§2.3 极限应用的一个例子-连续函数.ppt

1、2.3 极限应用的一个例子 连续函数,连续函数的概念 反函数和复合函数的连续性 初等函数的连续性,2.3.1连续函数的概念,1.连续函数的两个定义,设函数y=f(x)的定义域为X, 如图所示,x=xx0, 称为自变量, 在点x0的改变量或增量.,y=f(x)f(x0) 或 y=f(x0+x)f(x0) 称为函数的改变量或增量.,设函数f(x)在点x0的邻域内有定 义, 当xx0时f(x)的极限存在, 且等于该 点处的函数值f(x0), 即,定义1,则称函数f(x)在点x0处连续, x0称为函数 f(x)的连续点.,如果函数在某一区间的任意一点都 连续,则称此函数是该区间上的连续函数.,连续函数

2、的图形是一条连续而不间 断的曲线.,例1. 证明函数,在x=0处连续.,证,又 f(0)=0,则,由定义1知,函数f(x)在x=0处连续.,则称函数f(x)在点x0处连续,设函数f(x)在点x0的邻域内有定 义,当x=xx00时, y=f(x)f(x0)0, 即,定义2,函数在一点处连续的本质特征: 自变量变化很小时,函数值的变化也很小.,例2. 证明正弦函数y=sinx在区间(,+) 内连续.,证,任取x(,+),y=sin(x+x)sinx,由于|sin| ，,当x0时, y0,则 |y|x| .,即sinx在点x处连续.,由x的任意性,命题得证.,2.函数的间断点,由定义1,函数f(x)

3、在点x0处连续应 同时满足三个条件：,(1) f(x)在点x0处有定义,(2),存在,(3),如果这三个条件至少有一个不满 足,则称函数f(x)在点x0间断, x0称为函 数的间断点.,例如, 函数,在x=0处无定义,所以x=0是该函数的间断点.,例如, 函数,在x=0处极限不存在,所以x=0是该函数的间断点.,另: 第二个条件可以用“左、右极限存在 且相等”来代替,用于讨论分段函数的 连续性.,例3. 讨论函数,在x=0处的连续性.,解：,左、右极限存在但不相等, 故,不存在,即该函数在x=0处间断.,例4.,问a为何值时,f (x)在x=0连续.,解: f (0)=3,= 3,为使f (x

4、)在x=0连续, 必须 f (00)=f (0)=f (0+0),即, a=3.,故 a=3时, f (x)在x=0连续.,= a,或f(x)在点x0处 无定义,则称点x0为函数f(x)的可去间断点.,间断点的类型,1. 跳跃间断点 如果f(x)在点x0左、右极限 都存在, 但, 则称点x0 为函数f(x)的跳跃间断点。,如例3,2. 可去间断点 如果f(x)在点x0处的极限存 在, 但,跳跃间断点与可去间断点统称为第一类 间断点.,特点: 函数在点x0处的左、右极限都存在.,第一类间断点,第二类间断点 如果f(x)在点x0处的左、 右极限至少有一个不存在,则称点x0为函 数f(x)的第二类间

5、断点.,无穷型,振荡型,第二类间断点,例. 确定函数,间断点的类型.,解: 间断点,为无穷间断点;,故,为跳跃间断点.,2.3.2连续函数求极限的法则,设函数f(x)在点x0处连续, 则,连续函数求极限的法则：连续函数在连 续点处的极限值等于函数在该点处的函 数值（极限符号可以与函数符号互换）.,例1. 求,解：,可以证明，函数cosx在(-,+)内 为连续函数.,函数cosx在点x=处连续. 则,=cos,= 1,2.3.3 初等函数的连续性,1.连续函数的四则运算 2.反函数和复合函数的连续性 3.初等函数的连续性,(g(x0)0) 在 点x0处也连续.,1.连续函数的四则运算,若函数f(

6、x), g(x)在点x0处连续,则 f(x)g(x), f(x)g(x),例如，sinx, cosx在(,+)内连续,故tanx, cotx, secx, cscx在其定义域内 连续.,2.反函数和复合函数的连续性,定理1 单调连续函数的反函数仍是单调 连续函数.,例如, y=sinx在/2, /2上单调增加且连续,故y=arcsinx在1,1上也单调增加且连续.,同理y=arccosx在1,1上单调减少且连续,y=arctanx, y=arccotx在(,+)上单 调且连续.,定理2 连续函数的复合函数仍是连续函数.,例如,在(,0)(0,+)内连续,y=sinu在(,+)内连续,在(,0)

7、(0,+)内连续.,3.初等函数的连续性,常数函数、三角函数及反三角函数在它们的定义域内是连续的.,指数函数y=ax (a0,a1)在(,+) 内单调且连续.,对数函数y=logax (a0,a1)在(0,+) 内单调且连续.,幂函数y=x,而y=au, u=logax在(0,+)内连续.,讨论不同值,幂函数均在其定义域内连续.,可知, 所有基本初等函数在其有定义 的区间内连续.,进一步, 初等函数在其有定义的区间 内连续.,是初等函数,在点 x0=1处有定义,例. 求,解：,原式=,故在x0=1处连续,由连续函数求极限的法则,有,思考题,设,已知f(x)在x=0处连续, 试确定a和b的值,答

8、案：(a=1,b=e),2.3.4 闭区间上连续函数的性质,一、最大值和最小值定理 二、介值定理,1.最大值和最小值定理,定理1 (最大值和最小值定理) 闭区间上 的连续函数一定存在最大值和最小值.,至少存在一个 最高点(x1, f(x1)和 最低点(x2, f(x2),使得xa,b,有f(x1)f(x) f(x2)f(x).,1. 若区间不是闭区间,定理不一定 成立,2. 若区间内有间断点,定理不一定 成立,注意:,但它既存在最大值,也存 在最小值.,推论(有界性定理) 在闭区间上连续的 函数一定在该区间上有界.,例如,符号函数,不是连续函数,应注意条件与结论之间的逻辑关系.,2.介值定理,

9、定理2(介值定理) 若函数f(x)在闭区间 a,b上连续,且f(a)f(b), 为介于f(a)与 f(b)之间的任意一个数,即f(a)f(b),则至少存在一个内点(a, b),使得f()= .,连续曲线弧y=f(x) 与水平直线y=至 少有一个交点.,推论 (根的存在定理) 若函数f(x)在闭区 间a,b上连续,且f(a)与f(b)异号, 则至少 存在一个内点(a,b),使得f()=0.,连续曲线弧y=f(x)的 两个端点位于x轴的 两侧, 则曲线弧与x 轴至少有一个交点,若方程f(x)=0左端的函数f(x)在闭 区间a,b两个端点处的函数值异 号,则该方程在开区间(a,b)内至少 存在一个根 .,应用:,例1. 证明方程x34x2+1=0在区间(0,1)内 至少有一根.,证,令f(x)=x34x2+1，,则f(x)在区间0,1上连续.,又 f(0)=1,f(1)= 2,由根的存在定理,(0,1),使f()=0.,即342+1=0.,故方程x34x2+1=0在区间(0,1)内至少 有一根 .,0,0,例2. 设函数f(x)在区间a,b上连续,且 f(a)b,证明(a,b),使f()=.,证,