第8-9讲 矩形单元和6节点三角形单元.ppt

1、第四章平面问题的高精度单元，矩形单元讨论，单元位移模式，单元应力，应变，单元刚度矩阵，单元引入，面积坐标，简单三角形单元的缺点，提高有限元解精度的方法，高精度单元的原理，单元位移模式，4.1提高有限元解精度的方法，三节点三角形单元精度低，收敛慢这是因为单元中只有三个节点，单元自由度少， 单元的位移模式只能是线性函数，并且描述单元中位移变化的能力很差。 第一种方法是对特定类型的元素使用网格加密，并依靠元素的收敛性来提高求解精度；第二种方法是对某个元素网格和元素大小使用高精度元素，以提高求解精度。一是简单三角形单元的缺点；第二，提高有限元解精度的方法：主要是增加单元的节点数。3.建立高精度元素的原

2、理和方法。其原理是提高单元位移模式的多项式阶数，从而增强对局部位移和应力变化的拟合能力。对于平面问题，首先考虑四节点矩形单元和六节点三角形单元。4.1提高有限元解精度的方法，4.2矩形单元，1。矩形单元及其位移模式，边长分别为2a和2b。以四个顶点为节点。不失一般性，假设矩形的两个对称轴分别是X轴和Y轴。每个节点有两个位移分量，因此该单元有8个自由度。单元节点数为k，l，m，n，单元节点位移数组为：单元中的位移多项式有四项，为双线性多项式：矩阵形式为：为形状函数矩阵，4.2矩形单元。通过替换节点坐标和节点位移，广义坐标(多项式系数)被节点位移分量替换，以获得插值位移函数：每个形状函数是：形状函

3、数矩阵。由于边界平行于坐标轴，矩形单元的位移模式沿单元边界(X，Y方向)线性变化，沿其他方向按二次函数变化。称为“双线性”位移函数。由于单元的位移在单元边界上线性变化，并且单元之间的公共边界上有两个公共节点，单元边界之间的位移是连续的，单元满足协调条件。与简单三角形单元一样，矩形单元的位移模式包含一次完全多项式，因此满足完备性条件。因此，保证了矩形单元的收敛性。显然，上述形状函数满足形状函数的性质。4.2矩形元素，2。单元应变和应力，形状函数矩阵经过微分算子矩阵得到38个应变矩阵，单元位移模式代入平面问题几何方程，4.2矩形单元，由平面问题物理方程(应力-应变关系)得到。对于矩形单元，单元上的

4、应力和应变不再是常数，而是有一定程度的线性变化，即X方向的正应变和正应力随y方向变化，y方向的正应变和正应力随X坐标线性变化。因此，在一定条件下，精度会高一个数量级。4.2矩形元件，3。矩形单元的刚度矩阵。矩形单元刚度矩阵的推导原理和方法与简单三角形单元相同。计算公式如下：精确的刚度矩阵元素可以通过积分计算，见P51。4.2矩形单元、4.2矩形单元、4节点矩形单元采用双线性位移模式，应力基本沿坐标轴线性变化，精度高于3节点三角形单元。由于位移模态在单元边界上线性变化，并且是由单元公共边界上两个公共节点的位移插值得到的，单元的协调性得到了满足，它也满足完备性，所以单元是收敛的。该元素要求两个相对

5、的边平行于坐标轴，因此复杂的几何图形4.2矩形单元，4.3六节点三角形单元简介，六节点三角形单元，自然具有良好的几何适应性，如果增加三角形单元的位移模态多项式的阶数，可以成为实用的单元。考虑图示的6节点三角形单元，如果在单元每侧的中点设置一个节点，则单元具有12个自由度，因此位移模式仅采用完整的二次多项式：1。元素概述，4.3 6节点三角形元素的介绍，很明显，该元素满足完整性要求。由于位移模型确定单元边界上的位移为二次抛物线分布，且相邻单元的公共边界上有三个公共节点，可以保证边界上相邻单元位移的连续性，所以它是一个协调单元，且该单元满足收敛条件。该单元的应变和应力随坐标线性变化，是一种高精度单

6、元。广义坐标替换后，位移模式仍可以用标准形式书写。然而，像以前那样采用三节点单元来建立形状函数太复杂了。下面描述使用三角形元素的面积坐标来描述元素的位移模式和形状函数的方法。4.3 6节点三角形单元介绍，三角形单元上的面积坐标，以及面积坐标的定义如图所示。三角形中任意点的位置由三个参数表示，这三个参数称为面积坐标。面积坐标(Li，Lj，Lm)定义为三个比值：2。面积坐标下6节点三角形单元的分析及4.3 6节点三角形单元的引入。因此，元素中任意点的面积坐标满足以下关系：Li Lj Lm=1，即三个面积坐标中只有两个是独立的。面积坐标和直角坐标之间有一定的转换关系。因此，三角形元素的描述可以用面积坐标来完成。直角坐标表示面积坐标，因此不难推导出以下变换关系：显然，面积坐标与3节点三角形单元的形状函数完全相同。介绍4.3 6节点三角形单元，面积坐标代表直角坐标，因此不难推导出以下变换关系：介绍4.3 6节点三角形单元，利用上述变换公式，三角形单元上的任何多项式函数都可以很容易地在两个坐标之间转换。有一个非常简单的公式可以用来计算三角形上各种面积坐标形式的幂函数的积分。根据形状函数的性质，用面积坐标表示的形状函