第10章 层次分析法.ppt

1、层次分析法,The Analytic Hierarchy Process (AHP),层次分析法,在管理中，人们常常在面临多种方案时,需要依据一定的标准选择某一种方案。例如： 买 冰箱时，一般要依据质量、颜色、耗电量、价格、外形等方面的因素，从众多的品牌中进行选择一款例如：企业的决策者要决定购置哪种设备，上马什么产品；经理要从若干求职者中决定录用哪些人员；地区、部门官员要对人口、交通、经济、环境等领域的发展规划作出决策。,这一系列的问题，评价的困难在于有的指标没有明确的数量表示，甚至只与评价人的主观感受和经验有关；而且不同的方案可能各有所长，指标越多，方案越多，问题就越复杂 。 面对这样的问题

2、，运筹学者开始了对人们思维决策过程进行分析、研究。,层次分析法,美国运筹学家，T.L.Saaty等人在七十年代提出了一种能有效处理这类问题的实用方法，称之为层次分析法（AHP法) (analytic hiterarchy process) ，定性与定量相结合，把人们的思维过程层次化，数量化的多准则决策方法。 T.L.Saaty等曾把它用于电力工业计划，运输业研究，美国高等教育事业1985-2000展望，1985年世界石油价格预测等方面。,层次分析法,AHP法作为一种决策方法是在1982年11月召开的中美能源、资源、环境学术会议上，有Saaty学生H.Gholamnezhad首先向中国介绍的。以

3、后层次分析法在中国得到很大的发展，很快应用到能源系统分析，城市规划，经济管理科研成果评价的许多领域。,层次分析法,决策目标,准则1,方案1,准则m1,准则2,子准则1,方案2,子准则2,方案mr,子准则m2,方案层,准则层,目标层,层次分析,明确问题 递阶层次结构的建立 建立两两比较的判断矩阵 层次单排序 层次综合排序,层次分析法（AHP）具体步骤：,一、层次分析的结构模型： 用AHP分析问题，首先要把问题条理化、层次化，构造层次分析的结构模型。这些层次大体上可分为3类： 1、最高层：在这一层次中只有一个元素，一般是分析问题的预定目标或理想结果，因此又称目标层；,层次分析的结构模型,2、中间层

4、：这一层次包括了为实现目标所涉及的中间环节，它可由若干个层次组成，包括所需要考虑的准则，子准则，因此又称为准则层； 3、最底层：表示为实现目标可供选择的各种措施、决策、方案等，因此又称为措施层或方案层。 层次分析结构中各项称为此结构模型中的元素。,层次分析的结构模型,注：层次之间的支配关系不一定是完全的，即可以有元素（非底层元素）并不支配下一层次的所有元素而只支配其中部分元素。这种自上而下的支配关系所形成的层次结构，我们称之为递阶层次结构。 递阶层次结构中的层次数与问题的复杂程度及分析的详尽程度有关，一般不受限制。为了避免由于支配的元素过多而给两两比较判断带来困难，每层次中各元素所支配的元素一

5、般地不要超过9个。,层次分析的结构模型,目标层： 准则层： 方案层：,层次分析的结构模型,例、选择科研课题： 某研究单位现有3个科研课题，限于人力物力，只能承担其中一个课题，如何选择？ 考虑下列因素： 成果的贡献大小，对人材培养的作用，课题可行性。 在成果贡献方面考察：应用价值及科学,层次分析的结构模型,意义（理论价值，对某科技领域的推动作用）； 在课题可行性方面考虑：难易程度（难易程度与自身的科技力量的一致性），研究周期（预计需要花费的时间），财政支持（所需经费，设备及经费来源，有关单位支持情况等）。,层次分析的结构模型,目标层,层次分析的结构模型,方案层,准则层,例、设某港务局要改善一条河

6、道的过河运输条件，为此需要确定是否要建立桥梁或隧道以代替现有轮渡。 此问题中过河方式的确定取决于过河方式的效益与代价（即成本）。通常我们用费效比（效益/代价）作为选择方案的标准。为此构造以下两个层次分析的结构模型。,层次分析的结构模型,准则层,过河的效益A,经济效益B1,社会效益B2,环境效益B3,桥梁D1,隧道D2,渡船D3,收入,c2,岸间商业,c3,节省时间,c1,当地商业,c4,建筑就业,c5,安全可靠,c6,交往沟通,c7,自豪感,c8,舒 适,c9,进出方便,c10,美 化,c11,层次分析的结构模型,方案层,目标层,层次分析的结构模型,目标层,准则层,方案层,二、判断矩阵： 上、

7、下层之间关系被确定之后，需确定与上层某元素Z（目标A或某个准则Z）相联系的各下层元素（x1，x2，xn) 在上层元素Z之中所占的权重，设为（w1,w2,wn）,若将它们两两比较，其比值可构成矩阵A.,层次分析的判断矩阵,层次分析的判断矩阵,Wn/wn,Wn/w2,Wn/w1,W2/wn,W2/w2,W2/w1,W1/ wn,W1/w2,w1/w1,A=,层次分析的判断矩阵,1，aij0，aji=1/aij ，aii=1,我们称判断矩阵A为正互反矩阵,2，aij aj k = aik,若矩阵同时具备性质1,2此时称A为一致阵,3, A的秩为1,（即只有一个非零特征值，其余n-1个为0 ） 4,

8、AW=nW max =n 其中 W=(w1,w2,wn)T,定理、n正互反矩阵A为一致阵，当且仅当A的max =n，当正互反矩阵非一致时，必有max n 此定理可用来判定 某一矩阵是否为一致阵,层次分析的判断矩阵,通常的做法：每次取2个元素，如xi，xj， 以aij表示 xi 和 xj 对Z的影响之比。 得到A=(aij)nn两两比较的判断矩阵. 这种做法 得到的仅仅是互反矩阵，顾及不到其一致性,Saaty建议用19及其倒数做为标度来确定aij的值，19比例标度的含义： xi比xj强（重要）的程度 xi/ xj 相等 稍强 强 很强 绝对强 aij 1 2 3 4 5 6 7 8 9 2、4、

9、6、8表介于相邻两判断 之间 19标度的理由：两两比较的心理习惯,层次分析的判断矩阵,例如在例2中，准则层B对目标层作因素两两比较，并可建立下面判断矩阵： B1：B2为3 B1：B3为3 B2：B3为1 认为人才培养比成果贡献、课题可行性稍重要，另二项差不多相同重要。,层次分析的判断矩阵,判断矩阵 B1 B2 B3 B1 1 3 3 A= B2 1/3 1 1 B3 1/3 1 1,层次分析的判断矩阵,可验证此矩阵具有完全一致性，然而人们对复杂问题的各因素，采取两两比较时，不可能做到或顾及不到判断矩阵的完全一致性，而存在着误差，这必然导致特征值和特征向量有偏差，因此首先检验判断矩阵的一致性。,

10、判断矩阵一致性检验,一致性指标C.I.的值越大，表明判断矩阵偏离完全一致性的程度越大， C.I.的值越小，表明判断矩阵越接近于完全一致性。一般判断矩阵的阶数n越大，人为造成的偏离完全一致性指标C.I.的值便越大；n越小，人为造成的偏离完全一致性指标C.I.的值便越小。,一致性检验步骤： 、计算一致性指标C.I.=(max-n)/(n-1) (ConsisTeney Index),判断矩阵一致性检验,、查找相应的平均随机一致性指标R.I.(Random Index) 115阶正互反矩阵计算1000次得到的平均随 机一致性指标：,max产生方法：取定阶数n，随机构造500个正互反矩阵=（ij)nn

11、 ，ij在1, 2, , 9, 1/2, 1/3, , 1/9这17个数中随机抽取，只需取n(n-1)/2个，对角元为1，其余按正互反性得到，max为500次判断矩阵max的平均值。 计算：R.I.=(max-n)/(n-1),判断矩阵一致性检验,、计算一致性比率C.R. (consistency ratio) C.R.= C.I./R.I. 当C.R.0.1时 认为判断矩阵的一致性是可 接受的。 当C.R. 0.1时 应修正判断矩阵。,判断矩阵一致性检验,当 n3时，判断矩阵永远具有完全一致性,例如 对前面矩阵 1 3 1 A= 1/3 1 1/3 1 3 1 计算出 max=3 特征向量u

12、=(3/7，1/7，3/7)T C.I.=(max-3)/(3-1)=0 C.R.=0 是一致阵。,判断矩阵一致性检验,例： 1 2 5 A= 1/2 1 7 1/5 1/7 1 计算出 max=3.1189，u=(0.5415，0.3816，0.0761)T C.I.=（3.1189-3）/（3-1）=0.05945 查表得R.I.=0.52 C.R.=0.05945/0.52=0.11430.1，应修正判断矩阵,判断矩阵一致性检验,如果判断矩阵是完全一致的，下面的方法求得的是精确结果。一般在AHP法中，判断矩阵 的最大特征值及相应特征向量，并不需要很高的精度，故用近似法即可。 1、方根法：

13、 步骤：、将判断矩阵按行相乘; 求Mi=( aij) i=1，2，n 、 计算,正互反矩阵的最大特征值 及相应特征向量的求法,正互反矩阵的最大特征值 及相应特征向量的求法,3、计算判断矩阵的特征向量,max= (AW)i /nWi,4、计算最大特征根,5、 一致性检验,正互反矩阵的最大特征值 及相应特征向量的求法,=1.4422,=0.4807,3 1 1/3 1 1/3 1 3 1,A=,M1= 3,M2= 1/9,M3=3,=1.4422,EX,解：,w1=0.4286 归一化： w2=0.1428 w3=0.4286 Aw=(1.2856，0.4285，1.2856)T max=1.28

14、56/3*0.4286+0.4285/3*0.1428+ 1.2856/3*0.4286=3.0001,C.R0.1 当然也可以用软件直接计算特征值和特征向量,正互反矩阵的最大特征值 及相应特征向量的求法,2、和积法： 步骤： 、求（每列归一化） bij=aij / akj i，j=1，2n 、行求和Mi= bij i= 1，2，n 再归一化：Wi=Mi / Mj i= 1，2，n 、max=(1/n) (AW)i/Wi,正互反矩阵的最大特征值 及相应特征向量的求法,例： 1 3 1 3/7 3/7 3/7 M1=9/7 A= 1/3 1 1/3 B= 1/7 1/7 1/7 M2=3/7 1

15、 3 1 3/7 3/7 3/7 M3=9/7 Mj=3 w2=1/7 Aw=(9/7，3/7，9/7)T w3=3/7 max=3 显然，当A是一致阵时， max=n，,第九章 层次分析, w1=3/7,方根法：Mi=( aij)1/n=Wi/S S=( Wj)1/n i=1，2，n 归一化后w即为(w1，w2，wn)T max=(1/n) (Aw)i / wi (Aw=nw) =n2/n =n,层次分析,对归一化的w ： aij=wi/wj,和积法： akj= wk/wj bij=aij/ akj=wi / wk Mi= bij=(nwi)/ wk 归一化后w即为 (w1，w2，wn)T

16、同理max=n 当A近似一致阵时，这些量是近似的。 例： 1 2 5 A= 1/2 1 3 1/5 1/3 1,正互反矩阵的最大特征值 及相应特征向量的求法,用方根法： 、M1= = =2.1544 M2= =1.1447 M3= =0.4055 、归一化：M1+ M2+ M3=3.7046 w1=2.1544/3.7046=0.5815 w2=1.1447/3.7046=0.3090 w3=0.4055/3.07046=0.1095 w=(0.5815，0.3090，0.1095)T,正互反矩阵的最大特征值 及相应特征向量的求法,3,3,3,3,、Aw=(1.7470，0.9283，0.33

17、88)T 1 1.7470 0.9283 0.3288 3 0.5815 0.3090 0.1095 3.0037,正互反矩阵的最大特征值 及相应特征向量的求法,max=,+,+,=,用和积法： 、 1 2 5 0.5882 0.6 0.5556 A= 1/2 1 3 B= 0.2941 0.3 0.3333 1/5 1/3 1 0.1177 0.1 0.1111 、行求和M=(1.7438，0.9274，0.3288)T M1+M2+M3=3 归一化：w=(0.5813，0.3091，0.1096)T,列归 一化,正互反矩阵的最大特征值 及相应特征向量的求法,、Aw=(1.7475，0.92

18、86，0.3289)T 1 1.7475 0.9286 0.3289 3 0.5813 0.3091 0.1096 3.0038,max=,+,+,=,正互反矩阵的最大特征值 及相应特征向量的求法,层次分析法（AHP）具体步骤,递阶层次结构的建立 建立两两比较的判断矩阵（一致性检验） 层次单排序 层次单排序就是把本层所有各元素对上一层来说，排出评比顺序，这就要计算判断矩阵的最大值和其对应的特征向量,层次总排序 利用层次单排序的计算结果，进一步综合出对更上一层次的优劣顺序，就是层次总排序的任务。,某单位拟从三名干部中提拔一人担任领导工作，干部的优劣（由上级人事部门提出），用六个属性来衡量：健康状

19、况、业务知识、写作水平、口才、政策水平、工作作风，分别用p1 、 p2 、 p3 、 p4 、 p5 、 p6 来表示。判断矩阵如下B。,层次分析法实例,判断矩阵,组织部门给三个人，甲、乙、丙对每个准则打分。,健康状况,p1,组织部门给三个人，甲、乙、丙对每个准则打分。,业务水平,p2,组织部门给三个人，甲、乙、丙对每个准则打分。,写作水平,p3,组织部门给三个人，甲、乙、丙对每个准则打分。,口 才,p4,组织部门给三个人，甲、乙、丙对每个准则打分。,政策水平,p5,组织部门给三个人，甲、乙、丙对每个准则打分。,工作作风,p6,解：1 画出层次分析图,提拔一位干部担任领导工作,健康状况,业务水

20、平,写作水平,口 才,政策水平,工作作风,甲,乙,丙,w1,w2,w3,w4,w5,w6,总目标,方案层,准则层,判断矩阵,、 求出目标层的权数估计用和积法 计算其最大特征值及其特征向量,和积法具体计算步骤： 将判断矩阵的每一列元素作归一化处理，其元素的一般项为：,bij=,bij 1nbij,(i,j=1,2,.n), 6.25 5.75 6.53 20 7.33 3.83, 6.25 5.75 6.53 20 7.33 3.83,将每一列经归一化处理后的判断矩阵按行相加为：,1nbij,(i =1,2,.n),=,0.951.101.200.300.931.51,对向量W= 归一化处理:,

21、(i =1,2,.n),即为所求的特征向量的近似解。,0.951.101.200.300.931.51 5.99,W,用和积法计算属于最大特征值的特征向量为： W=（ W1， W2 Wn) T =（0.16,0.18,0.20,0.05,0.16,0.25) T 即为所求的特征向量的近似解。,计算判断矩阵最大特征根max,max = 1n,(BW)i nWi,(BW)=,=,max = 1n,(BW)i nWi,=,1.025 6*0.16,0.309 6*0.05,1.066 6*0.16,1.225 6*0.18,1.305 6*0.20,1.640 6*0.25,+,+,+,+,+,ma

22、x = 1n,(BW)i nWi,=,1.068,0.858,1.110,1.134,1.0875,1.093,+,+,+,+,+,= 6.35,判断矩阵一致性指标C.I.(Consistency Index),C.I. =,max - n n-1,判断矩阵一致性指标C.I.(Consistency Index),C.I. =,6.35- 6 6-1,= 0.07,随机一致性比率C.R.(Consistency Ratio)。,C.R. =,C.I R.I.,0.07 1.24,=,= 0.056 0.10,3 求出方案层对目标层的最大特征向量(同2），求得 （ W11 W21 W31 ） =

23、（0.14,0.62,0.24) （W12 W22 W32 ） =（0.10,0.32,0.58),（ W13 W23 W33 ） =（0.14,0.62,0.24) （ W14 W24 W34 ） =（0.28,0.65,0.07),（ W15 W25 W35 ） =（0.47,0.47,0.06) （ W16 W26 W36） =（0.80,0.15,0.05),层次分析法（AHP）具体步骤： 层次总排序 利用层次单排序的计算结果，进一步综合出对更上一层次的优劣顺序，就是层次总排序的任务。,4 求得三人所得总分 甲的总分 = Wi* Wi1 = 0.16* 0.14+ 0.18* 0.10

24、 + 0.20* 0.14 + 0.05* 0.28 + 0.16* 0.47 + 0.25* 0.80 = 0.3576,乙的总分 = Wi* Wi2 = 0.16* 0.62+ 0.18* 0.32 + 0.20* 0.62 + 0.05* 0.65 + 0.16* 0.47 + 0.25* 0.15 = 0.4372,丙的总分 = Wi* Wi3 = 0.16* 0.24+ 0.18* 0.58 + 0.20* 0.24 + 0.05* 0.07 + 0.16* 0.07 + 0.25* 0.05 = 0. 2182,因为， 乙的总分甲的总分丙的总分 所以应该提拔乙到领导岗位上。,数据模

25、型与决策案例 Diana 遇到购买轿车的问题. 经过多次调查分析，Diana锁定如下三种品牌的二手车进行选择,Diana的选车准则有四个: (1) 价格; (2) 油耗 (3) 舒适性; (4) 式样,1.建立问题的递阶层次结构模型,2. 构造两两比较矩阵及单排序,3. 层次总排序,土星是Diana的最佳选择,二、某农厂有一笔企业留成利润，要决 定如何使用。 供选择方案： 作奖金，集体福利设 施，引入设备技术 建立如下层次分析模型：,层次分析应用举例,目标层： 准则层C： 方案层P：,层次分析应用举例,A-C判断矩阵: A C1 C2 C3 w(2) C1 1 1/5 1/3 0.105 C2

26、 5 1 3 0.637 C3 3 1/3 1 0.258 max=3.038 归一化特征向量w(2) C.I.=0.019 C.R.=0.032760.1 满意的一致性,层次分析应用举例,C1-P: C1 P1 P2 U1(3) P1 1 1/3 0.25 P2 3 1 0.75 max=2 C.I.=0,层次分析应用举例,C2-P: C2 P2 P3 U2(3) P2 1 1/5 0.167 P3 5 1 0.833 max=2 C.I.=0,层次分析应用举例,C3-P: C3 P1 P2 U3(3) P1 1 2 0.667 P2 1/2 1 0.333 max=2 C.I.=0,层次分

27、析应用举例,层次分析应用举例,0.25 0 0.667 U(3)= 0.75 0.167 0.333 0 0.833 0 w(3)=U(3)w(2)=(0.198，0.27，0.531)T 得到P3优于P1又优于P2，从分配上可以 用53.1%来引进新设备，新技术； 用19.8%来发奖金； 用29.1%来改善福利。,层次分析应用举例,二、层次分析法对于下面几种情况的优化问题特别适用： 问题中除可量化的量外，还存在不可计量的量时，可用AHP通过对不可计量的量与可计量的量的相对比较，而获得相对的测量； 当优化问题的结构难以事先确定，而在很大程度上取决于决策者的经验时的多目标问题；,层次分析应用举例

28、,在用AHP法解决优化问题时，常用的有两种方式： 当模型中涉及不可计量的量时，用AHP法的比例标度来确定目标函数，约束函数的权重（系数） 直接采用AHP模型 AHP法有广泛的应用前景，可以用来决定其它方面的一些问题。下面举一个解决优化问题的例子。,层次分析应用举例,例：最佳食品搭配问题！ 假设某人有3种食品可供选择：肉，面包，蔬菜它们所含营养成分及单价如下表： 食品 维生素A 维生素B2 热量 单价 搭配量 （国际 （毫克/克） （千卡/克） （元/克） 单位/克） 肉 0.3527 0.0021 2.86 0.0055 X1 面包 0 0.0006 2.76 0.0012 X2 蔬菜 25.

29、0 0.002 0.25 0.0014 X3,层次分析应用举例,该人体重55公斤，每天对各种营养的最小需求为： 维生素A：7500 国际单位 维生素B2：1.6338 毫克 热量：2050 千卡 问题：应如何搭配食品，费用最小？（自然的想法是： 使在保证营养的情况下支出最小）,层次分析应用举例,容易建立如下线性规划模型： min Z=0.0055 x1+0.0012 x2+0.0014 x3 s.t. 0.3527 x1+25.0 x37500 0.0021 x1+0.0006 x2+0.002x31.6338 2.86 x1+2.76 x2+0.25 x32050 x1，x2，x30 利用单

30、纯形法可得解 x*=(0, 689.44, 610.67)T z*1.67,层次分析应用举例,即，不吃肉，面包689.44克，蔬菜610.67克，每日支出1.67元。 显然这个最优方案是行不通的，它没有考虑本人对食品的偏好。,层次分析应用举例,其次，在这里各营养成分被看成同样重 要，起决定因素的是支出。但实际上， 营养价值与支出都需考虑，只是地位 （权重）不同。 下面用层次分析法来处理问题： 层次结构：,层次分析应用举例,每日需求 R,支出 C,营养 N,维生素 A,维生素 B2,维生素 Q,肉 me,面包 br,蔬菜 ve,层次分析应用举例,对于一个中等收入的人，满足营养要求 比支出更重要。 于是： R N C w(2) N 1 3 0.75 C 1/3 1 0.25,max=2 C.I.