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文档简介
1、一、 问题的提出 二、 定积分的定义 三、 定积分的几何意义 四、 定积分的性质 五、 小结、作业,5.1 定积分的概念与性质,1 求平面图形的面积,一、问题的提出,会求梯形的面积,,曲边梯形的面积怎样求?若会,则可求出各平面图形的面积。,考虑如下曲边梯形面积的求法。,思路:用已知代未知,利用极限由近似到精确。,一般地,小矩形越多,小矩形面积和越接近曲边梯形面积,(四个小矩形),(九个小矩形),用矩形面积近似曲边梯形面积:,观察下列演示过程,注意当分割加细时, 矩形面积和与曲边梯形面积的关系,观察下列演示过程,注意当分割加细时, 矩形面积和与曲边梯形面积的关系,观察下列演示过程,注意当分割加细
2、时, 矩形面积和与曲边梯形面积的关系,观察下列演示过程,注意当分割加细时, 矩形面积和与曲边梯形面积的关系,观察下列演示过程,注意当分割加细时, 矩形面积和与曲边梯形面积的关系,观察下列演示过程,注意当分割加细时, 矩形面积和与曲边梯形面积的关系,观察下列演示过程,注意当分割加细时, 矩形面积和与曲边梯形面积的关系,观察下列演示过程,注意当分割加细时, 矩形面积和与曲边梯形面积的关系,观察下列演示过程,注意当分割加细时, 矩形面积和与曲边梯形面积的关系,观察下列演示过程,注意当分割加细时, 矩形面积和与曲边梯形面积的关系,观察下列演示过程,注意当分割加细时, 矩形面积和与曲边梯形面积的关系,观
3、察下列演示过程,注意当分割加细时, 矩形面积和与曲边梯形面积的关系,观察下列演示过程,注意当分割加细时, 矩形面积和与曲边梯形面积的关系,观察下列演示过程,注意当分割加细时, 矩形面积和与曲边梯形面积的关系,观察下列演示过程,注意当分割加细时, 矩形面积和与曲边梯形面积的关系,曲边梯形面积的计算:,曲边梯形面积的近似值为,有,小矩形面积和,2 、 求变速直线运动的路程,思路:把整段时间分割成若干小段,每小段上速度以其中某时刻的速度来近似,求出各小段上路程的近似值,再相加,便得到总路程的近似值,最后通过对时间的无限细分过程求得总路程的精确值,(1)分割:,路程的精确值,(2)求和:,(3)取极限
4、:,许多问题都会遇到这类形式的和式极限。,二、定积分的定义,定义,记为,积分上限,积分下限,积分和,注:,1、可积的充分条件,2、可积的必要条件,存在定理,为曲边梯形的面积;,为曲边梯形的面积的负值。,三、定积分的几何意义,一般地,例1 计算,解,四、定积分的性质,补充规定:,说明,在下面的性质中,假定定积分都存在,且不考虑积分上下限的大小,性质1,性质2,性质1与2合为定积分的线性性质:,性质3(关于积分区间的可加性),性质4,推论1(比较定理),性质5(保号性),推论2,解,(此性质可用于估计积分值的大致范围),性质6 (估值不等式),解,性质7(积分中值定理),积分中值公式,几何解释:,注 积分中值定理将对积分值的讨论转化为对被积函数的讨论。,五、小结,定积分的实质:特殊和式的极限,定积分的思想和方法:,求近似:以直(不变
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