3-5函数的极值与最大最小值(09).ppt

1、函数极值及其求法 函数最值及其求法 函数最值在经济中的应用,第五节 函数的极值与最大最小值,一、函数极值及其求法,o,x,y,y= (x),M,m,a,b,设函数 y = (x)在a b内图形如下图:,而在 处的函数值 比它附近各点的函数值都要大;,但它们又不是整个定义区间上的最小、最大值, 而且,比它附近各点的函数值都要小;,为此, 我们引入函数极值与极值点的概念.,1. 极值的定义,x = x0 称为(x)的极大值点., 则称 为函数(x)的极小值.,称为(x)的极小值点.,极值的研究是微积分产生的主要动力之一,我们将函数的极大值与极小值统称极值, 极大值点与极小值 点统称极值点.,注3

2、由极值定义知: 极值是函数的局部性态. 它只是极值点的函数值与极值点附近的函数值相比较而言的, 故它只可能在(a, b)的内部取得.,注4 在闭区间a, b内, 一个连续函数可能有若干个极小值或极大值,却最多只有一个最大值M与最小值m, 而且最大值一定在极大值点或端点取得, 最小值一定在极小值点或端点取得.,注1 x0 为极值点, (x0)为极值, 极值是极值点处的函数值.,注2 在区间(a, b)极值不一定是最值, 但最值一定是极值.,2. 极值的必要条件,证,设 为极值(不妨设为极大值), 则存在x0的一邻域,当 时, 有,当 时, 有,当 时, 有,注2 定理条件是必要而非充分的, 即可

3、导函数的极值点一定是导数为0的点, 导数不为0的点一定不是极值点. 反过来, 导数为0的点可能是极值点可能不是(驻点未必是极值点), 所以我们要找极值点可先从导数为0的点中找.,注1 定理的几何意义: 可导函数的图形在极值点处的切线是与x 轴平行的(罗尔定理) .,o,x,y,则 x =0 为 f (x) = x3 的驻点.,但是, x =0 不是 f (x) = x3 的极值点.,如,注3 并不是所有驻点包含了所有的极值点, 极值点还可能出现在导数不存在的点处(即导函数无意义的点).,如 函数 y = |x| , x = 0 是函数的连续不可导点. 但 x = 0是函数的极小值点. 如图.,

4、o,x,y=|x|,y,注4 综上所述, 函数的极值点应从导数为0和导数不存在的点中找, 这些点包含了所有的极值点.,(是极值点情形),(不是极值点情形),定理2 (极值存在的第一充分条件)设函数 y =(x)在,3. 极值存在的充分条件,根据如下定理对导数为0和导数不存在的点判别是否为极值点.,此定理可简单叙述为: 设x0为连续函数(x)的可能极值点,若,若 在 x0 的两侧保号, 则 x0 不是(x)的极值点.,证 由极值的定义及定理1可证.,求极值的步骤:,例1 求函数,解,此函数的单调性在前面已讨论, 现重新列表如下:,故函数有极大值 (0) = 0. 函数有极小值,解,练一练,解,故

5、 x = 0为 f (x) 的极小值点. 为直观列表如下：,由上表可看出, 函数(x)在区间(-, 0)内单调递减, 在区间,(0, +) 内单调递增, 且 (x)的极小值为,当函数在驻点处的二阶导数存在且不为0时, 也可用下面定 理来判定(x)在驻点处取得极大值还是极小值.,定理3 (极值存在的第二充分条件),证,及极限的保号性定理知,只证(1),由于,利用二阶导数判断极值点的另一种方法：,的邻域内由负变到正,则由定理2知, (x) 在 x0 处取得极小值.,注2 定理4是用于判别一阶导数为0, 而二阶导数不为0的点 x0是否为函数极值点的方法. 对于判别导数不存在的点是否为极值点不适用.,

6、如,解,例7,故定理3比定理4更普遍(只需点连续即可) .,解,练一练,不是极值点, 故只有极小值,解,在许多经济理论与实际实际应用中, 常常遇到这样一类问 题: 在一定条件下, 怎样使: “产品成本最低”,“产品用料最省”,“效率最高”等问题.这类问题在数学上有时可归纳为求某一函数的最大值和最小值问题.,函数(x)的最值与极值是两个不同的概念, 最值是对整个定 义域而言的, 是整体性的; 极值是局部.最值不仅可以在a, b 的内点取得, 也可以在a, b的端点取得; 极值只可能在(a, b) 的内点取得, 即极值点只在区间的内部取得, 不能在端点取得.,二、函数的最值及其求法,最值最多只有一

7、个最大值与最小值. 而一个函数可能有若干个 极大值或极小值.,我们知道, 闭区间上连续函数一定有最大与最小值.于是, 其最值点可在极值点以及区间两个端点中寻找. 自此, 求闭区 间 a, b上的连续函数 f(x) 的最值时, 只需分别计算f(x)在开 区间(a, b)内的驻点、导数不存在的点以及端点a和b处的函数,值, 然后加以比较. 其中最大者就是函数(x)在a , b上的最大 值, 最小者就是函数 (x)在a , b上的最小值. 于是, 求闭区间 a, b上连续函数 (x) 最值的一般步骤是:,(1) 求出函数(x)在区间(a , b)内所有可能的极值点(驻点和 一阶导数不存在的点). 设

8、为 x1, x2 , ,xn;,(2) 求出相应的函数值,(3) 比较(2)中所有函数值的大小, 其最大者为函数(x)在闭 区间a , b上的最大值, 最小者为函数 (x)在闭区间a , b上 的最小值.,例1,解,计算,比较得,解,(1) f (x)的定义域为(,1,(2),(5) 比较大小得, 在8,1上的最大值为,(4) 分别计算函数值,最小值为 f (8) = 5,解之得驻点为,练一练,解 (1) (x)在0, 3上连续, 且其导数为,(2) 函数 (x)的驻点为 x = 1, 不可导点为 x = 2和 x = 0.,(3) 计算这三个点与端点的函数值得,(4) 比较这些函数值的大小,

9、 有,min(x) = (0) = (2) = 0,(0) = 0, (1) = 1, (2) = 0,max (x) = (3) =,注 若(x)在a , b上为严格单调连续函数, 则其最值只能在端点上达到.,结论1 若(x)在某闭区间a , b上连续, 在开区间(a , b)内可导, 点x0是(x)在(a , b)内的唯一驻点,且x0为(x)的极大值点(或极小值点), 则 x0必为(x)在闭区间a , b上的最大值点(或最小值点).,在解决实际问题时有如下结论：,结论2 若(x)在某闭区间a , b上连续, 在开区间(a , b)内可导, 点x0是(x)在(a , b)内的唯一驻点,且从实

10、际问题本身可以知道(x)的最值比在区间(a , b)内部取得, 则 x0必为(x)在闭区间a , b上的最大值点(或最小值点).,例3 设圆柱形有盖茶杯容积V为常数, 求表面积为最小时, 底半径 r 与高 h 之比.,解 设表面积为S，则目标函数为,是可能的极值点且唯一.,解决实际问题的步骤:,建立目标函数及其取值区间,求目标函数的最值.,点取得极小值也是最小值.,即半径与高的比为 1/2 时茶杯表面积最小.,练一练,求乘积为常数a 0, 而其和为最小的两个正数.,解 设两个正数为x , y (x 0, y 0), 其和为 s = x + y,则由x y = a 得,故函数s(x)可能的极值点

11、只有一个,从而目标函数为,在本小节的讨论之前, 先对下面所涉及的经济函数作如下 的假定:,设函数 y = (x) 是定义在区间 I 上的函数, 且满足： (1) 函数 y = (x) 在区间 I 上可导; (2) 如果函数 y = (x) 在区间 I 上有最大(小)值, 则最大 (小)值点位于区间I 的内部.,三、函数最值在经济中的应用,1. 最大利润,设总成本函数为C(Q), 总收益函数为R(Q), 其中 Q 为销量, 则在假设产量和销量一致的情况下, 总利润函数为,L =L (Q) R(Q) C(Q),假设产量为 Q0 时, 利润达到最大, 则由极值的必要条件和 极值的第二充分条件, L(

12、Q0) 必定满足:,可见, 当产量水平 Q = Q0 使得边际收益等于边际成本时, 可获得最大利润.,经济分析中, 常用MR表示边际收益, MC表示边际成本.,即当 MR = MC 时,可获得最大利润.,这是因为, 假设二者不等, 当MR MC时, 则在产量Q = Q0 的基础上再多生产一个单位产品, 所增加的收益大于所增加 的成本, 因而利润有所增加.,若MR MC, 则在产量 Q = Q0 的基础上再少生产一个单位 产品, 所减少的收益小于所减少的成本, 因而利润有所增加.,因此, MR = MC 是取得最大利润的必要条件.,例6 某商家销售某种商品的价格满足关系 p = 7 0.2Q (

13、万 元/吨), 且 Q 为销售量(单位:吨), 产品的成本函数为,(1)若每销售一吨商品, 政府要征税 t (万元), 求该商家获 最大利润时的销售量;,(2) t 为何值时, 政府税收总额最大.,解 (1)当该商品的销售量为Q时, 商品销售总收入为,C(Q) = 3Q + 1 (万元),设政府征的总税额为T, 则有T = t Q, 且利润函数为,是使商家获得最大利润的销售量.,且驻点唯一.,得驻点,(2) 由(1)的结果知,政府税收总额为,显然当 t = 2时, 政府税收总额最大. 但须指出的是:,为了使商家在纳税的情况下仍能获得最大利润, 就应使,Q = 5/2(4 t) 0,即 t 满足

14、限制0 t 4. 显然 t = 2 并未超出t 的限制范围.,2. 最大收益,在已知商品需求函数的条件下, 若企业的目标是获得最大 收益, 那么, 企业应以总收益函数,R(P) = P Q,为目标函数来决策产量水平或产品的价格.,得驻点 p = 5 (p = 5舍去), 且,从而 p = 5是总收益函数的极大值点, 极值唯一知, p =5 也是,总收益函数的最大值点, 故当价格为 p = 5时总收益达到最大.,例7 已知需求函数为Q = 75P2 , 问价格 p 为何值时, 总收 益最大? 当总收益达到最大时, 需求价格弹性为多少?,解 总收益函数为,R(P) = P Q = 75P P 3,

15、需求价格弹性为,当 p = 5, 需求价格弹性为,在上例中, 当总收益达到最大时, 需求价格弹性为 单位弹 性. 这是因为当E d 1时, 需求是富于弹性的, 降价可使总收 益增加;,而当E d1时, 需求是缺乏弹性的, 提价可使总收益增加.,因此, 当总收益达到最大时, 需求价格弹性一定为单位弹性.,3. 平均成本最小,设企业的总成本函数为,C = C(Q),若企业以平均成本最小为目标函数来决策产量水平, 这就 是求平均成本函数的最小值问题.,平均成本函数为,假设在产量 Q = Q0 时, 平均成本达到最小, 则由极值存在的的必要条件, 有,其中, AC 表示平均成本.,即当平均成本达到最小

16、 , MC = AC .,从而, MC = AC 是取得最小平均成本的必要条件.,例8 某工厂生产产量为 Q (件)时, 生产成本函数(元)为,求该厂生产多少件产品时, 平均成本达到最小? 并求出其 最小平均成本和相应的边际成本.,且驻点唯一.,唯一的极小值点.,解,平均成本达到最小, 且最小平均成本为,而边际成本函数为,时, 相应的边际成本为,显然有平均成本(用AC表示)最小时, MC = AC,4. 最优决策时间,由于资金有时间价值, 因而在分析投资问题时, 必须把发生 在不同时间的资金流转化成在同一个时间点的等价资金流.在 经济分析中, 一般的做法是将投资成本与投资收益先转化成投,资成本

17、的现值与投资收益的现值(经济学中称为贴现), 然后再 做投资决策分析.,设A0 为初始本金(称现值), r为年利率, 按连续复利计算, t 年末的本利和记作At (称总收入). 则当年结算m次时, 就有,从而有连续复利公式,欲求 的现在值 的问题称为贴现(率)问题. 则一年,与此相反, 经济学中把已知未来值为 , 贴现率也为 r.,结算m次, t 年末的贴现净额为,按连续复利计算, 得 t 年末的贴现净额为,(也称为贴现公式),解 设这批酒窖藏 t 年整, 售出总收入的现值为 P,则按照贴现公式得,假设资金的贴现率为 r, 并以连续复利计息, 为使总收入 的现值最大, 应在何年出售此酒? 并求

18、 r0.1时的 t 的值.,两端求导, 得,得唯一不可导点,此时收入的最大现值为,(整年)时, 是最佳销售时间,时, 函数P(t)在该点达到最大值, 即储藏年限为,当 r = 0.1时, t = 25, 即此酒商应将此酒窖藏 25 年.,可见, 利率(贴现率)越高窖藏期越短.,5. 最优批量和批数,当一个商场进一批货物时, 除支付购买这批货物的成本外, 还需一笔采购费. 在货物没有出售完毕前, 还需将部分货物库 存起来, 这需一笔库存费. 最优批量问题是：如何决策每批的,进货数量, 即批量. 以使采购费与库存费之和达到最小.,例10 某厂年需某种零件 8000个, 现分期分批外购, 然后 均匀投入使用(此时平均库存量为批量的一半). 若每次定货 的手续