锥曲线的位置关系和考生的 运算能力根据已知条件中的直线的斜率和所经过的点F，写出直线方 程，从而通过解方程组求出点A的坐标，得到三角形的底边长与高，计 算出三角形的面积 解题思路：由题意可知，抛物线的准线方程为x1，抛物线的焦 点坐标为(1,0)直线AF的方程y(x1)，解方程组得或因为点A在x轴 的上方，所以符合题意，即点A坐标为(3,2)，|A

2、K|314，点F到直 线AK的距离d即为点A的纵坐标2，因此SAKF|AK|d4.故选C. 2(2013哈尔滨调研)已知双曲线C的右焦点F与抛物线y28x的焦 点相同，若以点F为圆心，为半径的圆与双曲线C的渐近线相切，则双 曲线C的方程为() A.x21 B.y21 C.1 D.1 D解题思路：设双曲线C的方程为1(a0，b0)， 抛物线 y28x的焦点为(2,0)，即F(2,0)， 4a2b2.又圆F：(x2)2y22 与双曲线C的渐近线yx相切，由双曲线的对称性可，知圆心F到双曲 线的渐近线的距离为， a2b22，故双曲线C的方程为1.故选 D. 3(2013太原市高三模拟一)已知数列an

3、的通项公式为an (nN*)，其前n项和Sn，则双曲线1的渐近线方程为() Ayx Byx Cyx Dyx C命题立意：本题主要考查裂项法求数列的前n项和与双曲线的性 质等基础知识，意在考查考生的基本运算能力 解题思路：依题意得an，因此Sn1，n9，故双曲线 方程是1，该双曲线的渐近线方程是y xx.故选C. 4(2013郑州质检二)如图所示，F1，F2是双曲线1(a0，b 0)的两个焦点，以坐标原点O为圆心，|OF1|为半径的圆与该双曲线左支 的两个交点分别为A，B，且F2AB是等边三角形，则双曲线的离心率 为() A.1 B.1 C. D. B命题立意：本题主要考查圆的性质与双曲线的性质

4、等知识，意 在考查考生的基本运算能力 解题思路：连接AF1，依题意，得AF1AF2，又AF2F130， |AF1|c，|AF2|c， 该双曲线的离心率e1.故选B. 5如图所示，椭圆的中心在坐标原点O，顶点分别 是A1，A2，B1，B2，焦点分别为F1，F2，延长B1F2与A2B2交于点P， 若B1PA2为钝角，则此椭圆的离心率的取值范围为() A. B. C. D. D命题立意：本题主要考查椭圆方程、椭圆的简单几何性质、向 量的计算等基础知识，考查基本运算能力 解题思路：设椭圆的方程为1(ab0)，B1PA2为钝角可转 化为，的夹角为钝角，则(a，b)(c，b)0，得b2ac，即a2c2 a

5、c，故210，即e2e10，e或e，又0e1， e 1.故选D 6(长春一次调研)设e1，e2分别为具有公共焦点F1，F2的椭圆和 双曲线的离心率，P是两曲线的一个公共点，且满足|，则 的值为 () A. B2 C. D1 A解题思路：设|PF1|m，|PF2|n，|F1F2|2c，不妨设mn. 由|知，F1PF290，则m2n24c2， e1，e2， 2， .故选A. 二、填空题 7(2013甘肃示范学校高三调研)若双曲线1渐近线上的一个动 点P总在平面区域(xm)2y216内，则实数m的取值范围是 _ (，55，)命题立意：本题主要考查双曲线的简单 几何性质，直线与圆的位置关系，考查等价转

6、化思想，考查分析问题、 解决问题的能力 解题思路：问题等价于已知双曲线的渐近线4x3y0与圆相离或者 相切，故实数m满足4，即m5或者m5. 8(2013辽宁大连高三双基测试)已知双曲线的两条渐近线均和 圆C：(x1)2y2相切，且双曲线的右焦点为抛物线y24x的焦点， 则该双曲线的标准方程为_ y21命题立意：本题主要考查双曲线和抛物线的标准方程、 几何性质，点到直线的距离公式以及基本量间的关系等 解题思路：由题意可知双曲线中c.设双曲线1(a0，b0)的 一条渐近线方程为kxy0，根据圆心(1,0)到该直线的距离为半径，得 k2，即.又a2b2()2，则a24，b21，所以所求的标准方程为

7、 y21. 9(2013山西晋中名校高三联考)已知双曲线1的焦点 为F1，F2，点M在双曲线上且MF1MF2，则点M到x轴的距离为 _ 命题立意：本题主要考查双曲线的几何性质，以及点到直线的距 离，考查考生的运算求解能力 解题思路：设M(x，y)，F1(3,0)，F2(3,0)，则由MF1MF2，得(x 3)(x3)y20.又M在双曲线上，故可以解方程组得y2，故点M到x 轴的距离为. 三、解答题 10(2013福建厦门质检)已知椭圆C：1(a)的右焦点F在 圆D：(x2)2y21上，直线l：xmy3(m0)交椭圆于M，N两点 (1)求椭圆C的方程； (2)若(O为坐标原点)，求m的值； (3

8、)设点N关于x轴的对称点为N1(N1与点M不重合)，且直线N1M与x 轴交于点P，试问PMN的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最 大值；若不存在，请说明理由 解析：(1)由题设知，圆D：(x2)2y21的圆心坐标是(2,0)，半 径是1， 圆D与x轴交于两点(3,0)，(1,0) 在椭圆中c3或c1，又b23， a212或a24(舍去， a) 椭圆C的方程为1. (2)设M(x1，y1)，N(x2，y2) 直线l与椭圆C方程联立 化简并整理得(m24)y26my30， y1y2，y1y2. x1x2m(y1y2)6， x1x2m2y1y23m(y1y2)99. ， 0， 即x1x2y1y2

9、0，得0. m2，m. (3) M(x1，y1)，N1(x2，y2)， 直线N1M的方程为. 令y0，则xx1 4； P(4,0) 解法一：SPMN|FP|y1y2| 1 2 221. 当且仅当m213，即m时等号成立， 故PMN的面积存在最大值1. (或SPMN2 2 令t， 则SPMN2 21. 当且仅当t时等号成立，此时m22， 故PMN的面积存在最大值1.) 解法二：|MN| 4， 点P到直线l的距离是 . SPMN 2 2. 令t， SPMN2 21， 当且仅当t时等号成立，此时m22， 故PMN的面积存在最大值，其最大值为1. 11P(x0，y0)(x0a)是双曲线E：1(a0，b

10、0)上一 点，M，N分别是双曲线E的左、右顶点，直线PM，PN的斜率之积为. (1)求双曲线的离心率； (2)过双曲线E的右焦点且斜率为1的直线交双曲线于A，B两点，O 为坐标原点，C为双曲线上一点，满足，求的值 解析：(1)点P(x0，y0)(x0a)在双曲线1上，有1， 由题意又有，可得a25b2，c2a2b2a2，则e. (2)联立得4x210cx35b20， 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 设(x3，y3)， 即 又C为双曲线上一点，即x5y5b2，有(x1x2)25(y1y2)2 5b2， 化简得2(x5y)(x5y)2(x1x25y1y2)5b2. 又A(x1，y1)，B

11、(x2，y2)在双曲线上， 所以x5y5b2，x5y5b2. 由式又有x1x25y1y2x1x25(x1c)(x2c)4x1x25c(x1 x2)5c210b2， 得240，解出0，或4. 12(2013沈阳市高三质检二)已知抛物线C：y2x，过点A(x0,0)作 直线l交抛物线于点P，Q(点P在第一象限) (1)当点A是抛物线C的焦点，且弦长|PQ|2时，求直线l的方程； (2)设点Q关于x轴的对称点为M，直线PM交x轴于点B，且BPBQ. 求证：点B的坐标是(x0,0)，并求点B到直线l的距离d的取值范围 解析：(1)由抛物线C：y2x，得抛物线的焦点坐标为，设直线l的 方程为xny，P(

12、x1，y1)，Q(x2，y2) 由得y2ny0. 所以n210，y1y2n. 因为x1ny1，x2ny2， 所以|PQ|x1x2x1x2n(y1y2)12. 所以n21，即n1. 所以直线l的方程为xy0或xy0. 即4x4y10或4x4y10. (2)证明：设l：xmyx0(m0)，P(x1，y1)，Q(x2，y2)， 则M(x2，y2) 由消去x，得y2myx00， 因为x0，所以m24x00， y1y2m，y1y2x0. 证法一：设B(xB,0)，则(x2xB，y2)，(x1xB，y1) 由题意知， x2y1y1xBx1y2xBy2， 即(y1y2)xBx1y2x2y1yy2yy1(y1

13、y2)y1y2. 显然y1y2m0， xBy1y2x0， B(x0,0) 由题意知，MBQ为等腰直角三角形， kPB1，即1，也即1， y1y21， (y1y2)24y1y21， 即m24x01， m214x00， x0. x0， x0. d . d的取值范围是. 证法二：因为直线l：yy1(xx1)， 所以令y0，则 xx1x1 x1yy1y2x0， B(x0,0) 由题意知，MBQ为等腰直角三角形， kPB1，即1， y1y21， (y1y2)24y1y21，即m24x01， m214x0. x0， 0m2. d . d的取值范围是. 13(2013太原市高三模拟考试二)如图，已知椭圆的中心在坐标原 点，焦点在x轴上，长轴长是短轴长的2倍，且经过点M(2,1)，平行于 OM的直线l在y轴上的截距为m，直线l与椭圆相交于A，B两个不同点 (1)求实数m的取值范围； (2)证明：直线MA，MB与x轴围成的三角形是等腰三角形 解析：(1)设椭圆方程为1(ab0)， 由题意得 椭圆方程为1. 由题意可得直线l的方程为y