晶体的宏观对称

1、1,晶体的宏观对称 crystal symmetry,2,晶体的宏观对称,对称的概念 晶体的对称要素 对称要素的组合规律 对称型(点群)及其符号 晶体的对称分类,对称的概念,3,Symmetry 是宇宙间的普遍现象 是自然科学最普遍和最基本的概念 是建造大自然的密码 是永恒的审美要素,对称的概念,4,物体(或图形)中相同部分之间有规律重复,晶体的对称,5,晶体都是对称的 晶体外形上对称 晶体宏观性质上对称 是晶体的基本性质之一 是晶体科学分类的依据,对称操作(symmetry operation),6,能够使对称物体(或图形)中的各个相同部分作有规律重复的动作(对称操作) some acts

2、that reproduce the motif to create the pattern Motif: the fundamental part of a symmetric design that, when repeated, creates the whole pattern,对称元素,7,对称元素(symmetry element)：在进行对称操作时所凭借的几何要素点、线、面等。 对称元素种类 对称中心(center of symmetry) 对称面(symmetry plane) 对称轴(symmetry axis) 倒转轴(rotoinversion axis) 映转轴(rot

3、oreflection axis) 对称元素的符号 国际、习惯、图示符号：教材之表3-1、表7-1,对称元素符号,8,宏观晶体的对称要素,晶体对称定律,9,只能出现轴次(n)为一次、二次、三次、四次和六次的对称轴，而不可能存在五次及高于六次的对称轴 轴次 n 的确定: n = 360/a a + 2a cosa = ma cosa = (m-1)/2 1 m = 3, 2, 1, 0, -1 a = 0, 60, 90, 120, 180 n = 1, 6, 4, 3, 2,对称元素之对称操作,10,对称操作 对应点的坐标变换 (x, y, z) (X, Y, Z),or,对称变换矩阵,11,

4、对称轴(Ln)之对称操作,对称轴 二次(two-fold rotation) = 360o/2 rotation to reproduce a motif in a symmetrical pattern,A Symmetrical Pattern,6,6,12,对称轴(Ln)之对称操作,对称轴 二次(two-fold rotation) = 360o/2 rotation to reproduce a motif in a symmetrical pattern,A Symmetrical Pattern,Motif,Element,Operation,6,6,= the symbol fo

5、r a two-fold rotation,13,对称轴(Ln)之对称操作,对称轴 二次(two-fold rotation) = 360o/2 rotation to reproduce a motif in a symmetrical pattern,A Symmetrical Pattern,Motif,Element,6,6,= the symbol for a two-fold rotation,第一步,第二步,14,对称轴(Ln)之对称操作,对称轴 二次(two-fold rotation) 变换矩阵,A Symmetrical Pattern,6,6,第一步,第二步,15,对称轴

6、(Ln)之对称操作,对称轴 二次(two-fold rotation) 等效的例子,16,对称轴(Ln)之对称操作,对称轴 二次(two-fold rotation) 等效的例子,17,对称轴(Ln)之对称操作,对称轴 二次(two-fold rotation) 等效的例子,18,对称轴(Ln)之对称操作,对称轴 二次(two-fold rotation) 等效的例子,19,对称轴(Ln)之对称操作,对称轴 二次(two-fold rotation) 等效的例子,20,对称轴(Ln)之对称操作,对称轴 二次(two-fold rotation) 等效的例子,21,对称轴(Ln)之对称操作,对称

7、轴 二次(two-fold rotation) 等效的例子,1st 180o rotation makes it coincident 2nd 180o brings the object back to its original position,22,对称轴(Ln)之对称操作,对称轴 三次(three-fold rotation) = 360o/3 rotation to reproduce a motif in a symmetrical pattern,A Symmetrical Pattern,6,6,6,23,对称轴(Ln)之对称操作,对称轴 三次(three-fold rotat

8、ion) = 360o/3 rotation to reproduce a motif in a symmetrical pattern,A Symmetrical Pattern,6,6,6,step 1,step 2,step 3,24,6,1-fold,2-fold,3-fold,4-fold,6-fold,变换矩阵：,对称轴(Ln)之对称操作,其他的对称轴(没有5-fold 和 6-fold 的),25,对称面(m)之对称操作,对称面(mirror) Reflection across a “mirror plane” reproduces a motif = symbol for a

9、 mirror,m,26,对称面(m)之对称操作,对称面(mirror) 变换矩阵,m,( m包含x、y轴),m包含x、z轴 ? m包含y、z轴 ? m在其他位置 ?,27,对称心之对称操作,对称心(C, 1) 假想的几何点，相对于这个点的反伸 (x, y, z) (-x, -y, -z) 变换矩阵：,28,对称心之对称操作,对称心(C, 1) 假想的几何点，相对于这个点的反伸 (x, y, z) (-x, -y, -z),29,对称心之对称操作,对称心(C) 假想的几何点，相对于这个点的反伸 (x, y, z) (-x, -y, -z) Step 1: rotate 360o/1 (iden

10、tity)?,30,对称心之对称操作,对称心(C) 假想的几何点，相对于这个点的反伸 (x, y, z) (-x, -y, -z) Step 1: rotate 360o/1 Step 2: invert,31,倒转轴(Lin)之对称操作,倒转轴 围绕直线旋转一定的角度和对于一定点的反伸 = 对称轴对称心 变换矩阵：,种类 Li1 = C Li2 = P Li3 = L3 +C Li4 Li6 = L3 +P,32,倒转轴(Lin)之对称操作,倒转轴 Li4为例,33,倒转轴(Lin)之对称操作,倒转轴 Li4为例,34,倒转轴(Lin)之对称操作,倒转轴 Li4为例,Step 1: Rota

11、te 360/4,35,倒转轴(Lin)之对称操作,倒转轴 Li4为例,Step 1: Rotate 360/4,Step 2: Invert,36,倒转轴(Lin)之对称操作,倒转轴 Li4为例,Step 1: Rotate 360/4,Step 2: Invert,37,倒转轴(Lin)之对称操作,倒转轴 Li4为例,Step 1: Rotate 360/4,Step 2: Invert,Step 3: Rotate 360/4,38,倒转轴(Lin)之对称操作,倒转轴 Li4为例,Step 1: Rotate 360/4,Step 2: Invert,Step 3: Rotate 360

12、/4,Step 4: Invert,39,倒转轴(Lin)之对称操作,倒转轴 Li4为例,Step 1: Rotate 360/4,Step 2: Invert,Step 3: Rotate 360/4,Step 4: Invert,40,倒转轴(Lin)之对称操作,倒转轴 Li4为例,Step 1: Rotate 360/4,Step 2: Invert,Step 3: Rotate 360/4,Step 4: Invert,Step 5: Rotate 360/4,41,倒转轴(Lin)之对称操作,倒转轴 Li4为例,Step 1: Rotate 360/4,Step 2: Invert,

13、Step 3: Rotate 360/4,Step 4: Invert,Step 5: Rotate 360/4,Step 6: Invert,42,倒转轴(Lin)之对称操作,倒转轴 Li4为例,4-fold rotoinversion ( 4 ),43,倒转轴(Lin)之对称操作,倒转轴 Li3,3-fold rotoinversion ( 3 ),1,6,5,2,3,4,44,倒转轴(Lin)之对称操作,倒转轴 Li6,6-fold rotoinversion ( 6 ),Top View,45,倒转轴(Lin)之对称操作,倒转轴对称操作之图解,46,映转轴(Lsn)之对称操作?,L1i

14、 = L2s = C；,L2i = L1s = P；,L3i = L6s = L3 + C；,L4i = L4s；,L6i = L3s = L3 + P,对称元素的组合,47,二次轴(L2)+对称面(P),对称元素的组合,48,二次轴(L2)+对称面(P) Step 1: reflect,对称元素的组合,49,二次轴(L2)+对称面(P) Step 1: reflect Step 2: rotate,对称元素的组合,50,二次轴(L2)+对称面(P) Step 1: reflect Step 2: rotate,Is that all?,No! A second mirror is requi

15、red !,So, L2 + P = L2 2P (2-D),对称元素的组合,51,四次轴(L4)+对称面(P),对称元素的组合,52,四次轴(L4)+对称面(P),Step 1: reflect,对称元素的组合,53,四次轴(L4)+对称面(P),Step 1: reflect,Step 2: rotate 1,对称元素的组合,54,四次轴(L4)+对称面(P),Step 1: reflect,Step 2: rotate 1,Step 3: rotate 2,对称元素的组合,55,四次轴(L4)+对称面(P),Step 1: reflect,Step 2: rotate 1,Step 3:

16、 rotate 2,Step 4: rotate 3,对称元素的组合,56,四次轴(L4)+对称面(P),Any other elements?,Yes, two more mirrors,So, L4 + P = L4 4P (2-D),对称元素的组合,57,三次轴(L3)+对称面(P),L3 + P = L3 3P (2-D),对称元素的组合,58,六次轴(L6)+对称面(P),L6 + P = L6 6P (2-D),对称元素的组合,59,Ln P(|) Ln n P Ln L2() Ln nL2 Ln P() = Ln C Ln P C (n =偶数) Lni P(|) = Lni L

17、2() Ln i nL2 nP (n =奇数) Lni P(|) = Lni L2() Ln i n/2L2 n/2P (n =偶数),对称元素的组合,60,几个实际的例子,点群(对称型)及其符号,61,什么是点群(point group)?,宏观晶体中所有对称元素的集合,10 unique 3-D symmetry elements: 1 2 3 4 6 i m 3 4 6 And 22 possible combinations of these elements Totally, 32 point groups,点群 (对称型)及其符号,62,点群 (对称型)及其符号,63,有多少种点群

18、? 32种 (见 .gif文件),如何得到的? 推导?,如何用符号表达? 习惯符号 国际(H-M)符号 圣佛利斯(Schoenflies)符号,参见教材: P33，表33,点群及其符号,64,教材：P3536,点群及其符号,65,点群的国际符号,最多有三个位, 分别代表不同方向 如mmm, 432, 4/m 了解不同位之间的关系 全面掌握(!)32种点群的国际符号,点群及其符号,66,点群的国际符号,4/mmm,1,2,3,1,1,2,3,3,2,P91, 表75,晶体的对称分类,67,晶族(crystal category)的划分 根据高次轴的有无及多少而将晶体划分为三个晶族 高级晶族(higher category) 中级晶族(intermediate category) 低级晶族(lower category),问题: 什么是高次轴? 最多有多少高次轴?,晶体的对称分类,68,晶系(crystal system)的划分 根据对称轴或倒转轴轴次的高低以及它们数目的多少，总共划分为如下七个晶系, 分属于三个晶族 等轴晶系(isometric syst