GCT数学-线性代数精讲2.ppt

1、第二章 矩阵及其运算,1 矩阵,行矩阵（行向量)，,列矩阵（列向量)，,n 阶矩阵( n 阶方阵).,定义 1 由 mn 个数 aij (i = 1,2,m; j = 1,2,n ),实矩阵,称为mn 矩阵.,排成的 m 行n 列数表,记成,例1 （价格矩阵）四种商品在三家商店中，单位量的售价,这里的行表示商店，列表示商品,ai j 表示每生产一万元第 j 类产品需要消耗的第,a23 = 0.20 就表示每生产一万元 第 3 类产品需要消耗掉0.20万元,例2 （投入产出矩阵）设某地区有3个经济部门，假定每个,（以某种货币单位计）可以用以下矩阵表示：,部门只生产一类产品，每个部门生产的产品与消

2、耗的商品都用,货币来表示,i 类产品的价值,的第 2 类产品的价值,例（通路矩阵）甲省两个城市 s1 , s2 与乙省三个城市 t1 , t2 ,s1,s2,t1,t2,t3,4,1,3,2,2,每条线上的数字表示连接该两,s1 s2,t1 t2 t3,同型矩阵.,矩阵A与B相等,记成 A = B.,零矩阵,记成 0 .,城市的不同通路的总数以由此得到,的通路信息，可用矩阵表示为：,t3 的交通连接情况如下图所示，,2 矩阵的运算,一 矩阵的加法,定义 2 设A =(aij ) , B =(bij ) 都是 mn 矩阵, 矩阵 A 与B 的和,例 1,记成 A + B, 规定为,矩阵的加法运算

3、满足规律,2. ( A + B ) + C = A + ( B + C ) ( 结合律),3. A + 0 = A,4. 设A = ( aij ) ,记 A = ( aij ) ,规定 A B = A + ( B ),二 数与矩阵的乘法,定义 3,规定为,称 A 为 A 的负矩阵,1. A + B = B + A (交换律),易知,A + ( A ) = 0,例 2 若,那么,3A = A3,数乘矩阵的运算满足规律：,A, B为矩阵.,三 矩阵与矩阵的乘法,定义4 设 A = ( aij ) 是一个 ms 矩阵, B = ( bij ) 是一个 sn,A 与 B 的乘积记成 AB， 即 C =

4、 AB .,规定 A 与 B 的积为一个 mn 矩阵 C = ( cij ) ，,其中,A B = AB ms sn mn,矩阵,例 3,例 4,例 5,例 6,一般来说，AB BA ,若矩阵 A、B 满足 AB = 0,n 阶矩阵,称为单位矩阵.,如果 A 为 mn 矩阵，那么,即矩阵的乘法不满足交换律.,未必有 A = 0 或 B = 0 的结论.,n 阶矩阵,称为对角矩阵.,两个对角矩阵的和是对角矩阵，,两个对角矩阵的积也是对角矩阵.,矩阵的乘法满足下述运算规律,解1,解2,矩阵的幂 A 是一个n 阶矩阵, k 是一个正整数,规定,矩阵的幂满足规律,其中 k , l 为正整数.,对于两个

5、 n 阶矩阵 A与 B，一般说,例 8,解一,解二,例 10 已知线性方程组,如果记,那么上述线性方程组可记成,于是,四 矩阵的转置,定义 5 将矩阵 A 的各行变成同序数的列得到的矩阵称为 A,矩阵的转置满足下述运算规律,记为 AT.,的转置矩阵,解一 因为,所以,解二,矩阵 A 称为对称矩阵，,容易知道, A = ( aij )nn是对称矩阵的充要条件是,例 13如果 A 是一个 n 阶矩阵，那么，A+A是对称矩阵,i , j = 1,2 , ,n.,矩阵 A 称为反对称矩阵，,如果 AT = A .,如果 AT = A .,矩阵 A = ( aij )nn是反对称矩阵的充要条件是 aij

6、 = aji ,证 因为,A A是反对称矩阵,所以A+A是对称矩阵,aij = aji ,i , j = 1,2 , , n.,因为,所以A A是反对称矩阵,例 14 设 A 为 mn 矩阵,证 由矩阵的乘法可知 AA是 m 阶的.,所以 AA是对称矩阵.,1.证明 H 为对称矩阵.,1. 证 因为,所以H 为对称矩阵.,因为,2.计算 H2 .,=E.,方阵的行列式运算满足下述规律 ，,例 16 设 A 是 n 阶矩阵，,称为矩阵A的伴随矩阵.,式 Aij 所构成的矩阵,五 方阵的行列式,定义6 由 n 阶矩阵 A 的元素（按原来的位置）构成的行列式，,称为方阵 A 的行列式,证明,由行列式

7、 |A| 的各元素的代数余子,那么,于是,2. 设 A 为 3 阶矩阵,那么,于是,先就 3 阶矩阵给出证明.,证 设,于是有,因此,同理可证，,= 0,= 0,= 0,证 设 A = ( a i j )nn ,也就是,于是有,因此,同理可证，,3 逆矩阵,定义 7 设 A 是 n 阶矩阵，如果有 n 阶矩阵 B ，使,如果矩阵 A 是可逆的，则 A 的逆矩阵是唯一的，记其为 A-1.,定理 1 若矩阵 A 是可逆的，,证 因为 A 可逆，,定理 2 若 |A|0，,则 A 可逆, 且,则称 A 是可逆矩阵，,且称 B 为 A 的逆矩阵.,AB = BA = E,即有 A-1 使 A A-1=

8、 E .,所以 |A|0 .,则 |A|0 .,证 由2的 例 16 可知,根据逆矩阵的定义，即有,所以有,因为 |A|0 ，,设 A 是 n 阶矩阵，如果|A|0 , 那么A称为非奇异矩阵.,A 是可逆矩阵的充分必要条件是|A|0 ,A 是可逆矩阵的充分必要条件是A为非奇异的,例1 判断下列矩阵,是否为可逆矩阵？,推论 设 A, B 都为 n 阶矩阵 ,于是,则 A 为可逆矩阵，,若 AB = E（或 B A = E），,所以 |A|0 ，,解 因为,所以A 为可逆矩阵，B是不可逆矩阵,证 因为|A|B|=|AB|=|E|=1,例2 因为,所以,方阵的逆矩阵满足下述运算规律：,因为,因为,3.设A ,B 为同阶可逆矩阵,则 AB 也可逆，且,3.设A ,B 为同阶可逆矩阵,例 3 求矩阵,的逆矩阵.,解 由,知 A 的逆矩阵 A-1 存在.,4.设A 为可逆矩阵,因为,再由,得,例 4 已知,求矩阵 X 满足 AX = C .,解 由例3 知 A-1存在，于是,得 X = A-1C ，即,4 矩阵的分块法,子块,用分块法计算矩阵 A 与 B的乘积 , 左矩阵 A 的列的分法与右,解 把 A，B 分块成,其运算规则与普通矩阵的运算规则类似.,矩阵 B 的行的分法一致.,分块矩阵