线性代数 (总复习).ppt

1、-1-,线性代数总复习,-2-,例1 计算下列行列式,设行列式,解,-3-,例2 计算下列行列式,-4-,例3.,解:,-5-,例4计算,解,-6-,-7-,例5 1）设A、B都是n阶方阵，并且AB=0，则,-8-,例6 2）设A、B都是n阶方阵，则,-9-,解,-10-,例7,解:,-11-,例题8,解 1）,-12-,例题8,解 2）,-13-,例题8(3) 设方阵A满足2A2-5A-8E=0，证明A-2E可逆，并,解法1,关键：寻求方阵B，使（A-2E）B=E,分析,解法2,令C=A-2E，则得A=C+2E，代入得,得C*B=E， 则C-1=B,-14-,例9,设A是n阶矩阵,证明:,-

2、15-,例题9,设矩阵X满足：AXB=XB+C，求X，其中,由已知，得AXB-XB=C，,则得,显然A-E、B均可逆，并且,对式（1）左乘（A-E）-1，右乘B-1，得,1、左右次序 2、左右乘逆,解,-16-,例题10-矩阵的秩,r(A)=2,初等变换,-17-,例11,设A是n阶矩阵,且,证明：,证明：,-18-,例2,证明元列向量,线性无关的充要,条件是,其中,-19-,例13,是n元的实向量,且,已知,的非零 解向量,试判断,的线性相关性?,-20-,解:,-21-,例14 求 如下线性方程组的通解,解 对增广矩阵A进行初等行变换,与T相对应的同解方程组为：,移项并“配齐”得：,则通解

3、为,-22-,例15 讨论a、b满足什么条件时，如下方程组无解、有唯一解、有无穷 多解？有无穷多解时，求其通解。,解 对增广矩阵A进行初等行变换,-23-,例题15（续）,则通解为,则得一同解方程组为,-24-,例16,(1) 对齐次线性方程组AX=0来说,以下哪个结论正确?,(2) 对非齐次线性方程组AX= 来说,以下哪个结论正确?,2),5),-25-,例题16（续）,(4) 齐次线性方程组AX=0有非零解的充分必要条件是,3),4),4),(3),-26-,例题17,解 1）,因为行列式,所以当b=3或b=1时，D=0，线性相关； 否则线性无关。,-27-,例题17续,解 2）,因为,-

4、28-,例题 设,解,-29-,例题(续),B的极大无关组为：,其余向量由此极大无关组表示为：,因为矩阵的初等行变换不改变列向量组的线性关系，所以,其余向量由此极大无关组表示为：,-30-,例题1,解,1）是；,2）,-31-,例题1（续）,3）,由（2）即得条件,-32-,相似的充分条件是,； （）,(),有相同的特征值且这些特征值互异；,(),（）,例20,（）,设,且,，则,例21,提示： 由条件得,由,可逆，得,即,再变形,从而,可逆并且有下面答案,-33-,例2,是正交的非零实向量，,证明方阵,且不可对角化,即线性无关的特征向量的个数不等于特征值的重根数,所以不能对角化,-34-,例

5、3,证明:,证明:,(反证法),即,-35-,例24,设用正交变换,化成标准形,求正数a和b以及正交矩阵P.,解:,-36-,同理可得,-37-,例25,设A是n阶可逆矩阵,如果A中每行元素之和都是3,那么,的每行元素之和是,解,例24,6设A,B均为n阶的可逆矩阵,正确的公式是,-38-,例27,已知,-39-,例28,则,也是该方程组的一个基础解系.,例27,那么关于A的特征,值能做出怎样的结论?,-40-,例29,的一个特征向量,解:,-41-,从而可知有一个线性无关的特征向量，所以不能 对角化,-42-,例30,如果矩阵,正定，,那么应满足,的条件是,例,如果,负定，那么的取值范围是,例,已知阶矩阵的特征值为,，,-43-,3齐次线性方程组,只有零解，则应满足的条件是,一.填空题,-44-,8.设4阶方阵A满足条件,则,1,2,任意非零向量,-1,-5,4,-45-,），,，,，则,的基础解系中向量的个数 (即解空间的的维数)是_,10. 设,均为,阶对称矩阵，则使,合同的充要条件是（ ）,的秩相同