弹塑性力学第十一章.ppt

1、2020/8/2,1,第十一章 塑性力学基础,11-1 金属材料的力学实验及几种简化力学模型,11-2 一维问题弹塑性分析,11-3 应力、应变偏量的不变量和等效应力 e等效应变 e、罗德（Lode）参数,11-4 屈服条件,11-5 理想弹塑性厚壁筒受内压力,11-6 弹塑性应力应变关系增量理论,2020/8/2,2,11-1 金属材料的力学实验及几种简化力学模型,1.1单向拉压实验：,不同材料在单向拉压实验中，有不同的 应力应变曲线。,软钢 - ,合金钢 - ,2020/8/2,3,11-1 金属材料的力学实验及几种简化力学模型,当应力应变曲线在OA范围内变化，材料 为弹性变化。当应力达到

2、 s时（软钢有明显 屈服发生(AB段），合金钢无明显屈服发生） 将发生塑性变形。确定材料发生塑性变形的 条件为,软钢 - ,合金钢 - ,2020/8/2,4,11-1 金属材料的力学实验及几种简化力学模型,f () = - s = 0 初始屈服条件（函数）,当软钢应力达到A点后，软钢有明显屈服 （塑性流动）阶段。 经过屈服阶段后，荷载可再次增加（称为 强化阶段，BC段），但强化阶段 增幅较少。,软钢 - ,合金钢 - ,2020/8/2,5,11-1 金属材料的力学实验及几种简化力学模型,对于此种材料（有明显屈服流动，强化阶段 应力较少）屈服条件是不变的。当应力满足 屈服条件时，卸载将有残余

3、变形，即塑性变 形存在。卸载按线性弹性。,软钢 - ,合金钢 - ,2020/8/2,6,11-1 金属材料的力学实验及几种简化力学模型,而对于合金钢，无明显屈服，当 s时进入强化阶段，在加载即发生弹性变形和塑性变形，卸载按线弹性。对于强化特性明显的材料，由O点继续加载，在OB段又是线性弹性变化，当 达到B点再次发生塑性变形，, - s=0后继屈服函数 s=s( p),2020/8/2,7,11-1 金属材料的力学实验及几种简化力学模型,包辛格效应,当卸载后，反向加载时，有些金属材料反映出反向加载的屈服极限 s s 称为 包辛格效应（Bauschinger. J. 德国人）。,2020/8/2

4、,8,11-1 金属材料的力学实验及几种简化力学模型,小结：,（1）在弹性阶段（ s）： = e 应力应变关系一一对应。,（2）当应力达到初始屈服条件（ =s时），材料 进入弹塑性阶段， = e+ p，应力应变关系不再 是一一对应关系，而要考虑加载变形历史。,（3）对于有明显屈服流动且强化阶段较小的材料， 屈服条件采用初始屈服条件。对于无明显屈服流 动且强化阶段较高的材料，将有后继屈服函数产生。,（4）有些强化材料具有包辛格效应。,2020/8/2,9,11-1 金属材料的力学实验及几种简化力学模型,1.2 常见的几种简化力学模型,1. 理想弹塑性模型：,加载时： =E s = s s,202

5、0/8/2,10,11-1 金属材料的力学实验及几种简化力学模型,2. 线性强化弹塑性模型：,加载时： =E s = E s+ Et ( - s ) s,2020/8/2,11,11-1 金属材料的力学实验及几种简化力学模型,在实际问题中，有时当弹性应变 e p 塑性应变，可忽略弹性变形。,上述两种模型分别简化为： s 时, = 0,理想刚塑性模型 线性强化刚塑性模型,2020/8/2,12,11-1 金属材料的力学实验及几种简化力学模型,1.3金属材料在静水压力实验：,前人（Bridgman）对大量金属进行水压力实验及拉压和静水压力联合实验，得到下列结果：,在静水压力(高压) p 作用下,

6、金 属 体 积 应 变e=V/V=p/k成正比，当p达到或超过金属材料的s时，e与p 仍成正比；并且除去压力后，体积变化可以恢复，金属不发生塑性变形。,2020/8/2,13,11-1 金属材料的力学实验及几种简化力学模型,2. 金属受静水压力和拉压联合作用与金属单独受拉压作用比较，发现静水压力对初始屈服应力 s没有影响。,结论：静水压力与塑性变形无关。,2020/8/2,14,11-2 一维问题弹塑性分析,1.拉压杆的弹塑性问题,图示为两端固定的等 截面杆(超静定杆)，,设材料为理想弹塑性材料， 在x = a 处（b a）作用一 逐渐增大的力P。,平衡条件 : N1+N2=P 变形协调条件：

7、a+b=0,2020/8/2,15,11-2 一维问题弹塑性分析,（1）弹性解：,当杆处于弹性阶段，杆两部分的伸长为,代入变形协调方程为,或,由于b a，所以 N1 N2 ，将 代入平衡方程。,2020/8/2,16,11-2 一维问题弹塑性分析,得,最大弹性荷载,力P 作用点的伸长为,2020/8/2,17,11-2 一维问题弹塑性分析,(2)弹塑性解Pp P Pe :,P = Pe 后，P 可继续增大，而 N1=sA 不增加（a段进入塑性屈服，但 b 段仍处于弹性）,N2=P- N1=P-sA,力 P 作用点的伸长取决于b 段杆的变形,2020/8/2,18,11-2 一维问题弹塑性分析,

8、2020/8/2,19,11-2 一维问题弹塑性分析,(3)塑性解：,N1=sA , N2=sA,这时杆件变形显著增加，丧失承载能力,则最大荷载 Pp=2sA 极限荷载,2020/8/2,20,11-2 一维问题弹塑性分析,作业：图示桁架各杆截面面积为 A , 材料为理想弹塑性 ,求荷载 P 与 C 点竖向位移 关系。,2020/8/2,21,11-2 一维问题弹塑性分析,(1)材料为理想弹塑性;,2.梁的弹塑性弯曲,2.1假设:,(2)平截面假设(适用于l h);,(3) 截面上正应力 x 对变形影 响为主要的;,2020/8/2,22,11-2 一维问题弹塑性分析,2.2梁具有两个对称轴截

9、面的弹塑性弯曲:,(1) 梁的弯矩,在线弹性阶段,弹性极限状态（设矩形截面）: M=Me,在截面上y=h/2处，,或 最大弹性弯矩,2020/8/2,23,11-2 一维问题弹塑性分析,弹塑性阶段：Mp M Me,弯矩继续增大，截面上塑性区域向中间扩展， 塑性区域内的应力保持不变，截面上弯矩为,2020/8/2,24,11-2 一维问题弹塑性分析,当y0=h/2时：,最大弹性弯矩,2020/8/2,25,11-2 一维问题弹塑性分析,当y0= 0时：,极限弯矩,2020/8/2,26,11-2 一维问题弹塑性分析,令 =Mp/Me=1.5（矩形截面） 截面形状系数。,2020/8/2,27,1

10、1-2 一维问题弹塑性分析,截面弯矩达到极限弯矩时，其附近无限靠近的相邻两截面可发生有限相对转角，该截面称为塑性铰。,对于静定梁，截面弯矩达到极限弯矩时，结构变成机构，承载力已无法增加。这种状态称为极限状态。,2020/8/2,28,11-2 一维问题弹塑性分析,（2）梁弹塑性弯曲时的变形,在线弹性阶段，梁弯矩和曲率的关系为线性关系,M=EI ( M Me ), 或,将应力与弯矩关系式 代入上式,可得,2020/8/2,29,11-2 一维问题弹塑性分析,在弹塑性阶段，由于梁弯曲时截面仍然保持平面，可得,或,代入梁弹塑性弯曲时M的表达式,得,2020/8/2,30,11-2 一维问题弹塑性分析

11、,( M Me ),(3) 梁弹塑性弯曲时的卸载：,卸载是以线弹性变化，卸载后梁截面的弯 矩M=0, 但截面内的应力不为零，有残余 应力存在。以矩形截面为例：,2020/8/2,31,11-2 一维问题弹塑性分析,2020/8/2,32,11-2 一维问题弹塑性分析,2.3 梁具有一个对称轴截面的弹塑性弯曲:,具有一个对称轴截面梁的弹塑性弯曲特点：随着弯矩的增大，中性轴的位置而变化。,中性轴的位置的确定：,2020/8/2,33,11-2 一维问题弹塑性分析,在弹性阶段：应力为直线分布，中性轴通过 截面的形心。 最大弹性弯矩 Me = s W,2020/8/2,34,11-2 一维问题弹塑性分

12、析,在弹塑性阶段：中性轴的位置由截面上合力 为零来确定: F1 = F2,2020/8/2,35,11-2 一维问题弹塑性分析,在塑性流动阶段：受拉区应力和受压区应力均为常数，中性轴的位置由截面上合力为零来确定:,F1 = F2 或 s A1 = s A2 得 A1 = A2 中性轴的位置由受拉区截面面 积等于受压区截面面积确定。,2020/8/2,36,11-2 一维问题弹塑性分析,极限弯矩 Mp = s (S1 + S2 ),S1 和S2 分别为面积A1和A2对等面积轴的静矩。,作业：已知理想弹塑性材料的屈服极限为 s ,试求(1)图示梁截面的极限弯矩 Mp ,（2）当M / Me =1.

13、2 时， y0 的值为多少 ?,2020/8/2,37,11-2 一维问题弹塑性分析,超静定梁由于具有多余约束，因此必须有足够多的塑性铰出现，才能使其变为机构。,下面举例说明这个过程。,一端固定、一端简支的等截面梁，跨中受集中荷载作用。,2.4 超静定梁的极限荷载,2020/8/2,38,11-2 一维问题弹塑性分析,固定端弯矩最大，,2）在弹塑性阶段：固定端首先发生塑性区域，随着荷载增加、固定端成为第一个塑性铰。,1）在线弹性阶段,2020/8/2,39,11-2 一维问题弹塑性分析,固定端弯矩保持Mp，当荷载增加到极限荷载时，跨中弯矩达到Mp 。,3）极限状态,极限荷载 Pp 的确定可采用

14、静力法，也可采用虚功法 。,2020/8/2,40,11-2 一维问题弹塑性分析,根据平衡方程,静力法,虚功法,求得 Pp,2020/8/2,41,11-2 一维问题弹塑性分析,结构在极限状态时，应满足3个条件,（1）、机构条件成为几何可变体系,（2）、内力极限条件内力不超过极限弯矩,（3）、平衡条件始终满足平衡条件,2020/8/2,42,11-2 一维问题弹塑性分析,作业：已知理想弹塑性材料的等截面梁，试求极限荷载。,2020/8/2,43,11-3 应力、应变偏量的不变量和等效应力 e、等效应变 e、罗德（Lode）参数,3.1应力偏量的不变量和应变偏量的不变量：,在第二章第六节介绍了应

15、力张量分解：,其中 Sij 为应力偏量。类似应力张量分解， 可将应变张量分解为：,2020/8/2,44,11-3 应力、应变偏量的不变量和等效应力 e、等效应变 e、罗德（Lode）参数,应力张量 ij 存在三个不变量 、 和 。,2020/8/2,45,11-3 应力、应变偏量的不变量和等效应力 e、等效应变 e、罗德（Lode）参数,类似、 和 的定义。,1.可求应力偏量 sij 的三个不变量：,2020/8/2,46,11-3 应力、应变偏量的不变量和等效应力 e、等效应变 e、罗德（Lode）参数,2020/8/2,47,11-3 应力、应变偏量的不变量和等效应力 e、等效应变 e、

16、罗德（Lode）参数,2020/8/2,48,11-3 应力、应变偏量的不变量和等效应力 e、等效应变 e、罗德（Lode）参数,2020/8/2,49,11-3 应力、应变偏量的不变量和等效应力 e、等效应变 e、罗德（Lode）参数,在主轴方向：,2020/8/2,50,11-3 应力、应变偏量的不变量和等效应力 e、等效应变 e、罗德（Lode）参数,2.应变偏量 eij 的三个不变量：,第一不变量：,第二不变量：,2020/8/2,51,11-3 应力、应变偏量的不变量和等效应力 e、等效应变 e、罗德（Lode）参数,在主轴方向：,第三不变量：,2020/8/2,52,11-3 应力

17、、应变偏量的不变量和等效应力 e、等效应变 e、罗德（Lode）参数,在单向拉伸时，三个主应力已知： 1 0、2=3=0 代入 J2 表达式,得,对于三维应力状态，定义每一点应力状态 都存在力学效应相同的等效应力 e,3.2等效应力 e 和等效应变 e ：,1.等效应力e (应力强度)：,或 等效应力,2020/8/2,53,11-3 应力、应变偏量的不变量和等效应力 e、等效应变 e、罗德（Lode）参数,2020/8/2,54,11-3 应力、应变偏量的不变量和等效应力 e、等效应变 e、罗德（Lode）参数,2.等效应变 e ：,单向拉伸时1 0、2=3= -1 代入 表达式,得,202

18、0/8/2,55,11-3 应力、应变偏量的不变量和等效应力 e、等效应变 e、罗德（Lode）参数,当杆受拉伸进入塑性阶段，认为体积应变 e=0，,即 1 +2+ 3 = (1-2)1=0, 得,此时,类似于e 的定义，在三维应力状态定义等效 应变e：,2020/8/2,56,11-3 应力、应变偏量的不变量和等效应力 e、等效应变 e、罗德（Lode）参数,e 以发生塑性变形定义的量（由 1、2、3 定义）,2020/8/2,57,11-3 应力、应变偏量的不变量和等效应力 e、等效应变 e、罗德（Lode）参数,这个等效应变增量de 在建立弹塑性应力应变关系增量理论用到,在变形过程中的每

19、一瞬时，发生应变增量（d1、 d2、d3），则可定义瞬时的等效应变增量：,2020/8/2,58,11-3 应力、应变偏量的不变量和等效应力 e、等效应变 e、罗德（Lode）参数,3.3罗德（Lode）参数：,1.应力罗德参数：,在应力莫尔圆中描述一点的应力状态123，当1、3确定,则最大圆半径确定 (1-3)/2 ，但 2的变化可导致两个内圆的比例或大小。这两个内圆的比例或大小可由罗德参数描述。,2020/8/2,59,11-3 应力、应变偏量的不变量和等效应力 e、等效应变 e、罗德（Lode）参数,M为 P1 和P3 的中点, 定义应力罗德参数 ,2020/8/2,60,11-3 应力

20、、应变偏量的不变量和等效应力 e、等效应变 e、罗德（Lode）参数,当2=1时, =1,当 2=3时, = -1,-1 1,2020/8/2,61,11-3 应力、应变偏量的不变量和等效应力 e、等效应变 e、罗德（Lode）参数,2.应变罗德参数：,2020/8/2,62,11-4 屈服条件,4.1 一维问题屈服条件:,一维问题包括：杆系的拉压（桁架）问题、 圆杆扭转问题、梁的纯弯曲问题。这些问 题每一点的应力状态（在弹性和弹塑性阶 段）主方向始终不变，且知道它们的方向， 所以了解不同材料在单向杆件拉压的屈服 条件就可以应用到上述问题。,2020/8/2,63,11-4 屈服条件,4.1

21、一维问题屈服条件:,1.屈服条件：,理想弹塑性材料的屈服条件为： f () = - k = - s = 0,在屈服阶段，发生塑性变形。卸载后，再加 载屈服条件不变。,2020/8/2,64,11-4 屈服条件,线性强化弹塑性材料的屈服条件：,加载：当 s时，材料为弹性变形；当 =s时，开始发生塑性变形:,f () = - k = - s = 0 初始屈服函数,当 s 是强化阶段，发生弹塑性变形。,2020/8/2,65,11-4 屈服条件,卸载：如在强化阶段的B点卸载，按线弹性卸载至C点，有塑性应变保留（p= -e= -E）。如再次加载，则由C点沿CB按线弹性变化（不产生新的塑性变形）。,当应

22、力达到 B点时，B点应力为新的屈服 极限，称为后继屈服极限。,2020/8/2,66,11-4 屈服条件,f () = - k = - B = 0 后继屈服函数。 k =H(p ) k 与塑性变形历史有关。,2020/8/2,67,11-4 屈服条件,或：,2020/8/2,68,11-4 屈服条件,2020/8/2,69,11-4 屈服条件,小结：,理想弹塑性和强化弹塑性材料的一维 屈服函数形式均可写成 f () = - k = 0 后继屈服函数,k = s 理想弹塑性 k =H(p) 强化弹塑性,2020/8/2,70,11-4 屈服条件,2.加载、卸载准则:,对于一维问题屈服条件已建立，

23、由前面的讨论 可知：,强化材料，当 s时，加载和卸载的应力应变关系是不同的，加载服从于弹塑性规律；卸载服从弹性关系。,这是材料在塑性阶段的一个重要特点，所以需要有一个判别材料是加载还是卸载的准则。,2020/8/2,71,11-4 屈服条件,强化材料：f () = - k = 0,d 0 加载过程（从一个屈服点到达后继 的另一屈服点 d=Etd= Et(de +dp)） d 0 卸载过程 d =Ed d = 0 中性变载,2020/8/2,72,11-4 屈服条件,理想弹塑性材料：,d = 0 加载过程 d = 0,d 0 卸载过程 d =Ed,2020/8/2,73,11-4 屈服条件,4.

24、2三维应力状态的屈服条件,1. 金属材料三维应力状态的屈服条件与何有关,三维应力状态的屈服条件 f = 0 与何有关？,f (ij , k) = f (1,2 , 3,k)= 0,类似于一维应力的屈服条件 f (,k) = 0，三维应力状态的屈服条件应力,2020/8/2,74,11-4 屈服条件,f (ij , k) = f (1,2 , 3,k)= 0,k=const 理想弹塑性材料 k=H(ij )p ) 强化弹塑性材料， 与变形历史有关。,屈服条件也可写为：f ( ， , ，k)= 0,对于金属材料的力学实验得出静水压力对金属材料的屈服无影响，则屈服条件 f = 0 可由应力偏量或应力

25、偏量的不变量表示（J1 = 0 ）:,2020/8/2,75,11-4 屈服条件,f (sij , k) = f (s1,s2 , s3,k)= f (J2 , J3,k)= 0,2. 主应力空间和 平面,(1) 主应力空间:,在外载的作用下，每点产生确定的应力，通常以应 力分量（张量）ij 表示，但应力张量的分量ij 随坐 标系选取的不同而变化的。但应力张量的三个主 应力1,2 , 3 是不随坐标系改变而变化。,以三个主应力为三维直角坐标系来讨论一点应力状 态形象、直观、易理解。,2020/8/2,76,11-4 屈服条件,以三个主应力为三维坐标系， 则变形体内任一点 P 的应力 状态可在主

26、应力空间找到 P(1,2 , 3) 相应的位置。,矢量表示任一点 P 的三个主应力,2020/8/2,77,11-4 屈服条件,(2) 平面, 平面：是通过主应力空间坐标原点 O的平面，其平面的法线 为,即法线的三个方,向余弦相等，均为,2020/8/2,78,11-4 屈服条件,模：,(3) 应力矢量 沿 平面内和 平面法线（ ）方向分解:,应力球张量：,2020/8/2,79,11-4 屈服条件,应力偏张量：,应力偏张量的模：,2020/8/2,80,11-4 屈服条件,由静水压力实验知： 静水压力（应力球张量）不产生塑性变形，所以由主应力空间一点应力矢量 可见，当 增加（或减少）， 也增

27、加（或减少），对塑性无影响，而使 达到屈服时依赖 的增加.,2020/8/2,81,11-4 屈服条件,换句话说，三维应力状态的屈服函数（曲面）与 平面相交于闭合曲线，当 在闭合曲线内，则 P点应力是弹性的，当 达到闭合曲线，P点达到屈服极限。,2020/8/2,82,11-4 屈服条件,3. 两个常见的屈服条件：,（1）Tresca（屈雷斯卡）屈服条件：,1864年法国工程师 Tresca 通过金属（铅）作了一系列挤压实验，结果提出当最大剪应力达到一定数值时（k），材料进入塑性状态。 即当： 1 2 3 （已知）,（初始屈服条件）,2020/8/2,83,11-4 屈服条件,k 值可由实验确

28、定：,采用纯剪实验, 1 = -3=s , 2=0, 代入 Tresca屈服条件,得 1 - 3= s ， 则 k = s /2，,得 1 - 3=2s ， 则 k =s（剪切屈服极限）.,采用单向拉伸实验：1 =s , 2 =3=0 , s（拉伸屈服极限）,代入 Tresca 屈服条件,2020/8/2,84,11-4 屈服条件,由两个实验结果都可得到 k，如果要求两个k 值相同，则必须有s=s/2，但对大多数金属 s s/2 。,1 - 2= 2k 2 - 3= 2k 3 - 1= 2k,k =s 或 k = s /2,当三个主应力大小和次序不知道时 Tresca条件：,2020/8/2,

29、85,11-4 屈服条件,在平面问题中：3 =0，则Tresca条件为,1 - 2= 2k、2= 2k 、1 = 2k,六个平面方程在主应力空间围成正六面体,2020/8/2,86,11-4 屈服条件,（2）Mises（米泽斯）屈服条件：,1913年德国力学家Mises对Tresca屈服条件进行修正，Tresca条件的不足是：,a. 未考虑中间主应力的影响； b. 由六个平面方程（线性函数）构成屈服函数不光滑，在数学上处理不方便，因此Mises建议用一个圆柱面代替Tresca的正六棱柱面。,由于圆柱体垂直 平面的，由前面已知，圆柱面的半径r可由应力偏量的第二不变量表示，,2020/8/2,87

30、,11-4 屈服条件,应力偏张量的 模等于常数,或 Mises屈服条件,k1 值可由实验确定：,如采用纯剪实验, 1 = -3=s , 2=0,2020/8/2,88,11-4 屈服条件,代入Mises 屈服条件，得 。Mises 屈服条件为：,如采用单向拉伸实验：1 =s , 2 =3=0 , 代入Mises 屈服条件，得 。Mises 条件为：,2020/8/2,89,11-4 屈服条件,由两个实验结果都可得到k1，如果要求两个k1 值相同，则必须有 ，对于大多数 金属材料的剪切屈服极限和拉伸屈服极限的 关系基本接近 。,如果以s（单向拉伸）为屈服条件的控制参数，则Mises条件的曲面圆柱

31、为Tresca正六面体的外接圆柱体。,2020/8/2,90,11-4 屈服条件,如果以s（纯剪切）为屈服条件的控制参 数，则Mises条件的曲面圆柱为Tresca正六 面体的内接圆柱体。,2020/8/2,91,11-4 屈服条件,例：薄壁圆管内径为 a,厚度为 。受拉力P和 扭矩 MT 共同作用，材料s 为单向拉伸屈服极 限，试写Tresca和Mises屈服条件表达式。,解：,薄壁圆管的应力:,2020/8/2,92,11-4 屈服条件,主应力:,Tresca屈服条件（以s屈服条件为控制参数）： 1 - 3= s,或,2020/8/2,93,11-4 屈服条件,Mises屈服条件：,或,一

32、些韧性较好材料（如钢、铜、铝）的薄壁圆管的实验结果比较符合Mises屈服条件。,2020/8/2,94,11-4 屈服条件,作业：薄壁圆筒容器受内压 p 的作用，薄壁圆筒容器直径D=100mm,壁厚 =5mm,材料为理想弹塑性的，屈服极限为 s =300MPa .试用 Tresca 和Mises屈服条件求极限压力。,2020/8/2,95,11-4 屈服条件,4加载、卸载准则,（1）理想塑性材料加载和卸载,因理想塑性材料不发生强化，f = 0不变的。,当应力在屈服面上移动f = 0 且 加载,当应力由屈服面退回屈服面内趋势时，但 f = 0 且,卸载,2020/8/2,96,11-4 屈服条件

33、,（2）强化材料加载、卸载,f = 0 且,加载,中性变载,卸载,2020/8/2,97,11-5 理想弹塑性厚壁筒受内压力,设内半径为a，外半径为b 的厚壁圆筒，在内表面处作用均匀压力 p， 圆筒材料为理想弹塑性材料。本问题为轴对称平面应变问题。,弹性分析,当内压 p 较小时，厚壁圆筒处于弹性状态， 其中的应力分量为,2020/8/2,98,11-5 理想弹塑性厚壁筒受内压力,(a),随着压力 p 的增加，圆筒内环向应力和径向应力的绝对值都不断增加，若圆筒处在平面应变状态下，其轴向应力也在增加。,2020/8/2,99,11-5 理想弹塑性厚壁筒受内压力,当应力分量的组合达到某一临界值时，该

34、处材料进入塑性变形状态 ，并逐渐形成塑性区。,弹塑性分析,对于厚壁圆筒的轴对称平面应变问题，因此每一点的主应力方向都知道： 1=、：2 = z=( r+)/2、3=r，,其屈服条件可以简化为：,2020/8/2,100,11-5 理想弹塑性厚壁筒受内压力,Mises屈服条件：,Tresca屈服条件： (b),由于这两种屈服条件，在这里假设的条件下只相差一个系数，因此在进行分析时可按 Tresca 条件计算，将结果中的 s 乘以一个系数，就变成了按 Mises 屈服条件的结果。,2020/8/2,101,11-5 理想弹塑性厚壁筒受内压力,随着压力p 的增加，圆筒在内壁 r= a 处 - r 有

35、最大值，即筒体由内壁开始屈服。 若此时的内压为 pe 。由(a)式和(b)式可以求得 弹性极限压力为,(c),当 p pe 时，在筒体内壁附近出现塑性区，并且随着内压的增加，塑性区逐渐向外扩展，而外壁附近 仍为弹性区。,2020/8/2,102,11-5 理想弹塑性厚壁筒受内压力,由于应力组合 - r 的轴对称性，塑性区与弹性区的分界面为圆柱面。,筒体处于弹塑性状态下的压力为 pp ，弹塑性分界半径为 c 。此时对于弹性区和塑性区也可按两个厚壁圆筒分别进行讨论。,2020/8/2,103,11-5 理想弹塑性厚壁筒受内压力,由于轴对称性，在内筒的外壁和外筒内壁分别作用均布径向压力 rr=c=

36、q ，为求解塑性区的应力分量，应满足平衡方程与屈服条件，即,2020/8/2,104,11-5 理想弹塑性厚壁筒受内压力,将屈服条件代入平衡方程，即得,或,将上式进行积分，得,积分常数 A 可由内壁的边界条件定出:,A = - pp -s lna 。,2020/8/2,105,11-5 理想弹塑性厚壁筒受内压力,代入上式可求得r ，再由屈服条件，可求出 ，即求得塑性区的应力分量为：,(d),由上式可知，塑性区的应力分量是静定的，它仅与内压 pp 有关，而与弹性区的应力无关。而且在塑性区内 0, r 0 。,2020/8/2,106,11-5 理想弹塑性厚壁筒受内压力,为求弹性区的应力分量，将弹

37、性区作为内 半径为c ，外半径为b ，承受内压 q 的厚壁圆 筒，由(a)式可得,2020/8/2,107,11-5 理想弹塑性厚壁筒受内压力,式中 q, c 是未知量。从弹性区来看， r = c 处刚达到屈服，对比 (c) 式可得,(c),2020/8/2,108,11-5 理想弹塑性厚壁筒受内压力,将上式 q 代入弹性区应力分量，可得以 c 表示的弹性区应力分量,2020/8/2,109,11-5 理想弹塑性厚壁筒受内压力,将塑性区外壁的边界条件代入(d)式，可得,由内外筒（塑性区与弹性区）界面径向应 力相等的条件，可求得,(d),2020/8/2,110,11-5 理想弹塑性厚壁筒受内压力,pp与c 的关系式：,随着压力的增加，塑性区不断扩大，当c =