高考数学一轮复习 2.3函数的奇偶性精品学案

1、20122012 版高三数学一轮精品复习学案：函数、导数及其应用版高三数学一轮精品复习学案：函数、导数及其应用 2.32.3 函数的奇偶性函数的奇偶性 【高考目标导航】 一、考纲点击 1、结合具体函数，了解函数奇偶性的含义； 2、会运用函数图象理解和研究函数的奇偶性; 3、了解函数周期性、最小正周期的含义，会判断、应用简单函数的周期性。 二、热点难点提示 1、函数的奇偶性及简单函数的周期性是考查热点； 2、函数奇偶性的判断、利用奇偶函数图象特点解决相关问题、利用函数奇偶性、周期性求函数数值 及求参数值等问题是重点，也是难点； 3、题型以选择题和填空题为主，还可与其他知识点交汇命题 【考纲知识梳

2、理】 一、函数的奇偶性 奇偶性定义图象特点 偶函数如果对于函数 f(x)的定义域内任 意一个，都有 f(-x)=f(x)，那么 函数 f(x)是偶函数。 关于 y 轴对称 奇函数如果对于函数 f(x)的定义域内任 意一个，都有 f(-x)=-f(x)，那 么函数 f(x)是奇函数。 关于原点对称 注：1、奇偶函数的定义域的特点：由于定义中对任意一个 x 都有一个关于原点对称的-x 在定义域中， 即说明奇偶函数的定义域必关于原点对称； 2、存在既是奇函数，又是偶函数的函数，它们的特点是定义域关于原点对称，且解析式化简后等于 零。 二、奇偶函数的性质 1、奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，

3、偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反 （填 “相同” 、 “ 相反” ） 。 2、在公共定义域内， 亦即： （1）两个奇函数的和函数是奇函数，两个奇函数的积函数是偶函数； （2）两个偶函数的和函数、积函数是偶函数； （3）一个奇函数，一个偶函数的积函数是奇函数。 注：以上结论是在两函数的公共定义域内才成立；并且只能在选择题、填空题中直接应用，解答题需 先证明再利用。 3、若是奇函数 f(x)且在 x=0 处有定义，则 f(0)=0. 4、对称性：奇（偶）函数的定义域关于原点对称，且这是函数具有奇偶性的必要不充分条件； 5、整体性：奇偶性是函数的整体性质，对定义域内任意一个x都必须成立； 6

4、、可逆性： )()(xfxf )(xf是偶函数； )()(xfxf)(xf奇函数； 7、等价性：)()(xfxf0)()(xfxf )()(xfxf0)()(xfxf 8、奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y轴对称； 9、可分性：根据函数奇偶性可将函数分类为四类：奇函数、偶函数、既是奇函数又是偶函数、非奇 非偶函数。 三、周期性 1、周期函数：对于函数y=f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当 x 取定义域内的任何值时，都有 f(x+T)=f(x),那么就称函数y=f(x)为周期函数，T为这个函数的周期。 2、最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个

5、最小的正数就叫 做它的最小正周期。 【要点名师透析】 一、函数奇偶性的判定 1、相关链接 利用定义判断函数奇偶性的一般步骤 ，即： （1）首先确定函数的定义域，看它是否关于原点对称。若不对称，则既不是奇函数又不是偶函数。 （2）若定义域关于原点对称，再判定 f(-x)与 f(x)之间的关系 若 f(-x)=-f(x)（或 f(-x) +f(x)=0） ，则为奇函数； 若 f(-x)=f(x)(或 f(-x) -f(x)=0)，则 f(x)为偶函数； 若 f(-x)=-f(x)且 f(-x)=f(x)，则 f(x)既是奇函数又是偶函数; 若 f(-x) f(x)且 f(-x)- f(x)，则 f

6、(x)既不是奇函数也不是偶函数。 一些重要类型的奇偶函数 （1）函数 f(x)=ax+a-x为偶函数; 函数 f(x)=ax-a-x为奇函数； （2）函数 f(x)=( ax-a-x)/( ax+a-x)=( ax-1)/( ax+1)其中（a0 且 a1）为奇函数； （3）函数 f(x)=loga( 1 1 x x )为奇函数（a0 且 a1）; （4）函数 f(x)= loga( 2 1xx)为奇函数（a0 且 a1） 2、例题解析 例 1讨论下述函数的奇偶性： );111(1)()3( ; )0)(1(1 )0(0 )0)(1(1 )()2(; 2 2116 )() 1 ( 22 2 x

7、xogxf xxxn x xxxn xfxf x xx );0( | )()4( 22 a aax xa xf常数 解：（1）函数定义域为 R， )( 2 2116 1 4 161 211 16 1 2 2 2116 )(xfxf x xx x x x x x x xx ， f(x)为偶函数； （另解）先化简： 1441 4 116 )( xx x x xf ，显然 )(xf 为偶函数；从这可以看出，化简 后再解决要容易得多。 （2）须要分两段讨论： 设 );()1(1 1 1 1)1(1)( , 0, 0 xfxxn xx nxxnxf xx 设 )()1(1 1 1 1)1(1)( , 0

8、, 0 xfxxn xx nxxnxf xx 当 x=0 时 f(x)=0，也满足 f(x)=f(x)； 由、知，对 xR 有 f(x) =f(x)， f(x)为奇函数； （3） 1 01 01 2 2 2 x x x ，函数的定义域为 1x ， f(x)=log21=0(x=1) ，即 f(x)的图象由两个点 A（1，0）与 B（1，0）组成，这两点既关于 y 轴对称，又关于原点对称，f(x)既是奇函数，又是偶函数； （4）x2a2, 要分 a 0 与 a 0 时， ), 0() 0 , ( | aa aax axa 函数的定义域为 x xa xfax 22 )(, 0| ，当 a 0 时，

9、f(x)为奇函数； , 2 , 2 , 2 )(, 0| 21 22 a x a x ax xa xfax 称的两点取定义域内关于原点对 )(,0, 0 3 3 5 3 ) 2 () 2 (xfa a f a f时当 既不是奇函数，也不是偶函数 例 2f（x）是定义在（，55，）上的奇函数，且f（x）在5，）上单调递减， 试判断f（x）在（，5上的单调性，并用定义给予证明 解析：任取x1x25，则x1x25 因f（x）在5，上单调递减，所以f（x1）f（x2）f（x1）f（x2）f（x1） f（x2） ，即f（x）在（，5上单调减函数 二、分段函数的奇偶性 1、分段函数奇偶性的判定步骤 （1）

10、分析定义域是否关于原点对称； （2）对 x 的值进行分段讨论，寻求 f(X)与 f(-X)在各段上的关系； （3） 综合（2）在定义域内 f(X)与 f(-X)的关系，从而判断 f(X)的奇偶性。 注：奇偶性是函数的一个整体性质，不能说函数在定义域的某一段上是奇函数或偶函数。 2、例题解析 例 1已知函数 2 2 4 (0) ( ) 4 (0) xx x x f x xx x x 。试判断( )f x的奇偶性 分析：确定定义域判断每一段上()fx与( )f x的关系判断整个定义域上()fx与( )f x的关 系结论。 解答：由题设可知函数的定义域关于原点对称。 当0 x 时，0 x 2 22

11、2 22 4 ( ), ()()44 (), ( )(). 0,0, 4 ( ), ()()44 (), ( )(). 0()( ) ( ) xx f x x xxxx fx xx f xfx xx xx f x x xxxx fx xx f xfx fxf x f x 则 当 则 综上所述，对于x都有成立， 为偶函数。 注：分段函数奇偶性的判断，要注意定义域内 x取值的任意性，应分段讨论，讨论时可依据 x 的范围 取相应的解析式化简，判断 f(x)与 f(-x)的关系，得出结论，也可以利用图象作判断 例 2判断函数的奇偶性 解析：显然函数 f(x)的定义域为：(-，0)(0,+)，关于原点对

12、称， 当 x0，则 f(-x)=-(-x)2-x=-x2-x=-f(x)； 当 x0 时,-x0，则 f(-x)=(-x)2-x=x2-x=-f(x)； 综上可知：对于定义域内的任意 x，总有 f(-x)=-f(x)成立，函数 f(x)为奇函数； 三、抽象函数的奇偶性 1、相关链接 判断（或证明）抽象函数的奇偶性的步骤 （1）利用函数奇偶性的定义，找准方向（想办法出现 f(x),f(-x)）; （2）巧妙赋值，合理、灵活变形配凑； （3）找出 f(X)与 f(-X)关系，得出结论。 2、例题解析 例 1已知函数 f(x)对一切 x、yR，都有 f(x+y)=f(x)+f(y)， (1)判断函数

13、 f(x)的奇偶性； (2)若 f(-3)=a，用 a 表示 f(12) 分析：判断函数奇偶性的一般思路是利用定义，看 f(-x)与 f(x)的关系，进而得出函数的奇偶性；解 决本题的关键是在 f(x+y)=f(x)+f(y)中如何出现 f(-x)；用 a 表示 f(12)实际上是如何用 f(-3)表示 f(12)，解决该问题的关键是寻找 f(12)与 f(-3)的关系 解答： 1( ) ()( )( ), 0(0)2 (0),(0)0. ,(0)( )(), ()( ),( ) f xR xyf xyf xf y xyfff yxff xfx fxf xf x 显然的定义域是，关于原点对称。

14、 又函数对一切、都有 令，得 再令得 为奇函数。 (2)( 3)( ) (3)( 3). ()( )( ), (12)(66)(6)(6)2 (6)3 (33)4 (3)4 . faf x ffa f xyf xf y xyR fffffffa 且为奇函数， 又、， 例 2 设函数 )(xf 在 ),( 上满足 )2()2(xfxf ， )7()7(xfxf ，且在闭区间 0，7上，只有 0)3() 1 ( ff （1）试判断函数 )(xfy 的奇偶性； （2）试求方程 0)(xf 在闭区间 2005,2005 上的根的个数，并证明你的结论。 解析：（1）由 )2()2(xfxf ，得函数 )

15、(xfy 的对称轴为 2x )5() 1(ff 而 ) 1() 1 (0)5(fff ，即 )(xf 不是偶函数 又 )(xf 在0，7上只有 0)3() 1 ( ff 0)0(f 从而知函数 )(xfy 不是奇函数 故函数 )(xfy 是非奇非偶函数 （2） )7()7( )2()2( xfxf xfxf )14()4( )14()( )4()( xfxf xfxf xfxf )10()(xfxf 从而知函数 )(xfy 的周期为 T=10 又 0) 1 ()3( ff 0)9()7()13()11(ffff 故 )(xf 在0，10和 0 , 10 上均有 2 个根，从而可知函数 )(xf

16、y 在0，2000上有 400 个根，在 2000，2005上有 2 个根，在 0 ,2000 上有 400 个根，在 2000,2005 上没有根。 函数 )(xfy 在 2005,2005 上有 802 个根。 注：抽象函数奇偶性的判断，关键是要充分理解题意，灵活选取变量的值。 四、函数的周期性及其应用 1、相关链接 关于周期函数的常用结论： （1）若对于函数 f(x)定义域内的任意一个 x 都有： f(x+a)=-f(x)，则函数 f(x)必为周期函数，2|a|是它的一个周期； f(x+a)= 1 ( )f x ，则函数 f(x)必为周期函数，2|a|是它的一个周期； f(x+a)=-

17、1 ( )f x ，则函数 f(x)必为周期函数，2|a|是它的一个周期； (2)如果 T 是函数 y=f(x)的周期，则 kT(kZ,k0)也是函数 y=f(x)的周期，即 f(x+kT)=f(x)； 若已知区间m,n(mn)上的图象，则可画出区间m+kT,n+kT(kZ,k0)上的图象. 2、例题解析 例 1已知函数 f(x)满足：f(1)= 1 4 ，4f(x)f(y)=f(x+y)+f(x-y)(x,yR)，则 f(2 010)=_. 思路分析：本题已知函数 f(x)是抽象函数，所求 f(2 010)的值与已知函数值的变量相差距离较大， 可能与函数的周期性有关，因此可由归纳得出结论求值

18、，需要求出多个函数值才发现规律；也可据递推 关系推导出周期函数的结论，进而解决问题. 解析：方法一： 令 x=1,y=0，则 4f(1)f(0)=f(1)+f(1)， 所以 f(0)= 1 2 ； 令 x=y=1，则 4f(1)f(1)=f(2)+f(0)， 所以 f(2)=- 1 4 ； 令 x=2,y=1，则 4f(2)f(1)=f(3)+f(1)， 所以 f(3)=- 1 2 ； 令 x=y=2，则 4f(2)f(2)=f(4)+f(0)， 所以 f(4)=- 1 4 ； 令 x=4，y=1,则 4f(4)f(1)=f(5)+f(3)， 所以 f(5)= 1 4 ； 令 x=y=3，则

19、4f(3)f(3)=f(6)+f(0)， 所以 f(6)= 1 2 ； 令 x=6，y=1，则 4f(6)f(1)=f(7)+f(5), 所以 f(7)= 1 4 ； 函数值以 6 为周期循环出现，又因为 2010 335 6 ， 所以 f(2 010)=f(3356+0)=f(0)= 1 2 . 方法二：令 y=1，则 4f(x)f(1)=f(x+1)+f(x-1)， f(1)= 1 4 ,f(x)=f(x+1)+f(x-1)， f(x+1)=f(x)+f(x+2) =f(x+1)+f(x-1)+f(x+2)， f(x-1)=-f(x+2)，即 f(x)=-f(x+3)， f(x+6)=f(

20、x)，即函数 f(x)是周期为 6 的函数， 又令 x=1,y=0，则 4f(1)f(0)=f(1)+f(1)， f(0)= 1 2 ， f(2 010)=f(3356+0)=f(0)= 1 2 . 答案： 1 2 例 1已知 f(x)是定义在 R 上的函数，且满足 f(x)+f(x-1)=1,当 x0,1时，有 f(x)=x2，现 有三个命题： f(x)是以 2 为周期的函数； 当 x1,2时，f(x)=-x2+2x; f(x)是偶函数. 其中正确命题的序号是_. 解析：正确. f(x)+f(x-1)=1 (1) f(x+1)+f(x)=1 (2) (2)-(1)得 f(x+1)-f(x-1

21、)=0, f(x+1)=f(x-1), 则 f(x+2)=f(x), f(x)是以 2 为周期的函数. 正确.当 x1,2时， x-10,1, f(x)=1-f(x-1)=1-(x-1)2=2x-x2 (x0,1时，f(x)=x2). 错误.当 x-1,0时，x+10,1. f(x)=1-f(x+1)=1-(x+1)2, f(x)=-x2-2x, 又-x0,1, f(-x)=(-x)2=x2, f(x)f(-x)，f(x)不是偶函数. 答案： 五、函数奇偶性与周期性的综合应用 例已知函数 f(x)在 R 上满足 f(2-x)=f(2+x)，f(7-x) =f(7+x)且在闭区间0,7上，只有

22、f(1)=f(3)=0， (1)试判断函数 y=f(x)的奇偶性； (2)试求方程 f(x)=0 在闭区间-2 011,2 011上根的个数，并证明你的结论 思路分析：(1)判断函数奇偶性的一般思路是利用定义，看 f(-x)与 f(x)的关系，但本题不易出现 f(-x)与 f(x)，但可先假设该函数是奇函数或偶函数，看能否得出不正确的结论，进而得出结论(即举反 例来判断函数的奇偶性).(2)先求函数的周期，然后在它的一个周期内求解，再由其周期性求出定义域内 的全部解 解析：(1)若 y=f(x)为偶函数， 则 f(-x)=f(2-(x+2)=f(2+(x+2)=f(4+x)=f(x)， f(7

23、)=f(3)=0，这与 f(x)在闭区间0,7上，只有 f(1)=f(3)=0 矛盾；因此 f(x)不是偶函数. 若 y=f(x)为奇函数， 则 f(0)=f(-0)=-f(0)，f(0)=0,这与 f(x)在闭区间0,7上，只有 f(1)=f(3)=0 矛盾；因此 f(x)不 是奇函数. 综上可知：函数 f(x)既不是奇函数也不是偶函数. (2)f(x)=f(2+(x-2)=f(2-(x-2)=f(4-x)， f(x)=f(7+(x-7)=f(7-(x-7)=f(14-x)， f(14-x)=f(4-x),即 f(10+(4-x)=f(4-x) f(x+10)=f(x),即函数 f(x)的周

24、期为 10. 又f(1)=f(3)=0， f(1)=f(1+10n)=0(nZ)， f(3)=f(3+10n)=0(nZ)， 即 x=1+10n 和 x=3+10n(nZ)均是方程 f(x)=0 的根. 由-2 0111+10n2 011 及 nZ 可得 n=0，1，2，3， ，201，共 403 个； 由-2 0113+10n2 011 及 nZ 可得 n=0，1，2，3， ，200，-201，共 402 个； 所以方程 f(x)=0 在闭区间-2 011,2 011上的根共有 805 个. 【方法提示】(1)如何判断函数不具有某性质 判断函数不具有某性质只需举出一个反例即可； (2)奇偶函

25、数根的个数问题 由于奇偶函数的定义域关于原点对称，且 f(-x)=f(x)或 f(-x)=-f(x)，所以，除去根为零外，如果有解，则解的个数为偶数个. 注:方程 f(x)=A(其中 A 为非零常数)的解的个数，如果函数 f(x)为偶函数时解的个数为偶数个，如 果函数 f(x)为奇函数时解的个数不一定为偶数个 六、函数的奇偶性与单调性的综合应用 例定义在 R 上的函数 )(xf 满足对任意 Ryx、 恒有 )()()(yfxfxyf ，且 )(xf 不恒为 0。 （1）求 ) 1 (f 和 ) 1(f 的值； （2）试判断 )(xf 的奇偶性，并加以证明； （3）若 0 x 时 )(xf 为增

26、函数，求满足不等式 0)2() 1(xfxf 的x的取值集合。 解析： （1）令 1 yx ，得 ) 1 () 1 () 1 (fff 0) 1 (f 令 1 yx ，得 ) 1() 1() 1 (fff 0) 1(f （2）令 1y ，由 )()()(yfxfxyf ，得 ) 1()()(fxfxf 又 0) 1(f )()(xfxf 又 )(xf 不恒为 0 )(xf 为偶函数 （3）由 0)2() 1(xfxf 知 )2() 1(xfxf 又由（2）知 |)(|)(xfxf )2()1(xfxf 又 )(xf 在 ), 0 上为增函数 xx21 故x的取值集合为 2 1 |xx 注：（1

27、）对抽象函数解不等式问题，应充分利用函数的单调性，将“f”脱掉，转化为我们会求的 不等式； （2）奇偶函数的不等式求解时，要注意到：奇函数在对称的单调区间上有相同的单调性，偶函数在 对称的单调区间上有相反的单调性。 【感悟高考真题】 1、 （2011广东高考理科4）设函数( )f x和)(xg分别是 R 上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立 的是 A( )f x+|)(xg|是偶函数 B( )f x-|)(xg|是奇函数 C|( )f x| + )(xg 是偶函数 D|( )f x|- )(xg是奇函数 【思路点拨】本题主要考查函数的奇偶性，可由奇偶性的概念进行判断. 【精讲精析】选 A.由题

28、意)()(),()(xgxgxfxf.令| )(|)()(xgxfxF，则 )(| )(|)(| )(|)()(xFxgxfxgxfxF . )(xF 是偶函数.故选 A. 2、 （2011安徽高考文科11）设( )f x是定义在 R 上的奇函数，当 x0 时，( )f x= 2 2xx，则 (1)f . 【思路点拨】由奇函数的定义有),()(xfxf所以 1( 1).ff 【精讲精析】答案:-3.由奇函数的定义有),()(xfxf所以 2 1( 1)2 ( 1)13ff . 3、 （2011广东高考文科12）设函数 f(x)=x3cosx+1,若 f(a)=11,则 f(-a)=_. 【思路

29、点拨】令 g(x)=x3cosx,利用 g(x)是奇函数，求出 g(a)=10，从而 f(-a)=g(-a)+1=-g(a)+1，可得结 论. 【精讲精析】答案-9 令 g(x)=x3cosx,则 f(x)= g(x)+1 且 g(x)为奇函数，所以 g(-a)=-g(a).由 f(a)=11 得 g(a)+1=11,所以 g(a)=10 f(-a)=g(-a)+1=-g(a)+1=-10+1=-9 4、 （2011浙江高考理科11）若函数 2 ( )f xxxa为偶函数，则实数a 【思路点拨】两个偶函数的和函数亦是偶函数,偶函数与其它函数的和函数为非奇非偶函数. 【精讲精析】解法一：)(xf

30、为偶函数，)()(xfxf， 即 22 | ()|xxaxxaxaxa 恒成立，0a. 解法二：函数 2 yx为偶函数，函数yxa是由偶函数yx向左或向右平移了a个单位，要使整 个函数为偶函数，则需0a . 5. （2010 北京文数）若 a,b 是非零向量，且a b ， ab ，则函数 ( )() ()f xxabxba 是 （A） （A）一次函数且是奇函数 （B）一次函数但不是奇函数 （C）二次函数且是偶函数 （D）二次函数但不是偶函数 答案：A 6. （2010 天津文数）(5)下列命题中，真命题是 (A) mR,fxxmxxR 2 使函数（）=（）是偶函数 (B) mR,fxxmxxR

31、 2 使函数（）=（）是奇函数 (C) mR,fxxmxxR 2 使函数（）=（）都是偶函数 (D) mR,fxxmxxR 2 使函数（）=（）都是奇函数 【答案】A 【解析】本题主要考查奇偶数的基本概念，与存在量词、全称量词的含义，属于容易题。当 m=0 时，函 数 f（x）=x2是偶函数，所以选 A. 7. （2010 江苏卷）5、设函数 f(x)=x(ex+ae-x)(xR)是偶函数，则实数a=_ 解析考查函数的奇偶性的知识。g(x)=ex+ae-x为奇函数，由 g(0)=0，得a=1。 【考点模拟演练】 一、选择题 1.“函数 f(x)为奇函数”是“f(0)=0”的( ) (A)充分不

32、必要条件 (B)必要不充分条件 (C)充要条件 (D)既不充分又不必要条件 【解析】选 D.f(x)= 1 x 为奇函数，但 f(0)不存在；对函数 f(x)=x2，有 f(0)=0，但 f(x)为偶函数，故选 D 2.已知函数 y=f(x)是定义在 R 上的奇函数，且 f(2+x)=f(2-x),则 f(4)=( ) (A)4 (B)2 (C)0 (D)不确定 【解析】选 C.f(x)为奇函数，f(-x)=-f(x)， 即 f(0)=-f(0)，f(0)=0. 又f(2+x)=f(2-x)， f(4)=f(2+2)=f(2-2)=f(0)=0. 3. 设)()(xgxf、分别是定义在 R 上

33、的奇函数和偶函数，当0 x时，)()(xgx f 0)()(xgxf，且0)3(g，则不等式0)()(xgxf的解集是（D ） A. ), 3()0 , 3(B. )3 , 0()0 , 3( C. ), 3()3,(D. )3 , 0()3,( 解析：令 )()()(xgxfxF )()(xgxf、 分别是奇函数、偶函数 )(xF 为奇函数 又 0)()()()(xgxfxgxf ，即 )(xF 在 ) 0 , ( 上为增函数 又 0)3(f 0)3(F 0)3()3(FF 又 )(xF 在 ), 0( 上也是增函数 故 0)(xF 的解集为 )3 , 0()3,( 4. 设)(xf是定义在

34、 R 上以 6 为周期的函数，)(xf在（0，3）内单调递减，且)(xfy 的图象关于 直线3x对称，则下面正确的结论是（ B ） A. )5 . 6()5 . 3()5 . 1 (fff B. )5 . 6()5 . 1 ()5 . 3(fff C. )5 . 1 ()5 . 3()5 . 6(fff D. )5 . 1 ()5 . 6()5 . 3(fff 解析： )(xf 在 R 上以 6 为周期，对称轴为x 3 ，且在（0，3）内单调递减， )5 . 2()5 . 3(ff ， )5 . 0()5 . 6(ff 5 . 25 . 15 . 0 )5 . 0()5 . 1 ()5 . 2

35、(fff 即 )5 . 6()5 . 1 ()5 . 3(fff 5. 对任意实数x，定义x为不大于x的最大整数（例如44 . 3 , 34 . 3等） ，设函数 )(xxxf，给出下列四个结论： 0)(xf； 1)(xf； )(xf是周期函数； )(xf是 偶函数，其中正确结论的个数是（ C ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 解析：由题意有 1xxx 0)(xxxf ，且 1)(xf 正确 )() 1(1 11) 1(xfxxxxxxxf )(xf 为周期函数 9 . 0) 1(1 . 0 1 . 01 . 0) 1 . 0(f ) 1 . 0(1 . 001 . 0 1 . 01

36、 . 0) 1 . 0(ff )(xf 不是偶函数，故选 C。 6.(2011北京模拟)函数 y=f(x)与 y=g(x)有相同的定义域，且都不是常值函数，对于定义域内的任何 x, 有 f(x)+f(-x)=0，g(x)g(-x)=1,且当 x0 时，g(x)1,则 2 ( ) ( )( ) ( ) 1 f x F xf x g x 的奇偶性为( ) (A)奇函数非偶函数 (B)偶函数非奇函数 (C)既是奇函数又是偶函数 (D)非奇非偶函数 解析：选 B. 7若函数 f(x)=x3(xR)，则函数 y=f(-x)在其定义域上是( ) (A)单调递减的偶函数 (B)单调递减的奇函数 (C)单凋递

37、增的偶函数 (D)单调递增的奇函数 【解析】选 B.f(x)=x3在其定义域上为奇函数， y=f(-x)在其定义域上也为奇函数 f(x)=x3在其定义域上为增函数， y=f(-x)在其定义域上为减函数 8已知 f(x)在 R 上是奇函数，且满足 f(x+4)=f(x)，当 x(0,2)时，f(x)=2x2，则 f(7)等于( ) (A)-2 (B)2 (C)-98 (D)98 【解析】选 A.f(x+4)=f(x)，f(x)的周期 T=4. f(7)=f(7-8)=f(-1)=-f(1)=-212=-2. 9 （2011济南模拟）函数 f(x)(xR)是周期为 3 的奇函数，且 f(-1)=a

38、,则 f(2 011)的值为( ) (A)a (B)-a (C)0 (D)2a 【解析】选 B.f(x)为奇函数, f(-1)=-f(1).又f(-1)=a, f(1)=-a. 又f(x)的周期为 3, f(2 011)=f(3670+1)=f(1)=-a. 10已知 y=f（x） （xR）为奇函数，则在 ( )f x 上的点是 （ C ） A （a，f（-a） ） B （-a，f（a） ） C （-a，-f（a） ） D （a，-f（a） ） 11 （2011北京模拟）定义在 R 上的函数 y=f(x)是减函数，且函数 y=f(x-1)的图象关于（1,0）成中心 对称,若 s,t 满足不等式

39、 f(s2-2s)-f(2t-t2)，则当 1s4 时， t s 的取值范围是( ) (A) 1 4 ，1） (B) 1 4 ，1 (C) 1 2 ,1） (D) 1 2 ,1 【解析】选 D.由 y=f(x-1)的图象关于(1,0)中心对称知 y=f(x)的图象关于(0,0)中心对称，故 f(x)为奇 函数. f(s2-2s)f(t2-2t)，从而 t2-2ts2-2s,化简. (t-s)(t+s-2)0,又 1s4,故 2-sts,从而 2 s -1 t s 1，等号可以取到，而 2 s -1 1 2 ,1, 故 t s 1 2 ,1. 12. (2011 届温州市高三八校联考（理）)设函

40、数( )f x的定义域为D，若存在非零实数l使得对于任意 ()xM MD，有xlD ，且()( )f xlf x，则称( )f x为M上的l高调函数.如果定义域 为R的函数( )f x是奇函数，当0 x 时， 22 ( )f xxaa，且( )f x为R上的4高调函数，那 么实数a的取值范围是（ ） A 1 , 1 B) 1 , 1( C2 , 2 D)2 , 2( 答案：A 二、填空题 1函数 f(x)对于任意实数 x 满足条件 f(x+2)= 1 ( )f x ，若 f(1)=-5，则 f(f(5)=_. 【解析】 11 (5)(1)5, 1 (3) (1) ff f f , f(f(5)

41、=f(-5)=f(-1)= 11 . ( 12)5f . 答案： 1 5 2 （2011 届吉安一中高三开学模拟（文） ）已知偶函数 f(x)在区间0，+）单调递增，则满足 f(2x-1) f( 3 1 )的 x 取值范围是 A （ 3 1 ， 3 2 ）B 3 1 ， 3 2 ）C （ 2 1 ， 3 2 ）D 2 1 ， 3 2 ） 答案：A 3(（2011 届莲塘一中高三月考 （理） ）)设函数 , (0) ( ) ( ). (0) xx f x g xx 3 l og 若( )f x是奇函数，则 1 () 9 g 的值为 答案：2 4下面四个结论中，正确命题的序号是 偶函数的图像一定与

42、 y 轴相交 奇函数的图像一定通过原点 偶函数的图像关于 y 轴对称 既是奇函数，又是偶函数的函数一定是 f（x）=0（xR） 答案： 三、解答题 1. （2011 届湖北省监利一中学高三 8 月月考（文） ） （12 分）已知定义在实数集上的函数 f(x)满足 xf(x)为偶函数，f(x+2)=-f(x), ()xR 且当13x时, 3 ( )(2)f xx. (1)求10 x 时，函数f(x)的解析式。(2)求 f(2008)、f（2008.5）的值。 解析：（1）由 xf(x)为偶函数可知：f(x)是奇函数。设10,22xx 则1 又 f(x+2)=-f(x)可得： 3 ( )f xx （2）(2)( )( )(2)f xf xf xf x 得：f(x+2)=f(x-2)知 T=4 得：f(2008)=f(0)=0，f(2008.5)=f(0.5)= -f