由“牧童放牛”想到的——求线段和最小值问题初探

1、由“牧童放牛”想到的,学习目标：,1.灵活掌握定理“两点之间线段最短”和“轴对称的性质”. 2.体会转化思想在数学中的应用，即化复杂问题为简单问题，化抽象问题为具体问题.,1、如图，一位小牧童，从A地出发，赶着牛群到B地，请问他应该选择怎样的路径， 才能使牛群所走的路程最短？ 为什么？,A,B,考点1、两点之间线段最短,一、课本中的两点基本知识：,2、小牧童，从A地出发，赶着牛群到河岸边L饮水，然后再到B地，请问怎样选择饮水的地点， 才能使牛群所走的路程最短？,A,B,L,成轴对称的两个点到对称轴上任意一点的距离相等。,考点2：,.,A,P,如图,等边ABC中，边长=1，E是边BC的中点，BD

2、是AC边上的高，在BD上确定一点，使其到E、C的距离和最小，这个最小值是 .,A,B,C,D,E,二、合作学习、展现精彩,变式1、利用等边三角形的对称性求线段和的最小值,如图，正方形ABCD的边长为8，点E、F分别在AB、BC上，AE3，CF1，P是对角线AC上的一个动点，则PEPF的最小值是( ),变式2、利用正方形的对称性求线段和的最小值,（2001海南中考）如图所示，在边长为6的菱形ABCD中，DAB=60，E为AB的中点，F是AC上一动点，则EF+BF的最小值是 。,变式3、利用菱形的对称性求线段和的最小值,（2005年河南中考）如图，在梯形ABCD中，ADBC，ABCDAD1，B60

3、，直线MN为梯形ABCD的对称轴，P为MN上一点，那么PCPD的最小值为_。,变式4、利用梯形的对称性求线段和的最小值,（2000年荆门中考）如图，A是半圆上一个三等分点，B是弧AN的中点，P是直径MN上一动点，O的半径为1，则AP+BP的最小值是 。,变式5、利用圆的对称性求线段和的最小值,（2，-3）,变式6、利用坐标轴的对称性求线段和的最小值,某乡镇为了解决抗旱问题，要在某河道建一座泵水站，分别向河的同一侧的张村Q和李村P送水，工程人员设计图纸时，以河道上的大桥O为坐标原点，以河道所在的直线为X轴建立坐标系，Q（2，3），P（12，7），,泵水站建在距离大桥O多远的地方可使输水管道最短？

4、,x,y,o,A,C,（2008巩义市期末考试） 如图，抛物线y=x+bx+c与x轴交于两点A（-1，0）， B（3，0） （1）求抛物线的解析式； （2）设1中抛物线交y轴于C点，在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得QAC的周长最短，若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由.,B,变式7、利用抛物线的对称性求线段和的最小值,如图，MON=30，A为OM上一点，OA=1，D为ON上一点，OD=3，C为AM上任意一点， B为OD上任意一点，那么折线ABCD的长AB+BC+CD的最小值是多少？,变式8、三条线段和的最小问题,.,.,A,D,M,O,N,.,A,.,D,B,C,三、自悟自得（小结

5、）： 这一类型题的共同特征是：利用 和 的知识，将“不在同一直线上的线段和 ”转化为 ，从而做到化复杂为简单，化抽象为具体。,1、（2011深圳中考）如图1，抛物线y=ax2+bx+c（a0）的顶点为C（l，4），交x轴于A、B两点，交y轴于点D，其中点B的坐标为（3，0） （1）求抛物线的解析式； （2）如图2，过点A的直线与抛物线交于点E，交y轴于点F，其中点E的横坐标为2，若直线PQ为抛物线的对称轴，点G为直线PQ上的一动点，则x轴上是否存在一点H，使D、G，H、F四点所围成的四边形周长最小？若存在，求出这个最小值及点G、H的坐标；若不存在，请说明理由；,四、质疑再探、勇攀高峰,1、（2

6、008年呼和浩特）如图，已知梯形ABCD ，ADBC，AD =DC=4，BC =8，点N在BC上，CN =2，E是AB中点，在AC上找一点M使EM+MN的值最小，此时其最小值一定等于 .,2、如图，A处为牧草地，B处是牧童的家，A，B两处距河岸的距离分别为AC=35m，BD=125m，且AB两地的距离为150m，天黑前牧童从A点将马牵到河边去饮水，再赶回家为了使所走的路程最短，牧童应将马赶到河边的什么地点？请你在图中画出来；请你求出他要走的最短路程,O,X,Y,A,B,3.（2008中考说明）如图两艘军舰A、B在某海港中的位置坐标分别为（2，9）和（10，1），在Ox和Oy两岸上各有一个军需所

7、，A舰舰长乘小艇从A舰出发，先到Oy边的军需所，再到Ox边的军需所各 取一些物资，然后一块送到B舰上，要使舰长所走的水路最近，他应分别在Ox、Oy岸边的何处上岸？,解：求出A点关于Oy的对称点C，B点关于Ox的对称点D，连接CD交Oy于E点，交Ox 于F点，E点是舰长在Oy岸边登陆的位置，F是舰长在Ox岸边登陆的位置；,C,D,E,F,A、C两点关于Oy对称，EA=EC， B、D关于Ox对称，FB=FD 舰长所走的水路为AE+EF+BF=CE+EF+DF，C、E、F、D在同一条直线上 AE+EF+BF=CE+EF+DF=CD，此时水路最短，也就是CD的长；求出直线CD的解析式，即可的到E、F两点的坐标，也就是舰长分别在Ox、Oy岸边登陆的位置。,，,、,、,4.（2010天津市中考）,在平面直角坐标系中，矩形OACB的顶点O在坐标原点，顶点A、B分别在