高考数学总复习（基础知识+高频考点+解题训练）第二章 导数的应用(一)教学案（含解析）新人教A版

1、第十二节导数的应用(一)知识能否忆起1函数的单调性在(a，b)内可导函数f(x)，f(x)在(a，b)任意子区间内都不恒等于0.f(x)0f(x)在(a，b)上为增函数f(x)0f(x)在(a，b)上为减函数2函数的极值(1)函数的极小值：函数yf(x)在点xa的函数值f(a)比它在点xa附近其它点的函数值都小，f(a)0，而且在点xa附近的左侧f(x)0，右侧f(x)0，则点a叫做函数yf(x)的极小值点，f(a)叫做函数yf(x)的极小值(2)函数的极大值：函数yf(x)在点xb的函数值f(b)比它在点xb附近的其他点的函数值都大，f(b)0，而且在点xb附近的左侧f(x)0，右侧f(x)

2、0，则点b叫做函数yf(x)的极大值点，f(b)叫做函数yf(x)的极大值极小值点，极大值点统称为极值点，极大值和极小值统称为极值3函数的最值(1)在闭区间a，b上连续的函数f(x)在a，b上必有最大值与最小值(2)若函数f(x)在a，b上单调递增，则f(a)为函数的最小值，f(b)为函数的最大值；若函数f(x)在a，b上单调递减，则f(a)为函数的最大值，f(b)为函数的最小值小题能否全取1(教材习题改编)若函数f(x)x3ax23x9在x3时取得极值，则a等于()A2B3C4 D5解析：选Df(x)3x22ax3，f(3)0，a5.2(2012辽宁高考)函数yx2ln x的单调递减区间为(

3、)A(1,1 B(0,1C1，) D(0，)解析：选B函数yx2ln x的定义域为(0，)，yx，令y0，则可得00，函数f(x)x3ax在1，)上是单调增函数，则a的最大值是_解析：f(x)3x2a在x1，)上f(x)0，则f(1)0a3.答案：31.f(x)0与f(x)为增函数的关系：f(x)0能推出f(x)为增函数，但反之不一定如函数f(x)x3在(，)上单调递增，但f(x)0，所以f(x)0是f(x)为增函数的充分不必要条件2可导函数的极值点必须是导数为0的点，但导数为0的点不一定是极值点，即f(x0)0是可导函数f(x)在xx0处取得极值的必要不充分条件例如函数yx3在x0处有y|x

4、00，但x0不是极值点此外，函数不可导的点也可能是函数的极值点3可导函数的极值表示函数在一点附近的情况，是在局部对函数值的比较；函数的最值是表示函数在一个区间上的情况，是对函数在整个区间上的函数值的比较运用导数解决函数的单调性问题典题导入例1(2012山东高考改编)已知函数f(x)(k为常数，e2.718 28是自然对数的底数)，曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线与x轴平行(1)求k的值；(2)求f(x)的单调区间自主解答(1)由f(x)，得f(x)，x(0，)，由于曲线yf(x)在(1，f(1)处的切线与x轴平行，所以f(1)0，因此k1.(2)由(1)得f(x)(1xxln x)，x

5、(0，)，令h(x)1xxln x，x(0，)，当x(0,1)时，h(x)0；当x(1，)时，h(x)0，所以x(0,1)时，f(x)0；x(1，)时，f(x)0，即f(x)在(，2)上单调递增；当x(2,1)时，f(x)0，即f(x)在(1，)上单调递增从而函数f(x)在x2处取得极大值f(2)21，在x1处取得极小值f(1)6.运用导数解决函数的最值问题典题导入例3已知函数f(x)(xk)ex.(1)求f(x)的单调区间；(2)求f(x)在区间0,1上的最小值自主解答(1)f(x)(xk1)ex.令f(x)0，得xk1.f(x)与f(x)的情况如下：x(，k1)k1(k1，)f(x)0f(

6、x)ek1所以，f(x)的单调递减区间是(，k1)；单调递增区间是(k1，)(2)当k10，即k1时，函数f(x)在0,1上单调递增，所以f(x)在区间0,1上的最小值为f(0)k；当0k11，即1k2时，由(1)知f(x)在0，k1)上单调递减，在(k1,1上单调递增，所以f(x)在区间0,1上的最小值为f(k1)ek1；当k11时，即k2时，函数f(x)在0,1上单调递减，所以f(x)在区间0,1上的最小值为f(1)(1k)e.本题条件不变，求f(x)在区间0,1上的最大值解：当k10，即k1时，函数f(x)在0,1上单调递增所以f(x)在0,1上的最大值为f(1)(1k)e.当0k11，

7、即1k2时，由(1)知f(x)在0，k1)上单调递减，在(k1,1上单调递增，所以f(x)在区间0,1上的最大值为f(0)和f(1)较大者若f(0)f(1)，所以k(1k)e，即k.当1k时函数f(x)的最大值为f(1)(1k)e，当k2时，函数f(x)的最大值为f(0)k，当k11时，即k2时，函数f(x)在0,1上单调递减所以f(x)在0,1上的最大值为f(0)k.综上所述，当k0，故f(x)在(，2)上为增函数；当x(2,2)时，f(x)0，故f(x)在(2，)上为增函数由此可知f(x)在x12处取得极大值f(2)16c，f(x)在x12处取得极小值f(2)c16.由题设条件知16c28

8、，得c12.此时f(3)9c21，f(3)9c3，f(2)16c4，因此f(x)在3,3上的最小值为f(2)4.1函数f(x)xeln x的单调递增区间为()A(0，)B(，0)C(，0)和(0，) DR解析：选A函数定义域为(0，)，f(x)10，故单调增区间是(0，)2(2012“江南十校”联考)已知定义在R上的函数f(x)，其导函数f(x)的大致图象如图所示，则下列叙述正确的是()Af(b)f(c)f(d)Bf(b)f(a)f(e)Cf(c)f(b)f(a)Df(c)f(e)f(d)解析：选C依题意得，当x(，c)时，f(x)0；当x(c，e)时，f(x)0.因此，函数f(x)在(，c)

9、上是增函数，在(c，e)上是减函数，在(e，)上是增函数，又abf(b)f(a)3(2012陕西高考)设函数f(x)ln x，则()Ax为f(x)的极大值点Bx为f(x)的极小值点Cx2为f(x)的极大值点Dx2为f(x)的极小值点解析：选D函数f(x)的定义域为(0，)，f(x)，当x2时，f(x)0；当x2时，f(x)0，函数f(x)为增函数；当0x2时，f(x)0，函数f(x)为减函数，所以x2为函数f(x)的极小值点4(2012大纲全国卷)已知函数yx33xc的图象与x轴恰有两个公共点，则c()A2或2 B9或3C1或1 D3或1解析：选A设f(x)x33xc，对f(x)求导可得，f(

10、x)3x23，令f(x)0，可得x1，易知f(x)在(，1)，(1，)上单调递增，在(1,1)上单调递减若f(1)13c0，可得c2；若f(1)13c0，可得c2.5若f(x)，eaf(b) Bf(a)f(b)Cf(a)1解析：选Af(x)，当xe时，f(x)f(b)6函数f(x)x33x1，若对于区间3,2上的任意x1，x2，都有|f(x1)f(x2)|t，则实数t的最小值是()A20 B18C3 D0解析：选A因为f(x)3x233(x1)(x1)，令f(x)0，得x1，所以1,1为函数的极值点又f(3)19，f(1)1，f(1)3，f(2)1，所以在区间3,2上f(x)max1，f(x)

11、min19.又由题设知在区间3,2上f(x)maxf(x)mint，从而t20，所以t的最小值是20.7已知函数f(x)x3mx2(m6)x1既存在极大值又存在极小值，则实数m的取值范围是_解析：f(x)3x22mxm60有两个不等实根，即4m212(m6)0.所以m6或m3.答案：(，3)(6，)8已知函数f(x)x3ax24在x2处取得极值，若m1,1，则f(m)的最小值为_解析：求导得f(x)3x22ax，由f(x)在x2处取得极值知f(2)0，即342a20，故a3.由此可得f(x)x33x24，f(x)3x26x.由此可得f(x)在(1,0)上单调递减，在(0,1)上单调递增，所以对

12、m1,1时，f(m)minf(0)4.答案：49已知函数yf(x)x33ax23bxc在x2处有极值，其图象在x1处的切线平行于直线6x2y50，则f(x)极大值与极小值之差为_解析：y3x26ax3b，y3x26x，令3x26x0，则x0或x2.f(x)极大值f(x)极小值f(0)f(2)4.答案：410已知函数f(x)ax2bln x在x1处有极值.(1)求a，b的值；(2)判断函数yf(x)的单调性并求出单调区间解：(1)f(x)2ax.又f(x)在x1处有极值.即解得a，b1.(2)由(1)可知f(x)x2ln x，其定义域是(0，)，且f(x)x.由f(x)0，得0x0，得x1.所以

13、函数yf(x)的单调减区间是(0,1)，单调增区间是(1，)11(2012重庆高考)设f(x)aln xx1，其中aR，曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线垂直于y轴(1)求a的值；(2)求函数f(x)的极值解：(1)因f(x)aln xx1，故f(x).由于曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线垂直于y轴，故该切线斜率为0，即f(1)0，从而a0，解得a1.(2)由(1)知f(x)ln xx1(x0)，f(x).令f(x)0，解得x11，x2义域内，舍去当x(0,1)时，f(x)0，故f(x)在(1，)上为增函数故f(x)在x1处取得极小值f(1)3.12已知函数f(x)x3ax23x

14、.(1)若f(x)在x1，)上是增函数，求实数a的取值范围；(2)若x3是f(x)的极值点，求f(x)在x1，a上的最大值和最小值解：(1)f(x)3x22ax30在1，)上恒成立，amin3(当x1时取最小值)a的取值范围为(，3(2)f(3)0，即276a30，a5，f(x)x35x23x，x1,5，f(x)3x210x3.令f(x)0，得x13，x2(舍去)当1x3时，f(x)0，当3x0，即当x3时，f(x)取极小值f(3)9.又f(1)1，f(5)15，f(x)在1,5上的最小值是f(3)9，最大值是f(5)15.1设函数f(x)ax2bxc(a，b，cR)若x1为函数f(x)ex的

15、一个极值点，则下列图象不可能为yf(x)的图象是()解析：选D因为f(x)exf(x)exf(x)(ex)f(x)f(x)ex，且x1为函数f(x)ex的一个极值点，所以f(1)f(1)0；选项D中，f(1)0，f(1)0，不满足f(1)f(1)0.2(2012沈阳实验中学检测)已知定义在R上的奇函数f(x)，设其导函数为f(x)，当x(，0时，恒有xf(x)F(2x1)的实数x的取值范围是()A(1,2) B.C. D(2,1)解析：选A由F(x)xf(x)，得F(x)f(x)xf(x)xf(x)f(x)0，所以F(x)在(，0)上单调递减，又可证F(x)为偶函数，从而F(x)在0，)上单调

16、递增，故原不等式可化为32x13，解得1x0)，n为正整数，a，b为常数曲线yf(x)在(1，f(1)处的切线方程为xy1.(1)求a，b的值；(2)求函数f(x)的最大值解：(1)因为f(1)b，由点(1，b)在xy1上，可得1b1，即b0.因为f(x)anxn1a(n1)xn，所以f(1)a.又因为切线xy1的斜率为1，所以a1，即a1.故a1，b0.(2)由(1)知，f(x)xn(1x)xnxn1，f(x)(n1)xn1.令f(x)0，解得x，即f(x)在(0，)上有唯一零点x0.在上，f(x)0，故f(x)单调递增；而在上，f(x)0，f(x)单调递减故f(x)在(0，)上的最大值为fn.1(2012重庆高考)设函数f(x)在R上可导，其导函数为f(x)，且函数y(1x)f(x)的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是()A函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1)B函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1)C函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(2)D函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(2)解析：选D由图可知，当x0；当2x1时，f(x)0；当1x2时，f(x)2时，f(x)0