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1、异面直线所成的角,如图,对于异面直线 和 ,在空间任取一点P,过P分别作 和 的平行线 和 ,我们把 与 所成的锐角或直角叫做异面直线 与 所成的角。,其中,如果 ,则称异面直线a和b垂直, 记作,注:(1)异面直线所成角与点P选取无关 (空间等角定理),其大小仅由 直线a和b的相对位置所确定;,(2)两直线垂直时,可能相交,也可能 异面;,(3)异面直线所成角的范围:,例1:判断: (1)垂直于同一条直线的两条直线一定平行;(2)一条直线垂直于两条平行直线中的一条, 也必垂直于另一条; (3)过已知直线外(或直线上)的一点作直线 的垂线,有且只有一条; (4)有三个角是直角的四边形一定是矩形
2、; (5)如果一个角的两边和另一个角的两边分别 垂直,那么这两个角相等或互补。,例2:在正方体 中,求下列异 面直线所成角的大小。,A,D,C,B,A1,D1,B1,C1,求AC与BD1的所成角,各种不同的辅助线,小结:,求异面直线所成角的度数的步骤:,根据异面直线所成角的定义,采用平移法作出这 两条异面直线所成的角;,使角成为某几何图形(一般是三角形)内角;,利用几何图形性质(一般是解三角形),求出的 值,空间问题,平面问题,例3、在长方体 中,已知 AB=2AD=3AA1,求 (1)异面直线AC与BC1所成的角的大小; (2)异面直线 所成角的大小。,例4、空间四边形ABCD中,AB=CD
3、=2,M、N 分别是对角线AC、BD的中点,且 MN= ,求AB,CD所成角的大小。,例5A为正三角形BCD所在平面外一点,且AB=AC=AD=BC=a,E、F分别是棱AD、BC的中点,连结AF、CE,如图所示,求 (1)异面直线AE、BD所成角; (2)异面直线AF、CE所成角的余弦值。,A,B,C,D,E,F,G,解:连结DF,取DF的中点G,连结EG,CG,又E是AD的中点,故EG/AF,所以GEC是异面直线AF、CE所成的角。,异面直线AF、CE所成角的余弦值是,备、已知长方体 中, AB=4,AD=3,AA1=2,求异面直线AC,BD 所成角的大小。,备、在长方体 中,底面 ABCD是边长为4的正方形,长方体高为 3,E,F分别是B1C1和C1D1的中
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